屈改珠

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,陜西 渭南　714000)

?

一類KdV型方程的不變子空間

屈改珠

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,陜西 渭南714000)

討論了一類KdV型方程的不變子空間，通過分別考慮其二維和三維不變子空間，構(gòu)造了方程的不同形式的廣義分離變量解，得到了一些方程的尖峰孤子解和爆破解。

不變子空間；KdV型方程；廣義分離變量解；尖峰孤子解；爆破解

0　引言

本文研究一類帶有源項(xiàng)的KdV型方程

ut=F[u]=αuxxx+β(ux)2+γu2，

(1)

當(dāng)α=β=1,γ=0時(shí)，方程(1)成為勢(shì)KdV方程

ut=uxxx+(ux)2。

(2)

方程(2)是通過對(duì)著名的KdV方程vt=vxxx+2vvx施行變換v=ux而得到的。

不變子空間方法是與廣義條件對(duì)稱[1-4]密切相關(guān)的構(gòu)造非線性偏微分方程(組)廣義變量分離解的有效方法之一。下面介紹不變子空間方法及相關(guān)定義[5-9]。考慮一階演化方程

ut=F[u]，

(3)

其中F[u]≡F(x,u,ux,…,ukx)是一個(gè)k階非線性微分算子，F(xiàn)(·)是充分光滑的函數(shù)，ukx表示u關(guān)于x的k階導(dǎo)數(shù)，由n個(gè)線性無關(guān)的函數(shù)f1(x),…,fn(x)擴(kuò)張生成的n維線性空間

其中Ci(t)滿足下面的有限維動(dòng)力系統(tǒng)：

(4)

從(4)可以得到Wn關(guān)于F的不變條件為

(5)

這里用[H]表示方程L[u]=0以及它關(guān)于x求各階導(dǎo)數(shù)后的等式.

1　微分算子F[u]容許的不變子空間

我們考慮方程(1)中微分算子F[u]允許的不變子空間，根據(jù)不變子空間理論中的最大維定理，算子F[u]所容許的不變子空間的最高維數(shù)為7，通過計(jì)算可知，算子F[u]僅在W2和W3上有非平凡解。

1.1二維不變子空間W2

考慮方程(1)算子F[u]中容許的二維不變子空間W2，W2由如下線性常微分方程定義

L[y]=y″+a1y′+a0y=0，

(6)

則相應(yīng)的不變條件變?yōu)?/p>

(7)

其中[H2]表示約束條件：L[u]=0及其關(guān)于x求導(dǎo)后的等式。經(jīng)計(jì)算，(7)式左端為關(guān)于變量u,ux的多項(xiàng)式，令方程中各項(xiàng)系數(shù)為0，得到下列方程組

利用maple求解上述代數(shù)方程組，得到其非平凡解：

將其代入到(1)及(6)中，有下面的結(jié)果

1.2三維不變子空間

同樣的，我們給出在方程(1)中非線性微分算子F[u]允許的由方程(4)定義的三維不變子空間，W3由如下線性常微分方程定義

L[y]=y?+a2y″+a1y′+a0y=0，

(8)

則相應(yīng)的不變條件變?yōu)?/p>

(9)

從而(9)式左端為關(guān)于變量u,ux,uxx的多項(xiàng)式，令方程中各項(xiàng)系數(shù)為0，得到下列方程組

用maple 求解得到

將其代入到方程(1)及(8)中，有

2　例子

例1考慮方程

(10)

它容許三維多項(xiàng)式不變子空間

其中Ci(t)滿足下面的常微分方程組

求解上述方程組，可得原方程具有尖峰孤子解

c1是任意實(shí)數(shù)。

c1,c2是任意實(shí)數(shù)。

[1] FOKAS A S,LIU Q M.Generalized conditional symmetries and exact solutions of nonintegrable equations[J].Theor Math Phys,1994,99:263-277.

[2] FOKAS A S,LIU Q M.Nonlinear interaction of traveling waves of nonintegrable equations[J].Phys Rev Lett,1994,72:3293-3296.

[3] ZHDANOV R Z.Conditional Lie-Backlund symmetry and reduction of evolution equations[J].J Phys A:Math Gen,1995,28:3841-3850.

[4] QU C Z.Group classification and generalized conditional symmetry reduction of the nonlinear diffusion convection equation with a nonlinear source[J].Stud Appl Math,1997,99:107-136.

[5] GALAKTIONOV V A.Invariant subspaces and new explicit solutions to evolution equations with quadratic nonlinearities[J].Proc Royal Soc Edinburgh,1995,125:225-246.

[6] SVIRSHCHEVSKII S R.Symmetries of linear ODEs and generalized separation of variables in nonlinear equations[J].Phys Lett A,1995,199:344-348.

[7] GALAKTIONOV V A,SVIRSHCHEVSKII S R.Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics[M].London:Chapman and Hall/CRC,2007.

[8] QU C Z,ZHU C R.Classification of coupled systems with two-component nonlinear diffusion equations by the invariant subspace method[J].J Phys A:Math Theor,2009,42:475201-475227.

[9] MA W X.A refined invariant subspace method and applications to evolution equations[J].Sci China Math,2012,55:1769-1778.

The invariant subspaces for a family of KdV-type equations

QU Gaizhu

(School of Mathematics and Physics, Weinan Normal University, Weinan，Shannxi 714000,China)

Invariant subspace of a family of KdV-type equations are discussed.By studying two-dimension and three-dimension invariant subspace, several different types of separation of variables solutions are obtained. Peak solutions and blow-up solutions of some equations are also derived.

invariant subspace；KdV-type equations；generalized separation of variables solution；peak solution；blow-up solution

1004—5570(2016)04-0051-03

2016-04-10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11371293，11501419)；陜西省重點(diǎn)學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)科基金項(xiàng)目(14SXZD015)；渭南師范學(xué)院理工類科研項(xiàng)目(16ZRRC05,13YKF003), 渭南師范學(xué)院校級(jí)特色學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目(14TSXK02)

屈改珠(1978-), 女,講師，博士研究生,研究方向：偏微分方程，E-mail：qugaizhu.hi@163.com.

O175.29

A