顏榮芳,畢　濤

(西北師范大學數學與統(tǒng)計學院,甘肅蘭州　730070)

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隨機中斷下雙源供應鏈的最優(yōu)訂購模型

顏榮芳,畢濤

(西北師范大學數學與統(tǒng)計學院,甘肅蘭州730070)

在隨機中斷環(huán)境下建立了由兩個不可靠供應商和一個零售商組成的雙源供應鏈的隨機報童模型.就無約束和預算費用約束兩種情形,給出了零售商的最優(yōu)訂購策略,進而分析了隨機中斷時刻對最優(yōu)訂購數量和零售商最大期望利潤的影響,證明了零售商最優(yōu)訂購量的存在性.最后通過數值實例分析了隨機中斷時刻對訂購數量和最大期望利潤的具體影響.

隨機報童模型;雙源供應鏈;隨機中斷時刻;最大期望利潤;預算費用

0　引言

隨著企業(yè)材料采購、業(yè)務外包與單源供應等業(yè)務模式的發(fā)展以及自然與人為災難性事故的頻頻發(fā)生,供應鏈中斷越來越頻繁.供應鏈中斷是指由于一些自然災害或人為因素(經濟的或政治的)導致的供應商、制造商、零售商以及消費者之間既定物流、資金流和信息流的中斷[1-3].供應鏈中斷可能造成遞送的延誤、成本的增加,甚至可能導致供應鏈節(jié)點企業(yè)的破產.2000 年愛立信惟一的芯片供應商遭遇的火災導致供應中斷,愛立信因此蒙受了高達 17 億美元的巨額虧損,愛立信從此淡出市場.2011 年發(fā)生在日本的“3·11大地震”和海嘯,使日本的汽車制造業(yè)蒙受了巨大的損失,同時也導致亞洲和北美地區(qū)許多汽車制造業(yè)零部件供應臨時中斷.Adegoke 等[4]將供應鏈中斷風險分成三大類:第一類是供應風險,即供應商為顧客提供產品或服務時發(fā)生中斷事件而導致的供應中斷;第二類是需求風險,如經濟因素和需求變化而導致的需求中斷;第三類是其他類型的風險,如政府法規(guī)的頒布導致企業(yè)生產的中斷.本文主要討論第一類供應風險——供應中斷.

近年來，關于供應中斷的研究引起了學術界和管理部門的普遍關注.Parlar等[5]成功地將供應中斷引入到經典經濟訂購批量(EOQ)問題的研究,建立了具有供應中斷的經濟訂購批量模型,并運用更新酬勞過程的理論和方法得到了訂購量的平均成本函數；Mohebbi[6]運用連續(xù)時間馬爾科夫鏈的理論和方法,討論了具有隨機提前期和隨機需求的連續(xù)盤庫庫存問題,建立了連續(xù)盤庫庫存系統(tǒng)的(R,Q)模型；Snyder等[7]在需求不確定和供應不確定條件下分析了冗余供應商預防供應中斷以及緩解中斷沖擊的作用；Yang等[8]考慮了由一個制造商和一個零售商組成的供應鏈系統(tǒng)在中斷信息不對稱情形下的供應鏈協(xié)調問題,分析了制造商風險管理策略對供應鏈協(xié)調的影響；Keren[9]在確定需求條件下研究了單周期供應鏈的最優(yōu)隨機供給與最優(yōu)庫存管理問題；Meena等[10]通過對引起供應鏈中斷的突發(fā)事件的合理分類,研究了供應中斷下服務水平的界定和供應商的最優(yōu)選擇問題；Xanthopoulos等[11]基于兩個供應商獨立中斷情形,在零售商具有風險中性和風險厭惡兩種情形下研究了單周期報童庫存模型.然而,上述研究僅僅考慮在一個周期內供應鏈是否發(fā)生中斷,而忽略了中斷時刻對供應鏈的影響.事實上,發(fā)生在不同時點的供應中斷對供應鏈造成的影響是不同的.因此,本文討論中斷時刻對零售商最優(yōu)訂購策略及最大期望利潤的影響.

