李 靜，葛建華

（西安電子科技大學綜合業(yè)務網(wǎng)理論及關鍵技術國家重點實驗室，陜西西安 710071）

高斯X信道在噪聲干擾下的和容量

李 靜，葛建華

（西安電子科技大學綜合業(yè)務網(wǎng)理論及關鍵技術國家重點實驗室，陜西西安 710071）

通過分析高斯X信道的和容量，得到了該信道處于噪聲干擾下的充分條件.將輔助向量和輔助集合作為邊信息提供給接收端，得到了一個和速率上界.在所提出的噪聲干擾條件下，該和速率上界可通過將X信道退化成潛在的干擾信道，并把干擾當作噪聲處理的方法達到，從而得到了該信道在噪聲干擾下的和容量.

X信道；和容量；噪聲干擾

（M+N-1）.目前，最佳的可達速率區(qū)域是文獻［5］提出來的，當X信道退化成干擾信道時，這個速率區(qū)域退化成著名的Han Kobayashi速率區(qū)域.文獻［6-8］在不同的干擾域?qū)信道容量域進行了分析，并得到了容量域的外界.文獻［4］將噪聲干擾和容量結論從兩用戶高斯干擾信道擴展到了2×2用戶高斯X信道，并證明了此時將X信道退化成其潛在的干擾信道，并將干擾當作噪聲處理的方法能夠達到信道的和容量.文獻［9］將這一結論從單天線高斯X信道擴展到了多天線高斯X信道.

在實際的無線通信系統(tǒng)中，處理干擾的方法主要是頻分復用（時分復用）和將干擾當作噪聲處理.這兩種方法雖然易于實現(xiàn)，但在一般情況下都不是最優(yōu)的.第1種方法的缺陷在于，從一開始就損失了信道自由度；

干擾日益成為制約提升多用戶無線通信系統(tǒng)性能的瓶頸，因此分析干擾對無線通信系統(tǒng)帶來的影響成為研究熱點.X信道是研究干擾影響的一個重要模型，因為所有的非多播信道模型，如多址接入信道、廣播信道和干擾信道，都是X信道的特例.并且，X信道容量域的外界都是其子信道容量域的外界.然而，對X信道的研究多集中于通過采用干擾對齊的方法分析其信道自由度［1-4］.文獻［1-2］證明了每個節(jié)點帶有M根天線的多輸入多輸出X信道的信道自由度為4M/3.文獻［3］證明了M×N用戶單天線高斯X信道的信道自由第2種方法的缺陷在于，在某些情況下（比如強干擾），干擾其實是可以利用的，因為干擾攜帶的信息具有一定的結構.雖然第2種方法在一般情況下并不是最優(yōu)的，但是在噪聲干擾下卻是和容量可達的.筆者將噪聲干擾和容量結論從2×2用戶高斯X信道擴展到了M×M用戶高斯X信道.在M×M用戶高斯X信道中，由于干擾數(shù)量隨用戶數(shù)量增加而增加，文獻［4］中分析和速率上界時采用的邊信息不再適用.筆者將文獻［10］中用來分析多于兩用戶干擾信道和速率上界時構造的輔助向量擴展到X信道，并構造相對應的輔助信息集合，提出了M×M用戶高斯X信道處于噪聲干擾下的充分條件，得到了信道在噪聲干擾下的和容量，并證明了此時即使利用干擾具有特定結構的特點也不能改善系統(tǒng)的性能.因此，在文中提出的噪聲干擾條件下，要想達到信道的和容量只需在發(fā)送端將某些信息設置為空，在接收端將干擾當作噪聲處理即可.

圖1　M×M用戶高斯X信道

1 系統(tǒng)模型

M×M用戶高斯X信道模型如圖1所示，發(fā)送端i∈［1:M］有一個獨立信息Wki∈［1:2nRki］要傳送給接收端k∈［1:M］，其信道輸入輸出表達式為

其中，hki表示發(fā)送端i到接收端k的信道增益；Xi是發(fā)送端i發(fā)送的信息，其功率受到Pi的限制，即EX2i≤Pi；Zk為獨立同分布高斯白噪聲，且Zk～N（0，1）.

