于　剛, 周以齊， 張衛(wèi)芬

(1.山東大學(xué) 高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，濟(jì)南　250061；2.解放軍72850部隊(duì)，濟(jì)南　250032)

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一種新的相關(guān)機(jī)械振源盲分離方法

于剛, 周以齊1， 張衛(wèi)芬2

(1.山東大學(xué) 高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，濟(jì)南250061；2.解放軍72850部隊(duì)，濟(jì)南250032)

針對(duì)傳統(tǒng)盲源分離算法在機(jī)械振源不滿足統(tǒng)計(jì)獨(dú)立特性時(shí)，無法有效分離出振源信號(hào)的問題，提出了基于信號(hào)稀疏特性的相關(guān)機(jī)械源盲分離方法。盲源分離算法的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確地估計(jì)出混合矩陣。因此，首先提出了不相關(guān)源混合矩陣的估計(jì)方法；然后針對(duì)相關(guān)源，提出了有效剔除相關(guān)成分的方法，使得剩余信號(hào)可以按照不相關(guān)源進(jìn)行處理。通過理論分析、仿真驗(yàn)證以及實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析，驗(yàn)證了該方法的有效性。

盲源分離；振動(dòng)源；相關(guān)源

機(jī)械設(shè)備運(yùn)行中，多個(gè)部件都會(huì)產(chǎn)生一定的振動(dòng)，導(dǎo)致測(cè)量信號(hào)通常是多個(gè)振源信號(hào)的混合。如果能針對(duì)每個(gè)振源單獨(dú)地分析其信號(hào)特征，對(duì)于監(jiān)測(cè)設(shè)備運(yùn)行狀態(tài)、分析結(jié)構(gòu)特性、控制振動(dòng)傳遞等應(yīng)用具有一定的指導(dǎo)意義。盲源分離(Blind Source Separation, BSS)方法僅依靠測(cè)量信號(hào)即可得到各源信號(hào)及其混合模型，在理論上為振動(dòng)分析提供了有力的技術(shù)手段[1]。獨(dú)立分量分析(ICA)，利用信號(hào)間的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立特性，估計(jì)出分離矩陣，并用于源信號(hào)的分解，在故障診斷[2-3]、模態(tài)分析[4-5]等領(lǐng)域均得到了廣泛的應(yīng)用。

而工程應(yīng)用中，各機(jī)械振源之間往往會(huì)存在交叉頻率成分，導(dǎo)致無法滿足ICA算法的獨(dú)立性假設(shè)，從而造成算法失效。周曉峰提出利用小波包分解剔除觀測(cè)信號(hào)間的相關(guān)成分，利用剩余分量重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行矩陣估計(jì)，成功分離出了多個(gè)相關(guān)源信號(hào)[6]。該方法需要選擇合適的小波包分解層數(shù)以及設(shè)定子帶間的互信息閾值，需要較多的人工干預(yù)，一定程度上降低了其實(shí)用性。孟宗利用類似的思想提取源信號(hào)，將經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解應(yīng)用于測(cè)量信號(hào)分解，并根據(jù)互信息準(zhǔn)則重構(gòu)相關(guān)源信號(hào)[7]。本文利用源信號(hào)在時(shí)頻域中的稀疏性估計(jì)混合矩陣，并提出了一種能有效剔除相關(guān)成分的方法，從而形成了一套完整的相關(guān)源盲分離算法。

1　BSS基本概念

盲源分離是指輸入信號(hào)與系統(tǒng)參數(shù)均未知的情況下，僅依靠輸出測(cè)量信號(hào)來估計(jì)這兩項(xiàng)參數(shù)。源的混合模型可以表示為：

X(t)=AS(t)+n(t)

(1)

式中：X(t)為N維觀測(cè)信號(hào)，S(t)為M個(gè)未知的相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的輸入信號(hào)，A為N×M未知的滿秩混合矩陣，通常N=M，n(t)為噪聲信號(hào)。盲源分離的目的是根據(jù)獨(dú)立性測(cè)度函數(shù)，尋求分離矩陣W，使得W=A-1，利用式(2)使得恢復(fù)出來的源信號(hào)Y(t)盡可能獨(dú)立：

