王學(xué)慶， 趙　明

(安徽工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院,安徽 馬鞍山　243032)

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高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)動力特性簡化計算方法

王學(xué)慶， 趙明

(安徽工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院,安徽 馬鞍山243032)

針對規(guī)則高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)側(cè)向變形特征，按樓層集中質(zhì)量法建立的多質(zhì)點(diǎn)模型進(jìn)行模態(tài)分析，以振型有效質(zhì)量為判斷依據(jù)，確定了該類結(jié)構(gòu)在采用振型分解反應(yīng)譜法進(jìn)行單軸向計算分析時可取前兩階振型。在考慮了隔震層轉(zhuǎn)動影響前提下，基于所定義的線剛重比構(gòu)建了該類結(jié)構(gòu)前兩階自振周期、振型、振型阻尼比的簡化計算方法及相應(yīng)計算式，驗證計算結(jié)果表明能夠較好的反映出結(jié)構(gòu)前兩階動力特性。當(dāng)隔震層轉(zhuǎn)動線剛重比較小時，若不計入其影響將導(dǎo)致二階周期計算偏差較大。在此基礎(chǔ)上給出了基于線剛重比的規(guī)則高層剪力墻結(jié)構(gòu)隔震前后周期比的顯式表達(dá)式，為高層隔震結(jié)構(gòu)實用設(shè)計方法的研究提供了基礎(chǔ)。

高層剪力墻結(jié)構(gòu)；隔震；線剛重比；動力特性；簡化計算

橡膠墊隔震技術(shù)能夠通過延長結(jié)構(gòu)自振周期減小上部結(jié)構(gòu)地震作用效應(yīng)而被廣泛應(yīng)用于中低層建筑，因其上部結(jié)構(gòu)自身相對變形較小而可被視為剛體，故相應(yīng)的計算分析可采用較為簡化的單質(zhì)點(diǎn)模型完成[1-3]。高層隔震結(jié)構(gòu)的動力特性受上部結(jié)構(gòu)影響較大，若采用單質(zhì)點(diǎn)模型進(jìn)行簡化計算將導(dǎo)致較大偏差，若按樓層集中質(zhì)量建立多質(zhì)點(diǎn)模型進(jìn)行計算又較為繁雜，不便于設(shè)計人員快速計算與分析。因此，簡單有效的計算模型與方法對工程應(yīng)用和相應(yīng)的設(shè)計人員均有重要意義，國內(nèi)外已有很多專家學(xué)者對此進(jìn)行了相關(guān)研究。

祁皚等[4-6]先后采用單質(zhì)點(diǎn)和三質(zhì)點(diǎn)模型對高層隔震結(jié)構(gòu)的高寬比限值進(jìn)行了深入研究，計算表明不同模型所得結(jié)果存在一定差異，認(rèn)為三質(zhì)點(diǎn)模型所得高寬比限值更加安全可靠。劉文光等[7-8]先后采用單質(zhì)點(diǎn)和雙質(zhì)點(diǎn)模型對高層隔震結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)單純質(zhì)點(diǎn)法研究，并對22層隔震結(jié)構(gòu)工程實例進(jìn)行了時程分析，結(jié)果表明單、雙質(zhì)點(diǎn)模型的單純質(zhì)點(diǎn)法均與多質(zhì)點(diǎn)模型的計算結(jié)果相近。文獻(xiàn)[9-10]對高層框架隔震結(jié)構(gòu)開展了振動臺試驗研究，結(jié)果表明隔震能夠降低結(jié)構(gòu)高階振型的反應(yīng)，且在結(jié)構(gòu)隔震設(shè)計中應(yīng)考慮上部結(jié)構(gòu)變形的影響，而文獻(xiàn)[11]對特定的高層框架剪力墻結(jié)構(gòu)進(jìn)行的時域和頻域分析也得出了類似結(jié)論。文獻(xiàn)[12]將20層框架剪力墻隔震結(jié)構(gòu)簡化為多質(zhì)點(diǎn)擺動模型進(jìn)行了時程分析，認(rèn)為平擺作用將導(dǎo)致上部結(jié)構(gòu)各層加速度相應(yīng)變大。以上高層隔震結(jié)構(gòu)簡化計算模型中，上部結(jié)構(gòu)均存在較強(qiáng)剪切變形特征，難以反應(yīng)剪力墻彎曲變形特點(diǎn)。而文獻(xiàn)[13]則認(rèn)為高層隔震結(jié)構(gòu)可簡化為隔震懸臂梁模型，但并未給出相應(yīng)的等效方法及計算式，只能進(jìn)行定性分析。

