馬艷龍， 李映輝

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院 應(yīng)用力學(xué)與結(jié)構(gòu)安全四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 　610031)

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濕熱環(huán)境下復(fù)合材料薄壁梁振動(dòng)特性研究

馬艷龍， 李映輝

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院 應(yīng)用力學(xué)與結(jié)構(gòu)安全四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610031)

研究濕熱環(huán)境變化對(duì)復(fù)合材料薄壁梁自由振動(dòng)特性的影響。給出了復(fù)合材料薄壁梁的位移場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，將濕熱應(yīng)變引入單層材料的本構(gòu)關(guān)系，基于Hamilton原理得到濕熱環(huán)境下復(fù)合材料薄壁梁的多向耦合振動(dòng)方程。用Galerkin法和假設(shè)模態(tài)得到薄壁梁的固有頻率。討論了周向均勻剛度(CUS)構(gòu)型復(fù)合材料薄壁梁的耦合振動(dòng)特點(diǎn)。數(shù)值計(jì)算分析了濕度、溫度變化及鋪層角度對(duì)梁振動(dòng)特性的影響。

濕熱環(huán)境；復(fù)合材料薄壁梁；自由振動(dòng)；固有頻率

一些細(xì)長(zhǎng)復(fù)合材料殼體結(jié)構(gòu)，如風(fēng)力機(jī)葉片等常服役于濕熱環(huán)境，濕熱對(duì)復(fù)合材料性能有較大影響[1-3]，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性改變，因此研究濕熱對(duì)細(xì)長(zhǎng)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性影響機(jī)理有重要意義。

目前對(duì)濕熱環(huán)境下復(fù)合材料結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的研究主要用層合梁、板、殼等模型。如Jiang等[4]將濕熱應(yīng)變引入單層復(fù)合材料本構(gòu)關(guān)系，通過建立復(fù)合材料旋轉(zhuǎn)層合梁揮舞振動(dòng)方程，考察旋轉(zhuǎn)效應(yīng)、濕熱效應(yīng)、輪轂半徑、纖維方向角等因素對(duì)其揮舞振動(dòng)特性的影響；Shiau等[5]用直接積分法和諧波平衡法研究了濕熱環(huán)境下旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料層合梁在周期激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)定性；Patel等[6]引入濕熱，建立復(fù)合材料層合厚板的靜力、屈曲和振動(dòng)方程，并發(fā)展了13自由度C°八節(jié)點(diǎn)四邊形板單元求解該問題；楊加明等[7]基于Reddy[8]高階剪切理論，在本構(gòu)中考慮濕熱，建立復(fù)合材料層合板幾何非線性振動(dòng)控制方程，討論溫度、濕度、長(zhǎng)厚比、纖維方向角等對(duì)層合板振動(dòng)特性影響；Swamy等[9]用有限元法，分析濕熱環(huán)境下復(fù)合材料層合殼的非線性自由振動(dòng);文獻(xiàn)[10]研究了濕熱環(huán)境對(duì)旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料疊層梁擺振特性的影響。由于復(fù)合材料薄壁梁的復(fù)雜性，現(xiàn)有的對(duì)薄壁梁在濕熱環(huán)境下的振動(dòng)特性研究還很少。

本文基于復(fù)合材料薄壁閉合截面梁位移應(yīng)變關(guān)系，將濕熱應(yīng)變引入單層材料本構(gòu)關(guān)系，用Hamilton原理建立梁拉伸、彎曲、扭轉(zhuǎn)多向耦合振動(dòng)方程探討濕熱效應(yīng)、纖維鋪層角對(duì)薄壁梁振動(dòng)特性的影響機(jī)理。

1　振動(dòng)控制方程

1.1位移場(chǎng)

考慮細(xì)長(zhǎng)薄壁閉合截面梁，如圖1。梁長(zhǎng)L，壁厚h，截面中性面曲率半徑R，且h?R，R?L。

圖1　薄壁梁結(jié)構(gòu)與坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate systems and geometry of thin-walled beam

