趙云梅

(紅河學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，云南蒙自　661199)

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廣義sinh-Gordon方程的新相互作用解

趙云梅

(紅河學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，云南蒙自661199)

利用兩個Jacobi橢圓方程作為輔助方程，借助數(shù)學(xué)軟件Maple，獲得了廣義sinh-Gordon方程的新相互作用解，這些解由反雙曲正弦函數(shù)、Jacobi橢圓函數(shù)、雙曲函數(shù)和三角函數(shù)組成.

廣義sinh-Gordon方程;輔助方程;相互作用解;Jacobi橢圓函數(shù)

0　引言

2006年,Wazwaz[1]提出了廣義sinh-Gordon方程

(1)

其中n是一個正整數(shù)，a,b是兩個常數(shù).sinh-Gordon方程的行波解被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)和物理等領(lǐng)域，由于它有著廣泛的應(yīng)用前景,所以許多作者已對它進行了大量研究，并獲得了豐富的成果.Wazwaz[1]利用雙曲正切函數(shù)方法得到了方程(1)的一些精確解.2008年,唐亞寧等[2]在三種函數(shù)變換的基礎(chǔ)上研究了方程(1)的分支現(xiàn)象并得到了若干孤立波解、周期波解和Compacton解.2014年，何斌等[3]利用雙F-展開法獲得了方程(1)的若干雙周期波解.

求解非線性偏微分方程的傳統(tǒng)方法有F-展開法[4]、試探函數(shù)法[5]、Hirota雙線性算子法[6]、Backlund變換法[7]、指數(shù)函數(shù)展開法[8]、輔助函數(shù)法[9]、Jacobi橢圓函數(shù)展開法[10]、雙曲函數(shù)法[11]、(G/G)展開法[12],等等.這些方法都已成功地運用于多種非線性發(fā)展方程的求解過程中，并得到了一系列與它們相對應(yīng)的孤立解、有理解、周期解、雙周期解等多種類型的具有重要物理意義的精確解.

一直以來，人們在求解非線性發(fā)展方程時，常常得到的是單孤子解、雙周期解或單周期解之間的多孤子解，卻很少求得同時包含有理函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)或Jacobi橢圓函數(shù)的相互作用解，這些解可以反映不同類型非線性波之間的相互作用.

非線性偏微分方程的相互作用解最早是由馬文秀教授提出的，文獻[13]利用Wronskian行列式技巧和雙線性形式求得了KdV方程的由三角函數(shù)與雙曲函數(shù)相互作用(周期解與孤立波解之間)的相互作用解，Chen[14],Sun[15]和Meng[16]利用兩個Jacobi橢圓方程作為輔助方程分別研究了(n+1)維sinh-Gordon方程、(2+1)維破裂孤子方程和(n+1)維sine-Gordon方程,獲得了諸多幾類函數(shù)之間的相互作用解.

本文利用兩個Jacobi橢圓方程作為輔助方程，獲得了方程(1)的許多新相互作用解.

1　廣義sinh-Gordon方程的精確解

假設(shè)方程(1)的解可以表示成如下形式：

(2)

其中

則方程(1)可化為下列方程：

(3)

假設(shè)

(4)

這里φ(ξ),ψ(η)分別滿足下列兩個輔助方程:

(5)

(6)

其中P,Q,R是常數(shù).把(4)式代入(3)式，并結(jié)合(5)和(6)式可知,(3)式的左邊可化為一個關(guān)于φiψj的多項式，令此多項式的系數(shù)全為零，便得到一組關(guān)于A1,A2,A3,λ和c的代數(shù)方程組，利用Maple求解該代數(shù)方程組得到下列解：

a=-c2,

a=-c2,

a=-c2,

a=-c2,

把上述解代入(4)式,當P,Q,R取不同值時，就得到φ(ξ),ψ(η)的表達式,進而得到方程(1)用φ(ξ),ψ(η)表示的相互作用解.