本文在計入隔震層轉(zhuǎn)動影響前提下，基于所定義的線剛重比構(gòu)建了適合高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)前兩階自振周期、振型、振型阻尼比的簡化計算方法及相應(yīng)計算式，并通過對比計算驗證了這種方法的簡便有效性。

1　高層隔震結(jié)構(gòu)的動力特征方程

1.1基本假設(shè)

(1) 隔震支座均勻?qū)ΨQ布置；

(2) 上部結(jié)構(gòu)各樓層層高均為h，因隔震層高度與上部結(jié)構(gòu)高度相比較小，忽略不計；

(3) 上部結(jié)構(gòu)各樓層等效重力荷載均為G0，隔震層等效重力荷載為GI，且Rg=GI/G0為常量。

1.2動力特征方程

高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)由上部結(jié)構(gòu)和隔震層組成。在側(cè)向力的作用下，上部結(jié)構(gòu)將發(fā)生彎曲變形，隔震層將發(fā)生剪切變形和轉(zhuǎn)動變形，如圖1所示。

圖1　高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)側(cè)向變形構(gòu)成Fig.1 Lateral deformation component of high-rise isolated structure

根據(jù)圖1中的側(cè)向變形分解，采用柔度法建立的高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)的動力特征方程為：

(1)

式中：[m]為質(zhì)量矩陣，[f]為柔度矩陣，[I]為單位矩陣，ωj為結(jié)構(gòu)第j階自振圓頻率，{φj}為與之對應(yīng)的振型。

[m]為對角陣，主對角線上的元素分別為m11=RgG0/g與mii=G0/g，(i=2,3,…,n+1)，g為重力加速度，n為上部結(jié)構(gòu)總層數(shù)；

[f]的具體構(gòu)成為：

[f]=[fs]+[fIb]+[fIs]

(2)

[fs]為上部結(jié)構(gòu)彎曲柔度分量的對稱矩陣，其上三角中的元素為：

fsij=(i-1)2(3j-i-2)/(6n3RsGs)

(i，j=1,2,…,n+1)

(3)

式中：Rs=EJd/(H3Gs)為上部結(jié)構(gòu)線剛重比，H=nh為上部結(jié)構(gòu)總高度，Gs=nG0為結(jié)構(gòu)等效總重力荷載，EJd為上部結(jié)構(gòu)按倒三角形分布荷載作用下頂點(diǎn)位移相等原則等效的抗彎剛度，其計算方法請參見文獻(xiàn)[14]。

[fIb]為隔震層轉(zhuǎn)動柔度分量的對稱矩陣，其上三角中的元素為：

fIbij=(i-1)(j-1)/(n2RIbGs)

(i，j=1,2,…,n+1)

(4a)

式中：RIb=KIb/(H2Gs)為隔震層的轉(zhuǎn)動線剛重比，KIb為隔震層轉(zhuǎn)動剛度。

(4b)

式中：Kvi為支座i的豎向壓縮剛度，li為支座i到隔震層形心的距離，m為支座的個數(shù)。

[fIs]為隔震層剪切柔度分量矩陣：

fIsij=1/(RIsG)

(i，j=1,2,…,n+1)

(5a)

式中：RIs=KIs/G為隔震層的剪切線剛重比，KIs為隔震層剪切剛度，G=(n+Rg)G0。

(5b)