薄壁梁整體坐標(biāo)系oxyz的坐標(biāo)原點(diǎn)位于固定端，局部坐標(biāo)系o″xsξ位于薄壁截面上一點(diǎn)。整體坐標(biāo)系中梁截面位移場(chǎng)為

u2(x,s)=U2(x)-z(s)φ

u3(x,s)=U3(x)+y(s)φ

(1)

式中：ui(i=1,2,3)為截面上任一點(diǎn)沿坐標(biāo)軸x,y,z方向的位移，Ui(i=1,2,3)為截面沿坐標(biāo)軸x,y,z方向的平均位移，φ表示截面繞x軸的扭轉(zhuǎn)角，()′表示對(duì)x求導(dǎo)。g(s,x)為截面面外翹曲，可表為[11]

g2(s)U″2+g3(s)U″3

(2)

式中：g1、g2、g3分別為拉伸、繞z,y軸彎曲的面外翹曲函數(shù)，G(s)為扭轉(zhuǎn)翹曲函數(shù)。

薄壁上任一點(diǎn)在局部坐標(biāo)系o″xsξ中的位移為

(3)

1.2本構(gòu)關(guān)系

薄壁梁截面的應(yīng)變場(chǎng)為

Gφ″+g1U″1+g2U?2+g3U?3

(4)

式中：ε11、ε12和ε22為截面上任一點(diǎn)的軸向應(yīng)變、剪切應(yīng)變和環(huán)向應(yīng)變，( ),s和( ),ss為對(duì)s的一階、二階導(dǎo)數(shù)，rn=y·z,s-z·y,s為x軸到局部坐標(biāo)s處截面切線的垂直距離[12]。

考慮溫度和濕度變化，單層材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

(5)

1.3勢(shì)能表達(dá)式

濕熱環(huán)境下單層材料振動(dòng)變形應(yīng)變能密度Φ為

(6)

令H=(H11H22H12)T=ΔTα+ΔCβ，γ=(γ11γ22γ12)T=(ε-H)，則

(7)

當(dāng)薄壁結(jié)構(gòu)未受到橫向壓力時(shí)，環(huán)向應(yīng)力可忽略，得到

(8)

由式(7)和式(8)得

(9)

將式(9)代入式(7)，則單層材料應(yīng)變能密度Φ為

(10)

式中：

(11)

將γ=(ε- ΔTα- ΔCβ)代入(10)得

2A(s)ε11H11-2B(s)ε11H12-

2B(s)ε12H11-2C(s)ε12H12+

(12)

式中:前三項(xiàng)為振動(dòng)變形勢(shì)能密度，四至七項(xiàng)為濕熱變形與振動(dòng)變形耦合勢(shì)能密度，最后三項(xiàng)為濕熱變形勢(shì)能密度。如鋪層數(shù)為n，單層厚度hk(k=1,…,n)，有h=h1+…+hn。將式(12) 沿環(huán)向和軸向積分，并對(duì)各層疊加，可得式(12) 中三部分對(duì)應(yīng)的勢(shì)能

(13)

因翹曲為小量，軸向變化率遠(yuǎn)小于環(huán)向變化率，A(s)、B(s)、C(s)為同一量級(jí)，將式(4)中應(yīng)變代入應(yīng)變能密度式(13)，并忽略翹曲軸向分量化簡(jiǎn)得

(14)

B(s)g1,szk)-C(s)g1,sg3,s]ds，

B(s)g1,syk)-C(s)g1,sg2,s]ds

zkg2,s)+C(s)g2,sg3,s]ds，

(15)

(16)

式中：

(17)

濕熱環(huán)境下復(fù)合材料薄壁閉合梁總勢(shì)能

U=Ud+Uc+Ue

(18)

1.4動(dòng)能表達(dá)式

復(fù)合材料薄壁閉合截面梁的動(dòng)能T

(19)