本文的研究還涉及雙源供應鏈的管理.雙源供應鏈屬于多源供應鏈的研究范疇，相對于單源供應鏈,多源供應鏈能夠有效地分散供應商供應中斷風險,更大程度地保證供應鏈的穩(wěn)定運行.因此關于多源供應鏈的研究一直是學術界和工業(yè)界密切關注的熱點問題.Mohebbi等[12]通過對缺貨情形下單貨源和雙貨源成本問題的分析,建立了具有復合泊松需求和指數分布交貨期的銷售庫存管理模型,給出了庫存管理的最小成本；Yi 等[13]進一步討論了制造商既可以從常規(guī)供應商,也可以從現貨市場購進原材料的供應鏈的最優(yōu)采購決策問題,并得到了類似于經典(s,S)結構的采購策略；Lyon[14]探討了運用雙源供應策略降低政府(企業(yè))采購成本的可行性；Sting等[15]基于供應能力和顧客需求的聯合分布研究了由一個不可靠供應商和一個可靠備份供應商組成的供應鏈的最優(yōu)訂貨策略；Oberlaender[16]建立了具有兩個供應商的單產品拓展報童模型,并著重討論了決策者風險偏好對最優(yōu)訂購策略的影響；Chen 等[17]在確定需求下研究了具有一個制造商、一個不可靠供應商以及一個可靠備份供應商供應鏈的最優(yōu)決策問題,分析了備份供應商的相對公平性關注對供應鏈運行的影響.本文工作至少在兩個方面有別于上述文獻:一是假定兩個供應商都不完全可靠,二是供應鏈存在預算約束.

1　模型描述與基本假設

圖1　單產品雙源供應源Fig 1Dual-sourring supply chain with one product

在討論零售商的最優(yōu)訂購決策之前,為了方便起見,先將本文用到的符號歸納如下：Qi為零售商i的訂購量，X為市場需求(隨機變量)，p為單位產品的銷售價格，L為銷售周期長度，ci為單位產品的訂購價格，v為單位產品的處理價格，s為單位產品的缺貨罰金，e為單位產品的促銷費用，h為單位產品的缺貨費用，w為總預算費用，Ti為供應商i的中斷時刻(隨機變量)，F(x)(f(x))為X的分布函數(密度函數)，Gi(t)(gi(t))為Ti的分布函數(密度函數)，φj(Q1,Q2)為第j渠道預算費用約束函數.

不失一般性,假定s>p>ci>v,即缺貨罰金高于售價,售價高于訂購價,訂購高于處理價.缺貨罰金高于售價是因為考慮到缺貨機會成本以及零售商商譽的損失.

2　無約束模型

當第i個供應商在時刻Ti(Ti∈[0,L])(i=1,2)發(fā)生中斷時,由經典報童模型容易得到零售商單周期期望總利潤函數為

g1(t1)g2(t2)dt1dt2.

于是

f(x)g1(t1)g2(t2)dxdt1dt2+

(1)

從而,零售商的決策問題可以表示為如下的最優(yōu)化問題:

(P)maxG(Q1,Q2).

下面的命題1揭示了模型(P)最優(yōu)解的存在性.

命題1(i) 期望利潤函數E[G(Q1,Q2)]是關于Q1,Q2的聯合凹函數.

(ii)模型(P)的最優(yōu)解Q*1,Q*2(最優(yōu)訂購批量)滿足方程組:

(2)

(3)

證明( i ) 由(1)式得到

g1(t1)g2(t2)dt1dt2,

g1(t1)g2(t2)dt1dt2,

g1(t1)g2(t2)dt1dt2,

g1(t1)g2(t2)dt1dt2,

g1(t1)g2(t2)dt1dt2.