2 噪聲干擾下的和容量分析

由于每個發(fā)送端要給每個接收端發(fā)送一個信息，因此有M！種潛在的干擾信道.例如，一個2×2用戶X信道有兩種不同的潛在干擾信道:只發(fā)送｛W11，W22｝，讓｛W21，W12｝=?；只發(fā)送｛W12，W21｝讓｛W11，W22｝=?.這里只證明其中一種（只發(fā)送｛Wii｝iM=1，讓其他的信息為空），其他的情況可通過相同的方法證明.

要確定信道在噪聲干擾下的和容量，需要找到一個與可達和速率相匹配的和速率上界.最常用的方法是給接收端提供邊信息，這里采用輔助向量和輔助集合作為邊信息提供給接收端.在分析之前，首先給出一些定義和引理.

定義1 設π（·）為一個循環(huán)移位函數(shù)，定義為

另外，πj（·）表示把函數(shù)π（·）運行j次.

定義2 設sk=［sk，1，sk，2，…，sk，M-1］T，為給接收端k的輔助向量，定義為

其中，Zk，r是與Zk相關的零均值高斯隨機變量.設噪聲向量［Zk，1，Zk，2，…，Zk，M-1］T的協(xié)方差矩陣為Nk，噪聲向量［Zk，Zk，1，Zk，2，…，Zk，M-1］T的協(xié)方差矩陣為

定義3 設Wk為給接收端k的輔助集合，定義為

根據(jù)Wk的結構可以看出，其有以下性質(zhì):

接下來，分析基于輔助向量式（3）和輔助集合式（6）的和速率上界.

那么，這個M×M用

戶高斯X信道的和速率有以下上界:

其中，XkG～N（0，Pk），而YkG和skG為相對應的Yk和sk.

證明 將sk和Wk作為邊信息提供給接收端k，根據(jù)Fano不等式，可得

引理2 當

成立時，采用sk和Wk作為邊信息提供給接收端不會增加信道的和容量.

證明 當I（XkG；YkG，skG）=I（XkG；YkG）時，采用sk和Wk作為邊信息提供給接收端不會增加信道的和容量.根據(jù)鏈式法則，I（XkG；YkG，skG）=I（XkG；YkG）+I（XkG；skG|YkG）.而I（XkG；YkG，skG）=I（XkG；YkG），當且僅當I（XkG；skG|YkG）=0.根據(jù)文獻［10］，I（XkG；skG|YkG）=0，當且僅當XkG→YkG→skG是馬爾可夫鏈.而要使這個馬爾可夫鏈成立，當且僅當XkG→YkG→skrG，r∈［1:M-1］都是馬爾可夫鏈.然后，根據(jù)文獻［11］可得，XkG→YkG→skrG是馬爾可夫鏈，當且僅當cov（XkG，skrG）cov（YkG）=cov（XkG，YkG）cov（YkG，skrG）成立，即式（11）成立.證畢.

定理 如果存在矩陣｛Mk?0｝Mk=1，滿足式（8）和式（11），那么，此M×M用戶高斯X信道的和容量為

且這個和容量可以通過將原來的X信道退化成潛在的干擾信道，使用高斯輸入，并且把干擾當作噪聲處理來達到.

證明 可達性可以通過將X信道退化成潛在的干擾信道（即只發(fā)送信息集，讓其他的信息為空），在發(fā)送端采用高斯碼本，并在接收端將干擾當作噪聲處理的方法證明.和速率上界可以由引理1和引理2證明.證畢.

3 結束語

分析了M×M用戶高斯X信道在噪聲干擾下的和容量，其中M可以是任意正整數(shù).通過構造輔助向量和輔助集合作為邊信息提供給接收端，得到了X信道處于噪聲干擾的充分條件.在這個噪聲干擾條件下，信道的和容量可通過將X信道退化成潛在的干擾信道來達到，這意味著此時某些信息對信道的和容量沒有貢獻，且X信道與潛在的干擾信道有相同的信道和容量.由于M×M用戶高斯X信道有M！種潛在的干擾信道，這意味著存在M！種不同的噪聲干擾充分條件.文中僅列出并證明了其中的一種，其他充分條件可通過相同的方法得出.當發(fā)送端用戶數(shù)量不少于接收端用戶數(shù)量時，可以通過與文中相似的方法構造輔助信息，從而得到該高斯X信道的噪聲干擾充分條件.而當發(fā)送端用戶數(shù)量少于接收端用戶數(shù)量時，文中提供的方法不再適用.

