李寶麟,趙紅巖,魏婷婷,劉麗麗,張?jiān)?/p>

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅蘭州　730070)

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Caratheodory系統(tǒng)的解相對(duì)于初值條件的可微性

李寶麟,趙紅巖,魏婷婷,劉麗麗,張?jiān)?/p>

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅蘭州730070)

0　引言

考察常微分方程

(1)

其中

假設(shè)f滿足以下條件：

1　預(yù)備知識(shí)及定義

首先介紹廣義常微分方程和Kurzweil積分的相關(guān)理論.

(2)

(3)

則稱x為廣義常微分方程

的解.

(4)

且對(duì)任意的(x,t1),(x,t2),(y,t1),(y,t2)∈G,有

(5)

(6)

則

(7)

如果U關(guān)于第二個(gè)變?cè)钦齽t的,那么u也是正則的,且滿足

則

其中τ,t,s∈[a,b].

(8)

則z在區(qū)間[a,b]上是正則的.

則對(duì)任意的ξ∈[a,b]，有

(9)

其中

2　主要結(jié)果

(ii)函數(shù)x0在λ0處可微.

則對(duì)所有的t∈[a,b],函數(shù)λ|→x(t,λ)在λ0處一致可微,且其導(dǎo)數(shù)Z(t)=xλ(t,λ0),t∈[a,b]是廣義常微分方程

(11)

的唯一解,其中s∈[a,b].

證明根據(jù)假設(shè),存在常數(shù)M,L>0,對(duì)每個(gè)x,y∈Bc,有

令

則對(duì)于任意的s,t∈[a,b],有

即Fx∈F(G,h,ω),其中h(t)=(M+L)t,ω(t)=t.

根據(jù)向量值函數(shù)的中值定理,有

(12)

對(duì)任意的λ∈Λ,s∈[a,b],廣義常微分方程(10)等價(jià)于

其中

由(12)式,我們得到

由引理2,對(duì)任意的s∈[a,b],有

由引理5得

其中s∈[a,b].從而,當(dāng)Δλ→0時(shí)x(s,λ0+Δλ)一致收斂于x(s,λ0).

從而

其中

因此令A(yù)=x(τ,λ0+Δλ),B=x(τ,λ0),則有

由于x|→F(x,t)在Bc上的連續(xù)可微性及φ(r,Δλ)的定義可知,對(duì)任意給定的ε>0及t,s∈[a,b],有

所以

由三角不等式得

最后,由引理5得

因?yàn)棣拧?+,所以對(duì)所有的r∈[a,b],當(dāng)Δλ→0時(shí),φ(r,Δλ)一致趨于0.】

[1]賀建勛，陳彭年．不連續(xù)微分方程的某些理論與應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,1987,16(1):17．

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[10]KURZWEILJ.Generalizedordinarydifferentialequations[J].Czechoslovak Math,1958,8:360.

(責(zé)任編輯馬宇鴻)

LIBao-lin,ZHAOHong-yan,WEITing-ting,LIULi-li,ZHANGYuan-de

(CollegeofMathematicsandStatistics,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,Gansu,China)

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.03.004

2015-03-15;修改稿收到日期:2015-10-08

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11061031)

李寶麟(1963—),男,甘肅天水人,教授,博士.主要研究方向?yàn)槌Ｎ⒎址匠膛c動(dòng)力系統(tǒng).

E-mail:libl@nwnu.edu.cn

O175.12

A

1001-988Ⅹ(2016)03-0014-04