Y(t)=WX(t)

(2)

從式(2)可以看出，源分離的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確地估計(jì)出混合矩陣。由于相關(guān)源信號(hào)不滿足統(tǒng)計(jì)獨(dú)立假設(shè)，因而無法利用獨(dú)立性準(zhǔn)則有效地估計(jì)混合矩陣。本文先以不相關(guān)源為例說明矩陣估計(jì)的具體過程，然后提出一種有效剔除相關(guān)成分的方法，并將兩者結(jié)合，提出一種新的相關(guān)源分離算法。

2　稀疏分量分析

信號(hào)稀疏性是指信號(hào)在時(shí)頻域中大多數(shù)的時(shí)頻點(diǎn)取值為零，或者接近于零，但有少數(shù)時(shí)頻點(diǎn)取值明顯大于零。當(dāng)信號(hào)具有較好的稀疏性時(shí)，觀測(cè)信號(hào)在某一時(shí)頻點(diǎn)只有一個(gè)源的可能性增大。對(duì)于隸屬同一源信號(hào)的時(shí)頻點(diǎn)將會(huì)正比于源信號(hào)在測(cè)量信號(hào)中的混合衰減系數(shù)，因此信號(hào)的稀疏特性可以被用于估計(jì)源信號(hào)的混合矩陣。

m個(gè)通道信號(hào)中包含n個(gè)源的模型可表示為：

(3)

xj(t)代表第j個(gè)觀測(cè)信號(hào)，aij為第i個(gè)源信號(hào)到第j個(gè)通道的混合衰減系數(shù)，si(t)為第i個(gè)源信號(hào)。利用線性時(shí)頻變換，(如短時(shí)傅里葉變換)，將觀測(cè)信號(hào)變換到時(shí)頻域中。由于時(shí)頻變換方法的線性保持特性，觀測(cè)信號(hào)中的各個(gè)源分量間的系數(shù)關(guān)系是不變的，因此，混合信號(hào)在時(shí)頻域中的分布可寫為：

(4)

假設(shè)在時(shí)頻點(diǎn)(tk,fk)，只有源si取值非零(其他源幅值較小或?yàn)榱?，則式(4)可表示為：

(5)

由式(5)可知，在時(shí)頻域中，對(duì)所有屬于源sj的時(shí)頻點(diǎn)(tk,fk)，觀測(cè)信號(hào)[x1(tk,fk)x2(tk,fk)…xm(tk,fk)]的值正比于源si的混合系數(shù)[a1ia2i…ami]，因此可以估計(jì)出對(duì)應(yīng)源的混合矩陣列向量。通過尋找隸屬于不同源信號(hào)的時(shí)頻點(diǎn)x(tk,fk)，則可以準(zhǔn)確地估計(jì)出完整的混合矩陣。

3　仿真分析

3.1不相關(guān)源

以兩不相關(guān)源信號(hào)s1、s2混入兩觀測(cè)信號(hào)x1、x2為例，同時(shí)混入一定比例的高斯噪聲，來說明混合矩陣A的具體估計(jì)過程。

(6)

(7)

(8)

利用短時(shí)傅里葉變換，將混合信號(hào)x1、x2變換到時(shí)頻域，得到x1(t,f)、x2(t,f)。如果以x1(t,f)、x2(t,f)的實(shí)部或者虛部分別作為橫、縱坐標(biāo)畫在散點(diǎn)圖中，則隸屬于不同源信號(hào)的時(shí)頻點(diǎn)(x1(t,f),x2(t,f))將會(huì)聚類成相應(yīng)的直線，兩聚類直線的方向向量對(duì)應(yīng)著各源的混合衰減系數(shù)，如圖1。圖1中有兩條明顯的聚類直線，在散點(diǎn)圖中的方向向量分別為[cos(30°)sin(30°)]T、[cos(60°)sin(60°)]T，對(duì)應(yīng)著混合矩陣中的列向量。