將式(1)代入式(19)得

(20)

1.5振動(dòng)方程

(21)

式中：mc、Sy、Sz、I與截面幾何和材料密度ρ有關(guān)，表示為

(22)

對(duì)應(yīng)于式(21)的力邊界條件為

(23)

式中：F0、FL為梁兩端的外加軸向力，Mx0、MxL為梁兩端的外加扭矩，My0、MyL為兩端外加繞y軸彎矩，Qz0、QzL為兩端沿z軸方向的剪力，Mz0、MzL為兩端外加繞z軸彎矩，Qy0、QyL為兩端沿y軸方向的剪力。

由方程(21)及邊界條件(23)可見，濕熱不僅通過改變材料屬性能影響薄壁梁的剛度，而且通過產(chǎn)生濕熱變形引起軸向力Nx使梁兩個(gè)彎曲方向的剛度變化；同時(shí)濕熱還以同樣的方式影響梁的邊界條件。

2　求解方法

方程組(21)是一組耦合偏微分方程，通常不能得到其解析解，為此使用Galerkin方法和假設(shè)模態(tài)法求其數(shù)值解。令

(24)

式中：

(25)

式(24)中φ(x)、η(x)、?(x)和ζ(x)分別為拉伸、扭轉(zhuǎn)、繞z軸(水平)和y軸(垂向)彎曲的模態(tài)函數(shù)，式(25)中φi(x)、ηi(x)、?i(x)和ζi(x)是滿足邊界條件的試函數(shù)，ai、bi、ci、di為待定系數(shù)，N為試函數(shù)個(gè)數(shù)。

式(24)～(25)代入(21)，基于Galerkin過程得

([K]-ω2[M])q=04N×1

(26)

式中：q={a1,…,aN,b1,…,bN,c1,…cN,d1,…,dN}T為待定系數(shù)列向量。

[K]和[M]中各子塊均為N×N的方陣，其元素為

由q≠0，得到

(27)

由式(27)可求得梁的固有頻率，再由式(26)求得模態(tài)向量，最后由式(25)求得其模態(tài)函數(shù)。

3　應(yīng)用

3.1CUS構(gòu)型梁

對(duì)沿周向均勻鋪層構(gòu)型梁，如圖2。由式(11)知A(s)、B(s)、C(s)為常數(shù)，且C13=C14=C23=C24=C34=0，有Sy=Sz=0。方程組(21)簡(jiǎn)化為

(28)

圖2　CUS構(gòu)型截面Fig.2 Cross section of the circumferentially uniform stiffness construction

由式(28)可見，CUS構(gòu)型梁僅存在拉-扭耦合，不存在拉-彎、彎-扭和彎-彎耦合；濕熱不僅通過改變材料屬性影響梁的剛度矩陣[C]，還通過濕熱變形引起的軸向力Nx影響梁的垂向(V-bending，vertical)和水平(H-bending，horizontal) 彎曲剛度，從而影響其振動(dòng)特性。

3.2算例

為考察濕熱對(duì)復(fù)合材料薄壁閉合截面梁振動(dòng)特性的影響，以兩端固支周向均勻鋪層(CUS)薄壁閉合截面梁為算例。幾何參數(shù)見表1，材料為石墨/環(huán)氧，其彈性模量隨濕度、溫度變化如表2，濕膨脹系數(shù)β1=0，β2=0.44×10-6℃，熱膨脹系數(shù)α1=-0.3×10-6℃，α2=28.1×10-6℃,泊松比ν21=0.3。

表1　復(fù)合材料薄壁梁幾何參數(shù)

表2　石墨/環(huán)氧彈性模量[6](a)不同吸水濃度；(b)不同溫度

3.2.1收斂性驗(yàn)證

式(25)中試函數(shù)φi(x)、ηi(x)、?i(x)和ζi(x) 理論上有多種取法，在給定精度要求下，不同取法其試函數(shù)目N不同。本文以固支梁拉伸、扭轉(zhuǎn)、彎曲振型函數(shù)[13]為試函數(shù)。即