下面列舉P,Q,R的10種取值情形及獲得的廣義sinh-Gordon方程的相互作用解，其中ξ=λ(x+ct),η=λ(x-ct)，為了書寫方便，記

情形1取P=1,Q=-(1+m2),R=m2，則φ(ξ)=sn(ξ,m),ψ(η)=sn(η,m)(或φ(ξ)=cd(ξ,m),ψ(η)=cd(η,m))，則方程(1)的相互作用解為

(7)

(8)

其中b=b1.當模m→1時，由(7)式可得

其中b=b4.

情形2取P=1-m2,Q=2m2-1,R=-m2，則φ(ξ)=cn(ξ,m),ψ(η)=cn(η,m)，于是方程(1)的相互作用解為

其中b=b2.

情形3取P=m2-1,Q=2-m2,R=-1，則φ(ξ)=dn(ξ,m),ψ(η)=dn(η,m)，于是方程(1)的相互作用解為

其中b=b3.

情形4取P=m2,Q=-(1+m2),R=1，則φ(ξ)=ns(ξ,m),ψ(η)=ns(η,m)(或φ(ξ)=dc(ξ,m),ψ(η)=dc(η,m))，于是方程(1)的相互作用解為

(9)

(10)

其中b=b1.當模m→1時，由(9)式可得

其中b=b4.當模m→0時，由(9)式可得

其中b=b5.當模m→0時，由(10)式可得

其中b=b5.

情形5取P=-m2,Q=2m2-1,R=1-m2，則φ(ξ)=nc(ξ,m),ψ(η)=nc(η,m)，于是方程(1)的相互作用解為

其中b=b2.當模m→0時，由(11)式可得

其中b=b5.當模m→1時，由(11)式可得

其中b=-b5.

情形6取P=-1,Q=2-m2,R=m2-1，則φ(ξ)=nd(ξ,m),ψ(η)=nd(η,m)，于是方程(1)的相互作用解為

其中b=b3.

情形7取P=1,Q=2-m2,R=1-m2，則φ(ξ)=sc(ξ,m),ψ(η)=sc(η,m),于是方程(1)的相互作用解為

(12)

其中b=b3.當模m→0時，由(12)式可得

其中b=-b4.當模m→1時，由(12)式可得

其中b=-b5.

情形8取P=1,Q=2m2-1,R=-m2(1-m2)，則φ(ξ)=sd(ξ,m),ψ(η)=sd(η,m)，于是方程(1)的相互作用解為

其中b=b2.

情形9取P=1-m2,Q=2-m2,R=1，則φ(ξ)=cs(ξ,m),ψ(η)=cs(η,m)，于是方程(1)的相互作用解為

其中b=b3.當模m→0時，由上式可得

其中b=-b4.

情形10取P=-m2(1-m2),Q=2m2-1,R=1，則φ(ξ)=ds(ξ,m),ψ(η)=ds(η,m)，于是方程(1)的相互作用解為

其中b=b2.當模m→0時，由上式可得

其中b=b5.

2　部分精確解的三維圖形

下列圖1～3是方程(1)部分精確解的三維圖形.

n=4,λ=1,c=2,m=0.6 圖1　u4的三維波形圖Fig 13-D wave-form figure of solution u4

n=4,λ=4,c=2 圖2　u17的三維波形圖Fig 23-D wave-form figure of solution u17

n=4,λ=0.5,c=2,m=0.5 圖3　u18的三維波形圖Fig 33-D wave-form figure of solution u18

3　結(jié)束語

本文利用兩個Jacobi橢圓函數(shù)作為輔助方程,研究了廣義sinh-Gordon方程，獲得了諸多包含反雙曲正弦函數(shù)、Jacobi橢圓函數(shù)、雙曲函數(shù)和三角函數(shù)的相互作用解，和文獻[3]相比,本文所得到的相互作用解都為新解，更具普遍性.

[1]WAZWAZ A.Exact solutions for the generalized sine-Gordon and the generalized sinh-Gordon equations[J].ChaosSolitonsFractals,2006,28(1):127.