式中：Ksi為支座i的水平剪切剛度。

2　結(jié)構(gòu)基本周期的簡化計算

2.1上部結(jié)構(gòu)基本周期的簡化計算

當(dāng)RIb→∞和RIs→∞時，式(1)即為上部結(jié)構(gòu)的動力特征方程。對其進(jìn)行分析可知，結(jié)構(gòu)基本周期僅與層數(shù)n和線剛重比Rs有關(guān)。上部結(jié)構(gòu)分別為10、20、30、40和50層五種工況的上部結(jié)構(gòu)基本周期Ts與Rs的關(guān)系曲線如圖2所示。

圖2　Ts與1/Rs的關(guān)系曲線Fig.2 Relationship between Ts and 1/Rs

由上圖可知，上部結(jié)構(gòu)基本周期Ts與線剛重比Rs符合如下基本形式：

(6a)

式中：f(n)是隨層數(shù)變化的系數(shù)，其與層數(shù)n的關(guān)系如圖3所示。對其進(jìn)行線性擬合可得：

(6b)

將式(6b)代入式(6a)，可得上部結(jié)構(gòu)基本周期的簡化計算公式為：

(6c)

由上式可知，若不考慮1+1/n項，基本周期計算值將偏小n/(1+n)，即n=10時小9%，n=30時小3.2%，n=50時小2%。因此，層數(shù)n可視為對上部結(jié)構(gòu)基本周期的修正，而層數(shù)越多，其修正作用越小。

圖3　f(n)與1/n的關(guān)系曲線Fig.3 Relationship between f(n) and 1/n

圖4　剪力墻結(jié)構(gòu)示意Fig.4 Sketch of shear wall structure

工況1234墻體類型小開口小開口雙肢雙肢墻厚/m0.350.300.250.2層數(shù)33282218EJd×107/(kN·m2)23.7220.1415.6311.95H/m99846654Gs×103/kN1.631.361.551.69Rs/1/m0.150.250.350.45上部結(jié)構(gòu)基本周期Ts/s有限元1.511.171.010.90式(1)1.501.171.000.89式(6c)1.501.171.000.89

為驗證上部結(jié)構(gòu)基本周期簡化計算式(6c)的準(zhǔn)確性，分別與有限單元法和式(1)的層模型方法計算結(jié)果對比，如表1所示。圖4為驗證計算所選用的剪力墻結(jié)構(gòu)示意圖，其中圖(a)為小開口剪力墻，圖(b)為雙肢剪力墻。取E=Ec=3.0×107kN/m2，Ec為混凝土彈性模量，剪切模量取G=0.42Ec，重力加速度g=10 m/s2。計算結(jié)果表明，利用式(6c)計算上部結(jié)構(gòu)基本周期的誤差基本在1%范圍內(nèi)，精度較高，能夠滿足工程需要，且計算簡便。

2.2隔震層剪切變形時結(jié)構(gòu)基本周期的簡化計算

當(dāng)Rs→∞和RIb→∞時，上部結(jié)構(gòu)已成為剛體，隔震層僅有水平剪切變形。此時，高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)則可簡化為單自由度體系，且與層數(shù)n無關(guān)，其基本周期為：

(7)

圖5為高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)處于僅隔震層發(fā)生剪切變形時的基本周期簡化計算式(7)與式(1)的對比計算結(jié)果及誤差曲線，簡化計算式的誤差僅為0.05%左右。另由式(7)可知，當(dāng)僅隔震層發(fā)生剪切變形時，其基本周期僅與RIs有關(guān)。

圖5　式(7)驗證Fig.5 Verification of formula(7)

2.3隔震層轉(zhuǎn)動變形時結(jié)構(gòu)基本周期的簡化計算

當(dāng)Rs→∞和RIv→∞時，由假定(1)可知，隔震層僅有繞其中性軸的轉(zhuǎn)動變形，而上部結(jié)構(gòu)仍為剛體。此時，高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)仍則可簡化為單自由度體系，其基本周期為：

(8)