(29)

1-cosh(ωiL)cos(ωiL)=0,i=1,2,…,N

圖3給出了試函數(shù)個(gè)數(shù)N對(duì)前拉伸、扭轉(zhuǎn)、完全前四階固有頻率精度的影響?？梢奛增加，各階固有頻率快速收斂。在僅計(jì)算前四階固有頻率時(shí)，N=8可以保證足夠精度。如需計(jì)算更高階固有頻率，則N要相應(yīng)增大。

3.2.2有效性驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文理論和方法，將本文結(jié)果與有限元法(FEM)結(jié)果比較如表3。有限元計(jì)算使用Nasran四節(jié)點(diǎn)殼單元，共3 456個(gè)節(jié)點(diǎn)、3438個(gè)單元。

由表3可見，本文結(jié)果與有限元結(jié)果非常接近，最大誤差4.7%，具有非常好的一致性，說明本文理論和方法正確。

3.2.3溫度效應(yīng)

濕熱將改變材料力學(xué)性能，從而影響結(jié)構(gòu)的固有頻率。從方程式(28)可見對(duì)CUS構(gòu)型梁，濕熱僅通過材料性能改變影響拉-扭耦合振動(dòng)特性；但以材料性能改變、濕熱變形兩種方式影響彎曲振動(dòng)特性。

圖3　前四階固有頻率的收斂性(ΔT=50℃, ΔC=0.5%, θ=60°)Fig.3 Convergence of the first four naturalfrequencies(ΔT=50℃, ΔC=0.5%, θ=60°)

階數(shù)拉伸本文FEM扭轉(zhuǎn)本文FEM水平彎曲本文FEM垂向彎曲本文FEM11759.41740.31003.6996.468.3467.82123.7120.123518.83446.22007.21972.8215.1209.7356.4348.735278.15109.73010.82942.3441.9431.5711.0694.247037.56721.64014.53842.5745.6718.71184.71135.8

表4給出了在ΔC=0、θ=60°時(shí)，梁前兩階拉伸、扭轉(zhuǎn)、兩個(gè)方向彎曲振動(dòng)特性隨溫度的變化規(guī)律。由表4可見溫度增加梁各振動(dòng)固有頻率均下降，對(duì)彎曲振動(dòng)特性影響較拉、扭振動(dòng)更加顯著(溫度升高100°，水平彎曲振動(dòng)一階頻率下降近29%)。

為分析溫度導(dǎo)致的材料性能改變和熱膨脹導(dǎo)致的熱變形二者對(duì)振動(dòng)特性影響機(jī)理，表5給出了僅考慮溫度導(dǎo)致的材料性能改變對(duì)兩個(gè)方向的彎曲振動(dòng)特性影響規(guī)律，表6給出了僅考慮熱變形對(duì)兩個(gè)方向的彎曲振動(dòng)特性影響規(guī)律。

表4　溫度對(duì)梁振動(dòng)特性的影響(ΔC=0, θ=60°,單位：Hz)

表5　僅考慮溫度引起的材料性質(zhì)改變對(duì)梁彎曲振動(dòng)特性的影響(ΔC=0, θ=60°, 單位：Hz)

表6　僅考慮溫度引起的熱變形對(duì)梁彎曲振動(dòng)特性的影響(ΔC=0, θ=60°, 單位：Hz)

由表5和表6可見，溫度增加導(dǎo)致的材料性能改變和熱膨脹導(dǎo)致的熱變形均使梁的彎曲振動(dòng)頻率下降。對(duì)高階振動(dòng)，溫度導(dǎo)致的材料性能改變強(qiáng)于熱變形的影響；對(duì)低階振動(dòng)，溫度導(dǎo)致的材料性能改變較熱變形的影響弱。