根據Schwarz 不等式,我們有

g1(t1)g2(t2)dt1dt2·

g1(t1)g2(t2)dt1dt2-

因此,E[G(Q1,Q2)]是關于Q1,Q2的聯合凹函數.

( ii )由E[G(Q1,Q2)]最大化的一階條件立即得到(2)和(3)式.】

3　帶有預算費用約束的模型

眾所周知,任何零售商都會受到資金投入的約束.下面我們基于預算約束討論零售商的最優(yōu)訂購問題.

3.1帶有一般預算費用約束的訂購模型

零售商訂購某種商品時,最先想到是成本花費.下面給出訂購總花費不超過w的一般約束情況下的模型:

其中

顯然模型(P1)是關于Q1,Q2的凸規(guī)劃問題.令

其中λ1是拉格朗日乘數，則模型(P1)轉換為模型

模型(P2)的最優(yōu)解滿足K-T條件:

命題2模型(P2)的最優(yōu)解為:

(i)當φ1(Q1,Q2)

(ii)當φ1(Q1,Q2)≥w時,最優(yōu)Q?1,Q?2可通過求解下列方程組得到：

(4)

證明φ1(Q1,Q2)

3.2帶有缺貨預算費用約束的模型

零售商訂購某種商品時,需要對需求情況進行預測,這樣就會出現訂購量不能滿足需求的情況,出現缺貨會受到懲罰,這時需在資金總量中拿出一部分去支付罰金,或為恢復名譽支付相關費用.下面給出這種情況下的模型

其中

f(x)g1(t1)g2(t2)dxdt1dt2.

命題3(i)模型(P3)是關于Q1,Q2的凸規(guī)劃問題.

(ii)模型(P3)的最優(yōu)解為:

(a) 當φ2(Q1,Q2)

(b)當φ2(Q1,Q2)≥w時,最優(yōu)Q?1,Q?2可通過聯立下列方程求解得到：

g1(t1)g2(t2)dt1dt2=

(5)

g1(t1)g2(t2)dt1dt2=

(6)

(7)

g1(t1)g2(t2)dt1dt2>0.

根據Schwarz 不等式,我們有

g1(t1)g2(t2)dt1dt2·

g1(t1)g2(t2)dt1dt2-

因此,φ2(Q1,Q2)是關于Q1,Q2的凸函數.由命題1可知,E[G(Q1,Q2)]是關于Q1,Q2的聯合凹函數,所以模型(P3)是關于Q1,Q2的凸規(guī)劃問題.

( ii )令

其中λ2是拉格朗日乘數，則模型(P3)轉換為模型

模型(P4)的最優(yōu)解滿足K-T條件:

當φ2(Q1,Q2)

3.3帶有存貨預算費用約束的模型

零售商在訂購某種商品時,需要對需求情況進行預測,這樣就會出現訂購量超過需求的情況,出現多余商品要保存,這時在資金總量中要考慮(保存金)處理損失，這種情況對應的模型是

其中

f(x)g1(t1)g2(t2)dxdt1dt2.

命題4(i) 模型(P5)是關于Q1,Q2的凸規(guī)劃問題.

(ii)模型(P5)最優(yōu)解為:

(a)當φ3(Q1,Q2)

(b)當φ3(Q1,Q2)≥w時,最優(yōu)Q?1,Q?2可通過聯立下列方程求解得到:

(8)

(9)

(10)

g1(t1)g2(t2)dt1dt2>0,

根據Schwarz 不等式,我們有

g1(t1)g2(t2)dt1dt2·

g1(t1)g2(t2)dt1dt2-

因此,φ3(Q1,Q2)是關于Q1,Q2的凸函數.由命題1可知,E[G(Q1,Q2)]是關于Q1,Q2的聯合凹函數,所以模型(P5)是關于Q1,Q2的凸規(guī)劃問題.