圖1　散點(diǎn)圖Fig.1 The scatter plot

為了能準(zhǔn)確地估計(jì)聚類直線的方向向量，定義觀測(cè)信號(hào)的頻域能量分布為

(I(xi(t,f)))2)dt

(9)

E(f)代表i個(gè)傳感器接收到的信號(hào)在頻域的能量和，R(xi(t,f))與I(xi(t,f))為第i個(gè)傳感器信號(hào)在時(shí)頻變換后的實(shí)部與虛部，m為通道數(shù)目。兩源信號(hào)在各自頻率處附近，其能量值達(dá)到最大，因此可以利用峰值檢測(cè)法得到對(duì)應(yīng)于各源的頻率值fk，如圖2中‘*’所示。分別畫出時(shí)頻點(diǎn)(x1(t,f),x2(t,f))在fk的散點(diǎn)圖，如圖3(a)、(b)所示。然后，將時(shí)頻點(diǎn)歸一化到單位圓，再利用聚類算法估計(jì)各自的聚類中心，即為對(duì)應(yīng)的混合衰減系數(shù)，如圖3(c)、(d)中‘*’所示。圖中實(shí)線為理想的聚類直線，可以看出兩者之間具有較小的偏差，說明本文方法具有較高的矩陣估計(jì)精度。

圖2　頻域能量圖Fig.2 The sum energy in frequency-domain

圖3　對(duì)應(yīng)峰值點(diǎn)的散點(diǎn)圖Fig.3 The scatter plot in peak frequencies

3.2相關(guān)源

當(dāng)各源信號(hào)之間具有相關(guān)成分時(shí)，以上方法將無法有效估計(jì)混合矩陣。以3.1節(jié)仿真信號(hào)為例，在兩源信號(hào)s1、s2之間加入相關(guān)成分c=sin(300πt)，即

(10)

圖4　相關(guān)源散點(diǎn)圖Fig.4 The scatter plot of correlated sources

依然采用相同的混合方式，如式(8)。利用短時(shí)傅里葉變換得到觀測(cè)信號(hào)的時(shí)頻分布，畫出二維散點(diǎn)圖，如圖4。從圖中可以看出，相關(guān)成分使得散點(diǎn)圖中產(chǎn)生了橢圓成分，不具有直線聚類特性，無法利用上述方法估計(jì)混合矩陣。同時(shí)，相關(guān)成分會(huì)產(chǎn)生一定的頻域能量峰值，也會(huì)干擾3.1節(jié)中方法的聚類估計(jì)過程。因此去掉相關(guān)成分的影響，是保證混合矩陣能夠被準(zhǔn)確估計(jì)的關(guān)鍵步驟。

引入文獻(xiàn)[8-9]中提出的單源點(diǎn)與多源點(diǎn)的概念，兩者定義如下

定義1：如果在某一時(shí)頻點(diǎn)，僅有一個(gè)源存在，那這個(gè)點(diǎn)被稱為單源點(diǎn)。

定義2：如果在某一時(shí)頻點(diǎn)，有多個(gè)源存在，那這個(gè)點(diǎn)被稱為多源點(diǎn)。

根據(jù)以上定義可知，對(duì)于不相關(guān)分量所在的時(shí)頻點(diǎn)，由于只有不相關(guān)源存在，因此可以將其視為單源點(diǎn)；對(duì)于相關(guān)分量所在的時(shí)頻點(diǎn)，由于有多個(gè)源的相關(guān)成分存在，因此可以視為多源點(diǎn)。下面通過理論分析，得到單源點(diǎn)與多源點(diǎn)的性質(zhì)。

將式(8)變換到時(shí)頻域?yàn)?/p>

(11)

假設(shè)某一時(shí)頻點(diǎn)(tk,fk)為單源點(diǎn)，即僅有s1(t,f)存在，那么式(11)可寫為

(12)

取公式(12)兩邊的實(shí)部與虛部

(13)

(14)

則有下式成立

(15)

(16)