[2]TANG Yan-ning,XU Wei,SHEN Jian-wei,et al.Bifurcations of traveling wave solutions for a generalized sinh-Gordon equation[J].CommunNonlinearScienceNumericalSimulation,2008,13(6):1048.

[3]HE Bin,RUI Wei-Guo,LONG Yao.New exact double periodic wave and complex wave solutions for a generalized sinh-Gordon equation[J].ApplMatheComput,2014,229:159.

[4]傅海明，戴正德.耦合Klein-Gordon-Schr?dinger方程的新精確解[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2009，45(6):32.

[5]趙云梅.利用試探函數(shù)法求Drinfeld-Sokolov-Wilson方程組的精確解[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2013，49(2):36.

[6]石玉仁，周志剛，張娟，等.(3+1)維ZK方程的孤立波解[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2012，48(1):41.

[7]石玉仁，楊紅娟，呂克璞，等.(3+1)維KP方程Backlund變換及其精確解[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2006，42(4):34.

[8]趙云梅，芮偉國.用EXP-函數(shù)法求EqualWidth波方程的精確解[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2008，29(2):94.

[9]套格圖桑，斯仁道爾吉.新的輔助方程與非線性發(fā)展方程的孤立波解[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)漢文版)，2003，32(4):316.

[10]劉式適,傅遵濤,劉式達，等.Jacobi橢圓函數(shù)展開法及其在求解非線性波動方程中的應(yīng)用[J].物理學(xué)報，2001,50(11):2068.

[11]石玉仁，段文山，呂克璞，等.變系數(shù)非線性Schr?dinger方程的精確解[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2004，40(2):27.

[12]劉文健,劉希強，桑波.非線性發(fā)展方程的新精確解[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2012，48(2):31.

[13]MAWei-xiu.ComplexitonsolutionstotheKorteweg-deVriesequation[J].Phys LettA,2002,301:35.

[14]CHENHuai-tang,YINHui-chen.Doubleellipticequationmethodandnewexactsolutionsofthe(n+1)-dimensionalsinh-Gordonequation[J].J Math Phys,2007,48(1):013504-1-013504-7.

[15]SUNWei-kun,CAONan-bin，SHENYa-liang.Doubleellipticequationexpansionapproachandnovelsolutionsof(2+1)-dimensionalbreaksolitonequation[J].Commun Theor Phys,2008,49(2):281.

[16]MENGQing,HEBin,RUIWei-guo,etal.Newexactsolutionsofthe(n+1)-dimensionalsine-Gordonequationusingdoubleellipticequationmethod[J].Interna J Comput Math,2010,87(3):591.

(責任編輯馬宇鴻)

New interaction solutions of the generalized sinh-Gordon equation

ZHAOYun-mei

(DepartmentofMathematics,HongheUniversity,Mengzi661199,Yunnan,China)

UsingtwoJacobiellipticequationsasauxiliaryequations,thegeneralizedsinh-Gordonequationisstudiedinthispaper.WiththeaidofmathematicalsoftwareMaple,manynewinteractionexactsolutionsofthegeneralizedsinh-Gordonequationareobtained.Thesesolutionsinvolvecombinationsofthearcsinhfunction,Jacobiellipticfunctions,hyperbolicfunctionsandtrigonometricfunctions.

generalizedsinh-Gordonequation;auxiliaryequation;interactionsolution;Jacobiellipticfunction

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.03.005

2015-06-06;修改稿收到日期:2015-09-18

國家自然科學(xué)基金資助項目(11161020,11361023)；云南省科技廳科研資助項目(2011FZ193,2013FZ117)；紅河學(xué)院校級科研項目(XJ15SX07)

趙云梅(1972—)，女，云南瀘西人，副教授，碩士.主要研究方向為偏微分方程.

E-mail:zhaoyunmei2000@126.com

O175.2

A

1001-988Ⅹ(2016)03-0018-04