( ii )令

其中λ3是拉格朗日乘數，則模型(P5)轉換為模型

模型(P6)的最優(yōu)解滿足K-T條件:

當φ3(Q1,Q2)

4　數值算例

考慮由兩個供應商和一個零售商組成的單周期供應鏈.設單位產品銷售價格p=50元,單位產品訂購成本c1=20元,c2=30元,單位產品處理價格v=10,單位產品缺貨罰金s=15元.在參數的假定下,中斷時刻的變化會對最優(yōu)訂購量和最大期望利潤產生一定的影響.假定零售商所面臨的市場需求X服從正態(tài)分布,所對應的均值為 400,方差為 130；供應商所面臨的隨機中斷時間服從單周期[0,6]上的均勻分布.圖2-3解釋了無約束模型下,需求X服從正態(tài)分布時中斷時刻對零售商的訂購量和期望利潤的影響.

(a)t1=1,t2=1

(b)t1=2,t2=2

(c)t1=2,t2=3

(d)t1=6,t2=3 圖2　中斷時刻對最優(yōu)訂購量和期望利潤的影響

Fig 2The optimal ordering quantity and expectation profit with respect to different disruption time

圖3　不同t1,t2下的期望利潤

Fig 3The expectation profit for differentt1andt2

5　結論與展望

風險管理已成為供應鏈管理中至關重要的問題,它與企業(yè)的盈利能力息息相關.一旦企業(yè)選擇被動地接受中斷風險,必定會受到經濟損失和競爭衰退的侵蝕.供應中斷的風險意識使有效的中斷管理策略成為必需.一個有效的采購策略不僅能夠增強供應鏈的應變能力,也能有效地緩解供應鏈成員之間的摩擦,進而保證企業(yè)健康穩(wěn)定地發(fā)展.在隨機中斷環(huán)境下,我們建立了一個由兩個不可靠供應商和一個零售商組成的雙源供應鏈的隨機報童模型,一方面,我們以零售商期望利潤最大化為出發(fā)點,基于無約束和帶有預算費用約束兩種情形,尋找最優(yōu)訂購策略；另一方面,鑒于供應中斷可能發(fā)生在整個供應階段的任何時刻,我們考慮了隨機中斷時刻對最優(yōu)訂購數量和零售商最大期望利潤的影響.本文提出的決策方法框架是通用的,不僅可以應用到正向供應鏈,也適合各種類型產品回收的逆向供應鏈(再制造等).從約束的層面考慮,也適用于服務水平約束、容量約束等問題的研究.

本文研究還可以從以下幾個方面繼續(xù)深入:

1)模型還可以擴展到多個相互競爭的供應商和多個相互競爭的零售商組成的多周期情形；

2)數值例子只考慮了需求X服從正態(tài)分布的情形,對于X服從其他分布的隨機中斷時刻問題的研究有待進一步考慮；

3)可以研究在供應中斷信息不對稱條件下的隨機中斷時間問題.

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(責任編輯馬宇鴻)

Optimal ordering model of dual-sourcing supply chain with random disruption time

YAN Rong-fang,BI Tao

(College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China)

This paper develops a dual-sourcing supply chain for random newsvendor model composed of two unreliable suppliers and one retailer under random disruption environment.On unconstrained and budget cost constraints both cases,the optimal ordering strategy of the retailer is given,and the effect of disruption time to the optimal ordering quantity and the maximal expection of the retailer are analysed,and the existence of retailer’s optimal ordering quantity is proved.Finally,the specific effect of disruption time to ordering quantity and the maximal expection profit is explained through the numerical example.

random newsvendor model;dual-sourcing supply chain;random disruption time;maximal expectation profit;budget cost

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.03.006

2015-09-19;修改稿收到日期:2015-11-10

國家自然科學基金資助項目(71061012);甘肅省科技支撐計劃資助項目(1104GKCA030)

顏榮芳(1964—),男,甘肅武山人,教授,博士研究生導師.主要研究方向為應用概率統(tǒng)計、可靠性理論及金融統(tǒng)計.E-mail:yanrf@nwnu.edu.cn

F 270.7

A

1001-988Ⅹ(2016)03-0022-08