式(15)與式(16)說明，對(duì)于單源點(diǎn)，觀測(cè)信號(hào)x1(t,f)、x2(t,f)在時(shí)頻域中的實(shí)部與虛部具有相同的聚類方向，并且與混合矩陣向量一致。

假設(shè)某一時(shí)頻點(diǎn)(th,fh)為多源點(diǎn)，即s1(t,f)與s2(t,f)同時(shí)存在，那么式(11)可寫為

(17)

對(duì)兩邊同時(shí)取實(shí)部與虛部，可得

(18)

(19)

為了說明多源點(diǎn)與混合矩陣間的關(guān)系，建立以下公式

(20)

(21)

由于混合矩陣為滿秩矩陣，因此(a21·a12-a11·a22)≠0。由于已經(jīng)設(shè)定時(shí)頻點(diǎn)(th,fh)為多源點(diǎn)，因此R(s2(th,fh))與I(s2(th,fh))不可能同時(shí)為0。所以，式(20)與式(21)無法同時(shí)為0。上述分析說明，對(duì)于多源點(diǎn)，觀測(cè)信號(hào)x1(t,f)、x2(t,f)在時(shí)頻域中的實(shí)部與虛部具有不同于混合矩陣列向量的聚類方向。因此提出以下論斷：可以通過檢測(cè)所有時(shí)頻點(diǎn)在實(shí)部與虛部的向量方向是否相同，即

(22)

是否成立，來達(dá)到剔除多源點(diǎn)的目的。為驗(yàn)證推論的正確性，對(duì)于多源點(diǎn)建立以下公式：

(23)

由于混合矩陣為滿秩矩陣，因此(a11a22-a21a12)≠0。式(23)為0的唯一條件是

R(s1(th,fh))·I(s2(th,fh))-

R(s2(th,fh))·I(s1(th,fh))=0

(24)

即來自兩個(gè)源信號(hào)的相關(guān)成分具有相同的相位。

式(23)說明，對(duì)于多源點(diǎn)，各通道觀測(cè)信號(hào)的實(shí)部與虛部的方向向量的關(guān)系僅與相關(guān)分量的相位有關(guān)。當(dāng)各觀測(cè)信號(hào)xj(t)中所包含的相關(guān)分量si(t)具有相同的相位時(shí)，即式(24)成立，則式(22)無法有效剔除相關(guān)分量的影響。然而大多數(shù)情況下，產(chǎn)生于各源信號(hào)的相關(guān)成分之間的相位關(guān)系是隨機(jī)的，所以滿足條件(24)的多源點(diǎn)比例較小，可以被忽略。因此可以認(rèn)為，產(chǎn)生于各源信號(hào)的相關(guān)成分之間的相位關(guān)系是不同的，即式(24)不成立。因此，可以得出結(jié)論：對(duì)于多源點(diǎn)，觀測(cè)信號(hào)x1(t,f)、x2(t,f)在時(shí)頻域中的實(shí)部與虛部具有不同的聚類方向。因此，通過判斷式(22)是否成立，可以準(zhǔn)確地剔除混合信號(hào)中的相關(guān)成分。多源點(diǎn)的影響被消除之后，則可以按照不相關(guān)源混合的處理方式進(jìn)行矩陣估計(jì)。

4　仿真信號(hào)分析

4.1仿真信號(hào)驗(yàn)證

文獻(xiàn)[6]以旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備的異常振動(dòng)為模型，給出了仿真信號(hào)。借此信號(hào)，用于說明本文方法的有效性。假設(shè)某旋轉(zhuǎn)機(jī)械的基頻f0=50 Hz，s1，s2和s3分別對(duì)應(yīng)著不對(duì)中、油膜渦動(dòng)、組件松動(dòng)等故障信號(hào)，并加入一定比例的高斯噪聲信號(hào)。源信號(hào)頻譜如圖5。

圖5　源信號(hào)頻譜Fig.5 3 Sources in frequency domain

(25)

式中：s1，s2為相關(guān)源?；旌暇仃嚍?/p>

(26)