上式中的層數(shù)n是計算上部結(jié)構(gòu)對隔震層中性軸的轉(zhuǎn)動慣量時引入的，若不考慮層數(shù)n的影響，當(dāng)n=10時，其基本周期計算值將偏小7%，n=30時偏小2.4%，n=50時偏小1.5%。因此，層數(shù)n也可看作對結(jié)構(gòu)基本周期的修正，且層數(shù)越多，其修正作用越小。

圖6　式(8)驗證Fig.6 Verification of formula(8)

圖6為高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)處于僅發(fā)生轉(zhuǎn)動變形時的基本周期簡化計算式(8)與式(1)的對比計算結(jié)果及誤差曲線，當(dāng)層數(shù)n取較小值與較大值時，基本周期的簡化計算式的最大誤差均處于0.05%左右，由此可見簡化計算的偏差很小。

2.4前兩階自振周期的簡化計算

結(jié)合式(1)及振型質(zhì)量參與系數(shù)的定義可得高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)第j階振型質(zhì)量參與系數(shù)為：

(9)

式中：mi為第i層質(zhì)量，φji為經(jīng)過對質(zhì)量矩陣歸一化處理的第j階振型第i層振型位移。

若令γ1+2為高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)前兩階振型質(zhì)量參與系數(shù)和，則可由式(1)及式(9)計算出其隨Rs、RIs和RIb變化的空間分布，如圖7所示，因其為四維空間，故采用了切片圖形方法，顏色的深淺程度代表γ1+2大小。由圖可知，在考慮了隔震層轉(zhuǎn)動剛度的影響后，高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)前兩階振型質(zhì)量參與系數(shù)和基本保持在95%以上。因此，該類結(jié)構(gòu)單軸向反應(yīng)譜分析時僅取前兩階振型即可得到較為滿意的計算結(jié)果[13]。

另由圖1可知，高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)的前兩階振型均可看作上部結(jié)構(gòu)與隔震層剪切、轉(zhuǎn)動變形的一種組合，因此其前兩階自振周期的計算可簡化為：

(10)

式(10)即符合高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)的一般情況，同時也符合前述三種特殊狀態(tài)。因此，作為自振周期的簡化計算方法具有較高的統(tǒng)一性。

圖7　γ1+2分布圖Fig.7 The nephogram of γ1+2

依據(jù)文獻(xiàn)[15]中對上部結(jié)構(gòu)底層樓板的規(guī)定，取Rg=1.5；令Rs、RIs與RIb同為自變量，并考慮層數(shù)n分別取15、30和45層三種情況，再由式(6c)確定Rs的合理取值區(qū)間，驗證高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)基本周期的簡化計算式(10)的準(zhǔn)確性。

圖8為式(6)、式(7)、式(8)及式(10)聯(lián)合計算結(jié)果與式(1)計算結(jié)果相比的誤差分布。由圖可知，前兩階周期計算誤差均出現(xiàn)在RIs/Rs較小及RIb/RIs較大的區(qū)域。一階周期誤差隨層數(shù)增加而減小，最大誤差不足1%；二階周期誤差則隨層數(shù)增加而增加，最大不足9%。就總體而言，式(10)的計算精度是可以滿足工程設(shè)計需要的。

圖8　式(10)驗證Fig.8 Verification of formula(10)

3　振型及阻尼比簡化計算

3.1前兩階振型阻尼比簡化計算

因高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)可視為上部結(jié)構(gòu)與隔震系統(tǒng)共同組成的結(jié)構(gòu)體系，故其振型阻尼比可據(jù)文獻(xiàn)[8]的雙質(zhì)點(diǎn)模型由下式確定：

(11a)

(11b)

(11c)

式中：ξeqi為第i個支座的等效阻尼比，ωt為試驗確定ξeqi時的加載圓頻率。

當(dāng)層數(shù)n逐漸增大時，Rg/n→0，故上式在n較大時可進(jìn)一步簡化為：

ξj=Tj[μ2ξs/Ts+(1-μ)2ξI/TIs]

(j=1,2)

(11d)

