鐘琴，周鑫，牟谷芳

（1.四川大學(xué)錦江學(xué)院數(shù)學(xué)教學(xué)部，四川 彭山　620860；2.樂(lè)山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 樂(lè)山　614000）

非負(fù)矩陣Perron根的下界序列

鐘琴1，周鑫1，牟谷芳2

（1.四川大學(xué)錦江學(xué)院數(shù)學(xué)教學(xué)部，四川 彭山620860；2.樂(lè)山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 樂(lè)山614000）

非負(fù)矩陣Perron根的估計(jì)是非負(fù)矩陣?yán)碚撗芯康闹匾n題之一.如果其上下界能夠表示為非負(fù)矩陣元素的易于計(jì)算的函數(shù)，那么這種估計(jì)價(jià)值更高.本文結(jié)合非負(fù)矩陣的跡分兩種情況給出Perron根的下界序列，并且給出數(shù)值例子加以說(shuō)明.關(guān)鍵詞：非負(fù)矩陣；Perron根；下界序列

1　引言和記號(hào)

非負(fù)矩陣Perron根的理論在很多領(lǐng)域有重要應(yīng)用.在實(shí)際中，常常需要估計(jì)非負(fù)矩陣的最大特征值.對(duì)于非負(fù)矩陣最大特征值下界的估計(jì)，也得到了廣泛的研究.

首先，為了方便和敘述，本文采用以下的符號(hào)和記法.

不失一般性，假設(shè)n階矩陣A≥0，ρ(A)表示非負(fù)矩陣A的譜半徑，對(duì)i=1，2，...，n，ri(A)表示矩陣A的第i行行和，R(A)和r(A)分別表示矩陣A的最大行和與最小行和，C(A) 和c(A)分別表示矩陣A的最大列和與最小列和.

以下是眾所周知的Frobenius定理[1]：

正矩陣是非負(fù)矩陣的子類，具有非負(fù)矩陣的所有性質(zhì).文獻(xiàn)［2-4］在(1)式的基礎(chǔ)上給出了正矩陣最大特征值的界值定理.

定理 1.1[2]設(shè)A=(aij)n×n＞0且r＜R，則其最大特征值ρ(A)滿足：

其中

定理 1.2[3]設(shè)A=(aij)n×n＞0，則其最大特征值ρ(A)滿足：

其中r，R，η的定義同定理1.

定理 1.3[4]設(shè)A=(aij)n×n＞0，則其最大特征值ρ(A)滿足：

其中r，R，η的定義同定理2，

關(guān)于正矩陣最大特征值的界，在涉及r，R和η的一切可能的界值中，Brauer的結(jié)果是最好的.

本文結(jié)合非負(fù)矩陣的跡分兩種情況給出Perron根的下界序列，從而有效的改進(jìn)Perron根的下界，并且給出數(shù)值例子加以比較.

2　Perron根的下界估計(jì)

首先簡(jiǎn)要介紹一下相關(guān)的定理.

引理 2.1[5]若x1，x2，...，xn均為實(shí)數(shù)且滿足xn≤xn-1≤...≤x1，則有

推論 2.1若y1，y2，...，yn均為實(shí)數(shù)，k為任意的正整數(shù)，則有

此式即(5)式.

引理 2.2[6]若y1，y2，...，yn均為實(shí)數(shù)，令

k為任意的正整數(shù)，則序列

為單調(diào)遞增序列.

在引理2.2的基礎(chǔ)上，顯然序列

也為單調(diào)遞增序列.

本文在上述結(jié)果的基礎(chǔ)上，分兩種情況給出非負(fù)矩陣Perron根的下界序列.

定理2.1設(shè)A≥0，且AT=A.則序列

為單調(diào)遞增序列，且tk(A)≤ρ(A).