信號(hào)采樣頻率為1 024 Hz，共1 024個(gè)點(diǎn)。對(duì)其進(jìn)行短時(shí)傅里葉變換，由于有3個(gè)觀測(cè)信號(hào)，得到三維散點(diǎn)圖，如圖6。

圖6　散點(diǎn)圖Fig.6 The scatter plot

圖7　去相關(guān)處理后散點(diǎn)圖Fig.7 The scatter plot of removing correlated component

圖8　本文方法分離信號(hào)Fig.8 The separated source using proposed method

圖9　ICA算法分離結(jié)果Fig.9 The separated sources using ICA

從圖6中可以看出，相關(guān)成分使得散點(diǎn)圖產(chǎn)生了較為散亂的橢圓成分。去相關(guān)成分處理后，散點(diǎn)圖如圖7?？梢钥闯?，剩余的不相關(guān)分量具有明顯的直線聚類特性，可以準(zhǔn)確地估計(jì)出混合矩陣。分離信號(hào)頻譜如圖8，可以看出分離信號(hào)與源信號(hào)頻譜特征基本一致，利用式(28)，計(jì)算兩兩之間的相似系數(shù)為[0.99 0.98 0.96]。為了對(duì)比分析，利用FastICA算法處理混合信號(hào)，分離信號(hào)頻譜如圖9?？梢钥闯觯瑑H23 Hz源信號(hào)得到了有效地分離，當(dāng)源信號(hào)不滿足統(tǒng)計(jì)獨(dú)立特性時(shí)，ICA方法無法分離出相關(guān)源信號(hào)，因此本文方法比ICA算法更適合于相關(guān)源信號(hào)的分離。

4.2噪聲對(duì)算法性能的影響

為說明所加背景噪聲的大小對(duì)本文算法分離結(jié)果的影響，引入平均相似系數(shù)指標(biāo)，定量地評(píng)價(jià)本文方法的分離性能。平均相似系數(shù)公式為：

(27)

(28)

1)p≤1。

2)p=1時(shí)，表示源信號(hào)與分離信號(hào)完全相似。

3)p=0時(shí)，表示源信號(hào)與分離信號(hào)相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。

因此，p越接近于1，說明本文算法的分離結(jié)果越好。通過在觀測(cè)信號(hào)中加入不同信噪比的背景噪聲，進(jìn)行盲分離處理后計(jì)算p的值，p隨噪聲比例的變化結(jié)果曲線如圖10。

圖10　相似系數(shù)曲線Fig.10 The similarity index

由圖10可以看出，低信噪比的噪聲會(huì)對(duì)分離結(jié)果造成一定的影響，如在0 dB左右，但相似系數(shù)依然大于0.55。隨著信噪比的增大，分離結(jié)果趨近于1。說明本文算法具有一定的噪聲魯棒性。

5　實(shí)驗(yàn)仿真分析

內(nèi)燃機(jī)作為工程領(lǐng)域中重要的動(dòng)力來源，同時(shí)也是主要的振動(dòng)來源。對(duì)于一些大型設(shè)備，往往會(huì)有多個(gè)動(dòng)力源，因此可以將每一臺(tái)內(nèi)燃機(jī)視為一個(gè)振源進(jìn)行分析。受限于僅有一臺(tái)內(nèi)燃機(jī)的實(shí)驗(yàn)條件，將內(nèi)燃機(jī)在怠速、額定轉(zhuǎn)速及最高轉(zhuǎn)速這三個(gè)常用工況下的振動(dòng)信號(hào)視為3個(gè)振源，采用人工混合的方式進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。因此，分別采集內(nèi)燃機(jī)在這3個(gè)轉(zhuǎn)速下的振動(dòng)信號(hào)，采樣頻率為5 120 Hz，頻譜如圖11。

