孫　濤 ， 秦衛(wèi)陽

(西北工業(yè)大學(xué) 振動工程研究所，西安　710129)

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一類高維動力學(xué)系統(tǒng)的混沌預(yù)測同步實現(xiàn)方法研究

孫濤1， 秦衛(wèi)陽2

(西北工業(yè)大學(xué) 振動工程研究所，西安710129)

對于一類含有時間項的高維非線性動力學(xué)系統(tǒng)，提出了實現(xiàn)混沌預(yù)測同步的控制方法。在混沌同步的基礎(chǔ)上，建立了派生系統(tǒng)及差別方程，從理論上證明了提出的方法能夠?qū)崿F(xiàn)對于原非線性系統(tǒng)的預(yù)測同步。對于耦合項進行了簡化，為了實現(xiàn)長時間的預(yù)測，建立了多級同步系統(tǒng)來延長預(yù)測同步時間。對于Duffing系統(tǒng)，以及含反饋單擺系統(tǒng)在混沌狀態(tài)下進行了仿真計算，證明了提出的方法是正確的與有效的。

混沌；預(yù)測同步；動力學(xué)系統(tǒng)

自從20世紀90年代Pecora等[1]提出混沌同步后，由于其獨特的特性和廣泛的存在性，該研究目前正在深化與細化。如混沌的廣義同步[2]，各種網(wǎng)絡(luò)內(nèi)、網(wǎng)絡(luò)之間的混沌同步[3]，近年來分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步研究也出現(xiàn)了很多成果[4-6]。Lin等[7-8]研究了帶有隨機參數(shù)的不確定混沌系統(tǒng)的控制問題與同步問題，提出了自組織-自適應(yīng)模糊神經(jīng)控制方法與同步方法。Voss[9]提出了混沌預(yù)測同步的概念，即通過耦合，一個系統(tǒng)的混沌響應(yīng)與另一個系統(tǒng)τ時刻后的混沌響應(yīng)同步，這樣相當(dāng)于實現(xiàn)了對于混沌的預(yù)測，具有重要的意義，因此自提出以后引起了很多研究者的重視。Wei[10]利用混沌的預(yù)測同步來識別系統(tǒng)的未知參數(shù)。Yan[11]提出了廣義預(yù)測同步的概念。對于原混沌系統(tǒng)，可以實現(xiàn)派生系統(tǒng)的k倍加速演化，這種預(yù)測同步具有全局性。Pyragas[12]為了實現(xiàn)長時間的混沌預(yù)測，對于耦合矩陣進行了研究，提出了最佳的耦合方式。Pyragiene[13]提出了一種新的耦合方式，派生系統(tǒng)包含兩個方程，每個方程帶有周期開關(guān)的參數(shù)，可以實現(xiàn)比較長時間的混沌預(yù)測。在預(yù)測同步的應(yīng)用方面，Mayo[14]利用預(yù)測同步， 預(yù)先從派生系統(tǒng)中得到FitzHugh-Nagumo系統(tǒng)中不規(guī)則脈沖的發(fā)生，提前采取控制措施抑制它。結(jié)果表明控制的效果很好。

目前,對于含有時間項的一類高維動力學(xué)系統(tǒng)，實現(xiàn)混沌的預(yù)測同步，困難還比較大。本文在混沌同步的基礎(chǔ)上，對于一般的動力學(xué)系統(tǒng)，提出實現(xiàn)混沌預(yù)測同步的新方法，對于這種方法，進行了相關(guān)的理論證明與仿真驗證計算。

1　理論分析

實際中，含有非線性恢復(fù)力的一類高維動力學(xué)系統(tǒng)可以用如下方程表示：

(1)

式中：x∈Rn×1為系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)向量，f(x)為系統(tǒng)內(nèi)部非線性力，g(t)為外激勵。那么，采用線性耦合控制策略[1]，可以建立混沌同步派生系統(tǒng)：

(2)

式中：α∈Rn×n為耦合系數(shù)矩陣。假設(shè)通過耦合可以實現(xiàn)系統(tǒng)混沌的同步，那么式(1)～式(2)得到的差別方程為：

(3)

式中：δ=z-x。對函數(shù)項進行泰勒展開，保留一次項，有：

(4)

由于式(1)與式(2)同步，所以必然有：

(5)

在實現(xiàn)了混沌的同步后，為了進一步實現(xiàn)混沌的預(yù)測同步，對于動力學(xué)系統(tǒng)(1)，建立如下的預(yù)測同步派生系統(tǒng)：

α(y-x(t+τ))=g(t+τ)

(6)

而對于方程(1)，在t+τ時刻方程可以寫為：

f(x(t+τ))=g(t+τ)

(7)

式(6)～式(7)有：

(8)

即：

(9)

可以看出，方程(9)與方程(4)具有相同的形式，則其平凡解具有相同的穩(wěn)定性，即：

(10)