3.2前兩階振型簡化計算

由式(1)的計算結(jié)果可知，當(dāng)T1/Ts≥1.5時，高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)前兩階振型基本呈直線，因此可進(jìn)行線性近似等效。

圖9　振型Fig.9 Modal of vibration

(12a)

(12b)

在高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)的地震作用效應(yīng)中，通常較為關(guān)注基底剪力和傾覆力矩，分別用以估計隔震層的水平剪切變形、支座受拉和受壓是否滿足規(guī)范要求。由上述簡化方法和式(1)分別計算出結(jié)構(gòu)的動力特性后，采用振型分解反應(yīng)譜法可分別得到基底剪力和傾覆力矩簡化前后的對比誤差曲面，如圖10和圖11所示，結(jié)果表明其受層數(shù)n的影響很小，可以忽略不計。與式(1)的計算結(jié)果相比，簡化方法的基地剪力計算結(jié)果偏大，但最大不足7%，且隨RIs/Rs和RIb/RIs的減小而減小，即T1/Ts越大誤差越小。而由簡化方法計算的傾覆力矩結(jié)果更為理想，其偏差均小于1.5%。因此，上述高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)前兩階自振周期、振型及阻尼比的簡化計算方法可應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)設(shè)計與分析中。

圖10　基底剪力誤差Fig.10 Errors of base shear

圖11　傾覆力矩誤差Fig.11 Errors of overturning moment

4　高層結(jié)構(gòu)隔震前后周期比

(13a)

式中：λ1與λ2可由式(6c)、式(7)和式(8)表達(dá)為：

(13b)

由上式可知，高層結(jié)構(gòu)隔震后與隔震前周期比除受Rs/RIs與Rs/RIb的影響外，還與層數(shù)n有關(guān)，但n對T1/Ts和T2/Ts的計算結(jié)果影響非常小，故可作以上近似。若不考慮隔震層轉(zhuǎn)動剛度的影響(RIb→∞)，當(dāng)給定高層結(jié)構(gòu)隔震后與隔震前基本周期比T1/Ts，即可由式(13a)解出與之對應(yīng)的Rs/RIs，并進(jìn)一步確定隔震層水平剪切剛度，用以指導(dǎo)設(shè)計。

圖12　T1與T2計算誤差Fig.12 The calculation errors of T1 and T2

圖12為計入與未計入RIb計算所得的前兩階周期誤差曲線。二者相比，RIb對高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)二階周期的影響更為顯著。T1的誤差受周期比T1/Ts的影響很小，隨RIb/RIs的增加而減小。當(dāng)RIb≥2.5RIs時，T1的誤差可控制在Ts×5%范圍內(nèi)。T2的誤差受周期比T1/Ts的影響較大，且隨其增加而增大，T1/Ts為1.5、2.0和2.5時，需要RIb分別大于2.5RIs、7RIs和14RIs才可使T2的誤差控制在Ts×5%以內(nèi)。因此，對于高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)僅考慮隔震層的剪切剛度，忽略轉(zhuǎn)動剛度的影響，將導(dǎo)致前兩階周期計算結(jié)果偏小。

5　實例分析

通過某一實際工程的有限元模擬及簡化方法計算的對比分析，驗證后者的正確性。該工程為22層剪力墻結(jié)構(gòu)，層高3.3 m，剪力墻厚度250 mm，混凝土彈性模量Ec=3.0×104MPa，高寬比4.54，支座型號及布置如圖13所示。地震波分別選用Kobe(PGA=0.345 g)、Chi_Chi(PGA=0.364 g)和NorthRidge(簡稱為N_R波，PGA=0.568 g)，結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)時程有限元計算采用ANSYS建模。