圖11　3個(gè)轉(zhuǎn)速下測(cè)量信號(hào)Fig.11 The measurement signals

此內(nèi)燃機(jī)為4缸4沖程，其怠速、額定轉(zhuǎn)速及最高轉(zhuǎn)速分別為980 r/min、2 000 r/min、2 400 r/min。通過工況信息，可以計(jì)算得出3個(gè)轉(zhuǎn)速下的發(fā)火基頻分別為34 Hz、67 Hz、80 Hz，如圖11中所示，由于發(fā)火基頻處于不同頻段，因此可以將其視為不相關(guān)分量。同時(shí)，各源之間都存在著峰值約為321 Hz左右的寬頻成分，因此可以視為相關(guān)分量。利用一隨機(jī)混合矩陣得到3個(gè)觀測(cè)信號(hào)。對(duì)其進(jìn)行短時(shí)傅里葉變換，得到三維散點(diǎn)圖，如圖12。

圖12　散點(diǎn)圖Fig.12 The scatter plot

圖13　去相關(guān)處理后散點(diǎn)圖Fig.13 The scatter plot of removing correlated component

圖14　分離信號(hào)Fig.14 The separated sources

從圖12中可以看出，散點(diǎn)圖較為混亂，只有比較模糊的聚類特征，無法用于估計(jì)混合矩陣。利用提出的算法進(jìn)行去相關(guān)成分處理之后，散點(diǎn)圖如圖13。可以看出，圖中直線的聚類特性得到了明顯地提高，可以更加精確地估計(jì)出混合矩陣。利用估計(jì)得到的矩陣分離信號(hào)，結(jié)果如圖14，分離信號(hào)與源信號(hào)間的兩兩相似系數(shù)為[0.94 0.93 0.96]。從分離結(jié)果來看，各源信號(hào)均得到了有效分離，說明本文方法在處理復(fù)雜的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)依然有效。

6　討　論

本文提出的相關(guān)源盲分離算法，是以不相關(guān)源盲分離為基礎(chǔ)，因此需要保證各個(gè)源信號(hào)中存在不相關(guān)分量，如4.1節(jié)中仿真信號(hào)s1、s2中的100 Hz與17 Hz分量，以及第5節(jié)實(shí)測(cè)信號(hào)中的各個(gè)發(fā)火基頻分量。如果不滿足此條件，本文方法將會(huì)失效。因此，經(jīng)過去相關(guān)成分處理之后，才可以利用剩余的不相關(guān)分量進(jìn)行矩陣估計(jì)，并進(jìn)行下一步的源信號(hào)分離。

7　結(jié)　論

實(shí)際工程中，不同部件之間產(chǎn)生的振源信號(hào)，往往是相關(guān)源以及不相關(guān)源的混疊，使得傳統(tǒng)盲源分離方法無法有效分離出正確的機(jī)械振源信號(hào)。本文利用信號(hào)間的稀疏特性，首先以不相關(guān)源為例，提出了有效估計(jì)分離矩陣的方法；并理論推導(dǎo)出相關(guān)源及不相關(guān)源的性質(zhì)，提出了可以有效剔除相關(guān)分量的方法，使得剩余信號(hào)可以按照不相關(guān)源進(jìn)行處理。通過仿真信號(hào)與實(shí)測(cè)信號(hào)，均驗(yàn)證了本文方法的有效性，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

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Blind source separation of correlated vibration sources

YU Gang1, ZHOU Yiqi1, ZHANG Weifen2

(1. Key Laboratory of High-efficiency and Clean Mechanical Manufacture, Ministry of Education, Shandong University, Jinan 250061, China; 2.Unit 72850 of PLA, Jinan 250032, China)

The conventional blind source separation(BSS) method, independent component analysis(ICA), may not separate correlated vibration sources. However, most vibration sources generated in different structures are correlated, they may cause failure of ICA. Here, a new BSS method capable of separating correlated vibration sources was proposed. It was divided into two steps. Firstly, it was needed to remove the correlated components, and then the reminder components were regarded as uncorrelated sources to be processed. Theoretical analysis, simulation and tests were employed to validate the effectiveness of the proposed method.

blind source separation; vibration sources; correlated sources

國家科技支撐計(jì)劃(2015BAF07B04);國家自然科學(xué)基金(51475277)

2014-12-16修改稿收到日期：2015-03-19

于剛 男，博士生，1987年12月生

周以齊 男，教授，1957年1月生

TN911.7;TH165.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.15.036