因此，通過方程(6)可以實現(xiàn)y(t)與x(t+τ)的同步。但是在方程(6)中，由于耦合項含有x(t+τ)項，實際中無法提前得到。為了解決這個問題，將x(t+τ)泰勒展開，取其前3項作為耦合項，即方程(6)變?yōu)椋?/p>

(11)

則同樣可以實現(xiàn)在t時刻附近的混沌預(yù)測同步。

為了進一步增加預(yù)測時間τ，可以采用建立多級耦合派生系統(tǒng)的方法，即：

g(t+τ1)

g(t+τ2)

?

g(t+τn)

(12)

2　仿真計算

以二個混沌系統(tǒng)作為對象，進行了仿真計算，以驗證提出的同步方法。

(1) Duffing系統(tǒng)

考慮Duffing系統(tǒng)

(13)

在a=0.2，b=-1，c=1，f=0.28，ω=1.2 時，系統(tǒng)會出現(xiàn)混沌運動(圖1)。按照上述的方法，建立同步派生系統(tǒng)

fcosω(t+τ)

(14)

圖1　Duffing系統(tǒng)混沌相圖Fig.1 Chaotic phase diagram of Duffing system

為了增加預(yù)測時間，建立了5級派生系統(tǒng)，最終的預(yù)測時間∑τ=1.45 s，計算的結(jié)果如圖2、圖3所示。圖3顯示的是y-x(t+∑τ)隨時間的變化?？梢钥闯?，實現(xiàn)了派生系統(tǒng)對原混沌系統(tǒng)的預(yù)測同步。

圖2　y與x的波形圖Fig.2 Waveform diagram(y,x)

圖3　y(t)-x(t+1.45)隨時間的變化Fig.3 y(t)-x(t+1.45) change over time graph

(2) 帶反饋控制的混沌單擺系統(tǒng)

帶反饋控制的單擺方程為[8]：

(15)

式中：

f(t)=(β-ω2)a1cosωt-δωa1sinωt+

sin(a1cosωt+a0)+βa0

ω為角速度，β為反饋增益，δ為阻尼比，a1是軌跡的幅值。當(dāng)β=0.5，a0=-3，a1=0.3，δ=0.12，ω=0.75時，系統(tǒng)響應(yīng)出現(xiàn)混沌(圖4)。按照上述分析，建立派生系統(tǒng)

(16)

圖4　混沌擺的相圖Fig.4 The phase diagram of chaotic pendulum

同樣，為了增加預(yù)測時間，建立了5級耦合派生系統(tǒng)，最終的預(yù)測時間∑τ=1.9 s，計算的結(jié)果如圖5、圖6所示，由計算結(jié)果可以看出，此時實現(xiàn)了派生系統(tǒng)對于原系統(tǒng)的混沌預(yù)測同步。

圖5　y與x的波形圖Fig.5 Waveform diagram(y,x)

圖6　y(t)-x(t+1.9)隨時間的變化Fig.6 y(t)-x(t+1.9) change over time graph

3　結(jié)　論

對于非線性動力學(xué)系統(tǒng)，常?？梢酝ㄟ^線性耦合實現(xiàn)混沌同步。本文在此基礎(chǔ)上，提出了一種實現(xiàn)高維非線性動力學(xué)系統(tǒng)混沌預(yù)測同步的方法，即實現(xiàn)一個系統(tǒng)的軌跡與原混沌系統(tǒng)τ秒以后的軌跡相同。通過理論分析，證明了提出的方法可以實現(xiàn)混沌的預(yù)測同步。然后，通過建立多級耦合系統(tǒng)，增加混沌預(yù)測同步的預(yù)測時間。以Duffing系統(tǒng)，以及含反饋控制的單擺系統(tǒng)作為對象，進行了仿真計算，證明了方法是正確的和有效的。

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Anticipated synchronization of chaos for a class of high dimensional dynamic systems

SUN Tao1, QIN Weiyang2

(Department of Engineering Mechanics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

For a class of high dimensional nonautonomous dynamic systems, the control method to realize anticipated synchronization of chaos was presented. Based on chaos synchronization, the derived system and difference equation for anticipated synchronization were built. It was proved that the control method can make the response of the derived system be identical with that of the original system within τ seconds theoretically. Furthermore, the coupling terms were simplified. To make the anticipation time longer, the multi-layer derived systems were built and they were coupled each other. A Duffing system and a pendulum with feedback were simulated to validate the correctness and effectiveness of the proposed method.

chaos; anticipated synchronization; dynamic system

國家自然科學(xué)基金(11172234)

2015-09-09修改稿收到日期：2016-01-24

孫濤 男，博士生，1983年3月生

秦衛(wèi)陽 男，博士，教授，1967年4月生

O415.5

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.15.009