圖13　隔震支座布置圖Fig.13 Arrangement of lead rubber bearings

由表3可知，不考慮與考慮隔震層轉(zhuǎn)動的計算結(jié)果相比都是偏大的，Chi_Chi波作用下由簡化方法得到的底部剪力和傾覆力矩增加最多，分別為10%和8.9%，相應(yīng)的有限元方法增加均未超過5%，可見不考慮隔震層轉(zhuǎn)動對結(jié)構(gòu)底部剪力及傾覆力矩的影響并不大，且更加偏于保守。其結(jié)果偏大較小的原因在于，滿足文獻(xiàn)[16]中對支座拉壓應(yīng)力限值的前提下，支座的壓縮變形量將很小，進(jìn)而隔震層的轉(zhuǎn)角也將很小。因此，在初步設(shè)計階段可忽略隔震層轉(zhuǎn)動的影響。

表2　結(jié)構(gòu)參數(shù)

表3　計算結(jié)果對比

注：據(jù)式(11)計算的ξ1=0.09(0.08)；ξ2=0.1(0.11)；α1和α2分別為與之對應(yīng)的加速度反應(yīng)譜譜值。括號中數(shù)值為不考慮隔震層轉(zhuǎn)動影響的結(jié)果。

簡化方法計算結(jié)果與有限元時程分析結(jié)果相比，Kobe波的底部剪力偏大0.2%、傾覆力矩偏大0.8%；Chi_Chi波的分別偏大3.5%和12.9%；NorthRidge波的分別偏大1.1%和3%；表明簡化方法的計算結(jié)果是更偏于安全的，能夠滿足工程結(jié)構(gòu)初步設(shè)計的要求。因此，本文便捷有效的簡化計算方法可以在高層隔震剪力墻結(jié)構(gòu)的初步設(shè)計中應(yīng)用。

6　結(jié)　論

將規(guī)則高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)的側(cè)向變形視為由上部結(jié)構(gòu)的彎曲變形、隔震層的水平剪切變形和轉(zhuǎn)動變形共同構(gòu)成，并在必要的基本假設(shè)前提下，對該類結(jié)構(gòu)的動力特性簡化計算方法進(jìn)行了分析與驗證，得出以下主要結(jié)論：

(1) 在考慮了隔震層轉(zhuǎn)動變形的影響后，高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)前兩階振型質(zhì)量參與系數(shù)和基本保持在95%以上。因此，該類結(jié)構(gòu)單軸向反應(yīng)譜分析時僅取前兩階振型即可得到較為滿意的計算結(jié)果；

(2) 不考慮隔震層轉(zhuǎn)動變形對高層隔震剪力墻結(jié)構(gòu)底部剪力及傾覆力矩的影響并不大，故在初步設(shè)計階段可忽略隔震層轉(zhuǎn)動的影響。

(3) 基于線剛重比并考慮了隔震層轉(zhuǎn)動變形的前兩階自振周期、振型和阻尼比的簡化計算式，能夠較為準(zhǔn)確的估計基底剪力與傾覆力矩等重要的結(jié)構(gòu)地震作用效應(yīng)，為高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)的設(shè)計與分析提供了快速計算方法。

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A simplified calculation method for dynamic characteristics of high-rise shear-wall isolated buildings

WANG Xueqing, ZHAO Ming

(College of Civil Engineering and Architecture, Anhui University of Technology, Maanshan 243032, China)

A simplified calculation method was proposed here for the lateral dynamic characteristics of high-rise shear-wall isolated buildings. When performing the uniaxial analysis, the building structure was modeled with the lumped mass method and the first two modes were analyzed with the response spectrum method based on the criterion of modal masses. Periods, modal shapes and damping ratios of the first two modes were calculated using simplified expressions based on the linear stiffness-gravity ratio considering rotation of base isolation. Numerical simulations showed that the simplified method can catch the dynamic characteristics of the first two modes. The explicit formulas for calculating period ratios of high-rise buildings without base isolation to those with base isolation were proposed. The results provided a foundation for the practical designs of high-rise shear-wall isolated buildings.

high-rise shear-wall building; base isolation; linear stiffness-gravity ratio; dynamic characteristics; simplified calculation

安徽省教育廳重點(diǎn)項目(kJ2013A052)

2015-03-06修改稿收到日期：2015-08-04

王學(xué)慶 男，博士，講師，1977年生

TU352

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.15.021