證明由A≥0，且AT=A，可知A的特征值λ1，λ2，...，λn均為實(shí)數(shù)，且

令λ=(λ1，λ2，...，λn)，根據(jù)上面的討論可知序列

為單調(diào)遞增序列，且tk(λ)≤ρ(A).注意到

即得序列

為單調(diào)遞增序列，且

以上討論的是當(dāng)A為非負(fù)對(duì)稱矩陣時(shí)的情況，當(dāng)A≥0但A不對(duì)稱時(shí)，構(gòu)造矩陣A的幾何對(duì)稱矩陣

其中

顯然矩陣S(A)滿足定理2.1的條件，此時(shí)有：

定理2.2設(shè)A≥0，令S(A)=(sij)，其中

則序列

為單調(diào)遞增序列，且

證明將定理2.1應(yīng)用到矩陣S(A)并注意到ρ(S(A))≤ρ(A)即得.

注2.1當(dāng)A為非負(fù)對(duì)稱矩陣時(shí)，S(A)=A，定理2.1實(shí)際上是定理2.2的特殊情形.

3　數(shù)值例子

例3.1考慮非負(fù)對(duì)稱矩陣

對(duì)于非負(fù)對(duì)稱矩陣A的Perron根的下界，運(yùn)用定理2.1有下面的比較結(jié)果(見(jiàn)表1).實(shí)際上ρ(A)≈9.4669，從數(shù)據(jù)來(lái)看，估計(jì)結(jié)果是很精確的.

對(duì)于非負(fù)矩陣B的Perron根的下界，運(yùn)用定理2.2有下面的比較結(jié)果(見(jiàn)表2).

例3.2考慮非負(fù)矩陣

實(shí)際上ρ(B)≈5.7417，從數(shù)據(jù)來(lái)看，估計(jì)結(jié)果是很精確的.

表1　非負(fù)對(duì)稱矩陣A的Perron根的下界比較結(jié)果

表2　非負(fù)矩陣B的Perron根的下界比較結(jié)果

從以上的兩個(gè)例子可以看出，對(duì)一個(gè)非負(fù)矩陣，不管其對(duì)稱還是非對(duì)稱，都可以構(gòu)造一個(gè)基于矩陣跡的單調(diào)遞增序列，從而有效的改進(jìn)Perron根的下界.

[1］Berman A，Plemmons R J.Nonnegative Matrices in Mathematical Sciences[M］.Philadelphia：SIAM Press，PA，1994.

[2］Ledermannn W.Bounds for the greatest latent root of a positive matrix[J］.London Math.Soc.，1950，25：265-268.

[3］Ostrowski A.Bounds for the greatest latent root of a positive matrix[J］.London Math.Soc.，1952，27：253-256.

[4］Brauer A.The theorem of Ledermann and Ostrowski on positive matrices[J］.Duke Math.，1957，24：265-274.

[5］Wolkowicz H，Styan G P H.Bounds for eigenvalues using traces[J］.Linear Algebra Appl.，1980，29：471-506.

[6］Rojo O，Soto R，Rojo H.Bounds for the spectral radius and the largest singular value[J］.Computers Math. Applic.，1998，36（1）：41-50.

2010 MSC:15A48

A sequence of lower bounds for the Perron root of a nonnegative matrix

Zhong Qin1，Zhou Xin1，Mou Gufang2
（1.Department of Mathematics，Sichuan University Jinjiang College，Pengshan620860，China；2.College of Mathematics and Information Science，Leshan Normal University，Leshan614000，China）

Computing the bounds for the greatest characteristic root of a nonnegative matrix is important part in the theory of nonnegative matrices.It is more practical value when their bounds are expressed easily calculated function in element of matrix.In this paper，we obtain an increasing sequence of lower bounds for the Perron root of a nonnegative matrix based on the trace of matrix.Numerical examples are given to illustrate the method is effective.

nonnegative matrices，Perron root，lower bound

O151.21

A

1008-5513(2016)04-0331-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.04.001

2016-04-18.

四川省教育廳科研項(xiàng)目(13ZB0357)；四川大學(xué)錦江學(xué)院青年教師科研基金(12130219).

鐘琴(1982-)，碩士，副教授，研究方向：矩陣的特征值估計(jì)和數(shù)值計(jì)算.