3.2.4濕度效應(yīng)

從式(21)和(28)可以看出， 濕度與溫度作用機(jī)理相同。表7給出了濕度對(duì)梁振動(dòng)特性的影響?？梢姖穸仍龃?，梁各階固有頻率降低。鑒于石墨/環(huán)氧復(fù)合材料飽和吸水濃度一般在1%左右[14]，相對(duì)于溫度而言濕度對(duì)梁的振動(dòng)特性影響較小。

3.2.5鋪層角效應(yīng)

圖4給出了在不同濕熱下，材料鋪層角對(duì)前兩階拉伸、扭轉(zhuǎn)、兩個(gè)方向的彎曲振動(dòng)特性的影響。可見拉伸和彎曲振動(dòng)頻率隨鋪層角增大而下降；扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率先增后減，在45°鋪層角達(dá)到最大；鋪層角對(duì)振動(dòng)特性影響與濕熱環(huán)境、振動(dòng)形態(tài)密切相關(guān)。

表7　濕度對(duì)梁振動(dòng)特性的影響(ΔT=0, θ=60°,單位：Hz)

圖4　鋪層角對(duì)梁振動(dòng)特性的影響Fig.4 Effects of ply angle on vibration characteristics of the beam

4　結(jié)　論

本文綜合考慮梁截面翹曲、濕熱對(duì)材料性能影響、濕熱變形等因素，建立了濕熱環(huán)境下復(fù)合材料薄壁截面梁的耦合振動(dòng)方程，基于此研究了濕熱效應(yīng)、材料鋪層角對(duì)薄壁梁振動(dòng)特性的影響。結(jié)論如下：

(1) 濕熱通過改變材料性能、產(chǎn)生濕熱變形兩種形式影響梁的振動(dòng)特性，濕熱增加二者均導(dǎo)致振動(dòng)頻率降低。

(2) 對(duì)高階振動(dòng)，溫度導(dǎo)致的材料性能改變強(qiáng)于熱變形影響；對(duì)低階振動(dòng)，溫度導(dǎo)致的材料性能改變較熱變形的影響弱。

(3) 總體來說，溫度對(duì)振動(dòng)特性的影響是主要的，相對(duì)于濕度影響更大；

(4) 濕熱對(duì)梁振動(dòng)特性的影響與振動(dòng)形態(tài)密切相關(guān)，對(duì)彎曲振動(dòng)特性影響較拉、扭振動(dòng)更加顯著。鋪層角對(duì)振動(dòng)特性影響與濕熱環(huán)境、振動(dòng)形態(tài)密切相關(guān)。

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Free vibration characteristics of a composite thin-walled beam under hygrothermal environment

MA Yanlong, LI Yinghui

(Applied Mechanics and Structure Safety Key Laboratory of Sichuan Province,School of Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Free vibration characteristics of a composite thin-walled beam under hygrothermal environment were investigated here. Firstly, the displacement field and strain one of the closed-section beam were derived. The influence of hygrothermal environment on the beam’s dynamic characteristics was introduced through adding the strain of moisture and thermal expansion into the constitutive relation of single layer material. The multi-directional coupled vibration equations of the composite beam were derived employing Hamilton’s principle. The natural frequencies of the beam were obtained based on Galerkin method and the assumed-modes method. The coupled vibrations of a typical composite beam with circumferentially uniform stiffness(CUS) were discussed. The influences of temperature, moisture and ply angle on the natural frequencies of the beam were analyzed through numerical simulations.

hygrothermal; composite thin-walled beam; free vibration; natural frequency

國家自然科學(xué)基金(11372257);西南交通大學(xué)研究生創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)實(shí)踐(YC201412230)

2015-01-27修改稿收到日期：2015-07-02

馬艷龍 男，碩士，1986年9月生

李映輝 男，博士，教授，1964年10月生

E-mail:yinghui.li@home.swjtu.edu.cn

O326

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.15.026