［1］JAFAR S，SHAMAI S.Degrees of Freedom Region for the Mimo X Channel［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2008，54（1）:151-170.

［2］MADDAH-ALI M，MOTAHARI A，KHANDANI A.Communication over Mimo X Channels:Interference Alignment，Decomposition，and Performance Analysis［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2008，54（8）:3457-3470.

［3］CADAMBE V，JAFAR S.Interference Alignment and the Degrees of Freedom of Wireless X Networks［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2009，55（9）:3893-3908.

［4］HUANG C，CADAMBE V，JAFAR S.Interference Alignment and the Generalized Degrees of Freedom of the X Channel［J］. IEEE Transactions on Information Theory，2012，58（8）:5130-5150.

［5］KOYLUOGLU O，SHAHMOHAMMADI M，EL-GAMAL H.A New Achievable Rate Region for the Discrete Memoryless X Channel［C］//Proceedings of IEEE Intnternational Symposium on Information Theory.Piscataway:IEEE，2009:2427-2431.

［6］PRASAD P，SRINIDHI N，CHOCKALINGAM A.Bounds on the Sum-rate Capacity of the Gaussian Mimo X Channel ［C］//Fiftieth Annual Allerton Conference on Communication，Control，and Computing.Washington:IEEE Computer Society，2012:1238-1245.

［7］PRASAD P，CHOCKALINGAM A.Capacity Bounds for the Gaussian X Channel［C］//Information Theory and Applications Workshop.Washington:IEEE Computer Society，2013:53-62.

［8］LI J，GE J H，SUN C Q，et al.On the Capacity of Multiple-input Multiple-output Gaussian X Channels［J］.IET Communications，2013，7（18）:2084-2091.

［9］KUMAR V P，BHASHYAM S.MIMO Gaussian X Channel:Noisy Interference Regime［J］.IEEE Communications Letters，2014，18（8）:1295-1298.

［10］ANNAPUREDDY V，VEERAVALLI V.Gaussian Interference Networks:Sum Capacity in the Low Interference Regime and New Outer Bounds on the Capacity Region［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2009，55（7）:3032-3050.

［11］HAJEK B.An Exploration of Random Processes for Engineers［M］.Illinois:University Illinois at Urbana Champaign，2008.

（編輯:齊淑娟）

Sum capacity of Gaussian X channels with noisy interference

LI Jing，GE Jianhua
（State Key Lab.of Integrated Service Networks，Xidian Univ.，Xi’an 710071，China）

If the sum capacity of a channel can be achieved by treating interference as noise，we say that this channel is under noisy interference.By analyzing the sum capacity of Gaussian X channels，sufficient conditions for such channels under noisy interference are proposed.Providing vector genies and auxiliary sets as side information to the receivers，a sum-rate upper bound is obtained.Under the noisy interference sufficient conditions，this sum-rate upper bound can be achieved by operating the original channel as the underlying Gaussian interference channel and treating interference as noise.Therefore，the sum capacity of the Gaussian X channel is determined for noisy interference.

TN911.02

A

1001-2400（2016）01-0071-04

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.01.013

2014-08-21 網(wǎng)絡出版時間：2015-04-14

國家重點基礎研究發(fā)展計劃資助項目（2012CB316100）；國家高技術研究發(fā)展計劃（"863"計劃）資助項目（2014AA01A704）；“111”計劃資助項目（B08038）；中國國家留學基金管理委員會（CSC）資助項目

李 靜（1987-），女，西安電子科技大學博士研究生，E-mail:jli?8713@hotmail.com.

網(wǎng)絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150414.2046.010.html