虞泓波，馮大政，解 虎

（西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室，陜西西安 710071）

MIMO雷達迭代降維穩(wěn)健波束形成方法

虞泓波，馮大政，解 虎

（西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室，陜西西安 710071）

針對多輸入多輸出雷達發(fā)射、接收導向矢量失配問題，提出一種迭代降維穩(wěn)健波束形成方法.首先將整體線性聯(lián)合估計方法應用到多輸入多輸出雷達模型中，得到改進的協(xié)方差矩陣估計；接著建立多輸入多輸出雷達發(fā)射、接收導向矢量失配模型，根據(jù)目標信號輸出功率最大原理，建立代價函數(shù)以估計真實的發(fā)射與接收導向矢量.并提出一種雙迭代算法求解該代價函數(shù)，每次迭代過程僅需要求解兩個低維的凸二次約束二次規(guī)劃問題.仿真實驗表明，與傳統(tǒng)算法相比，在導向矢量失配嚴重情形下，所提算法能夠取得更高的輸出信干噪比，且收斂速度快，具有較低的計算復雜度.

多輸入多輸出雷達；穩(wěn)健波束形成；二次約束二次規(guī)劃；雙迭代；降維

多輸入多輸出（Multiple-Input Multiple-Output，MIMO）雷達能夠利用多個發(fā)射天線發(fā)射正交波形，利用MIMO雷達的波形多樣性可以增加系統(tǒng)自由度，從而提高系統(tǒng)干擾抑制能力、空間分辨率、參數(shù)可辨識性及目標檢測能力［1-2］.近年來，人們研究了穩(wěn)健的波束形成方法，以提高在實際應用中最小方差無畸變響應（Minimum Variance Distortionless Response，MVDR）波束形成器［3-11］的性能.文獻［3］提出了基于最壞情況的穩(wěn)健自適應波束形成方法，在文獻［3］的基礎上又提出基于概率約束的穩(wěn)健自適應波束形成方法［4］.文獻［5］提出基于干擾和噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)的方法.文獻［6］提出直接根據(jù)采樣數(shù)據(jù)自適應計算對角加載水平的穩(wěn)健波束形成方法，該方法用整體線性聯(lián)合（General Linear Combined，GLC）估計的協(xié)方差矩陣代替采樣協(xié)方差矩陣，以提高傳統(tǒng)MVDR波束形成器的性能.文獻［7-10］研究了利用陣列幾何結(jié)構(gòu)少部分先驗信息進行導向矢量估計的方法，文獻［7-8］說明了此類方法的參數(shù)（先驗信息）依賴性低于之前的穩(wěn)健波束形成方法.文獻［11］提出了一種迭代求解的MIMO雷達穩(wěn)健波束形成方法.

MIMO雷達系統(tǒng)自由度為發(fā)射陣維數(shù)與接收陣維數(shù)之積，對MIMO雷達進行全維處理，需要更多的訓練樣本估計協(xié)方差矩陣以提高MVDR波束形成器的性能，且涉及到的計算復雜度很高，不利于工程應用.筆者在文獻［7，9］的基礎上，利用MIMO雷達收發(fā)陣列少部分先驗知識，根據(jù)輸出功率最大原理，建立代價函數(shù)以估計真實的導向矢量，目標函數(shù)將假定導向矢量與真實導向矢量間的失配量限定在假定導向矢量的正交補空間中，并提出一種雙迭代（Bi-Iteration，BI）算法求解該目標函數(shù)，以減小計算復雜度.

1 MIMO雷達穩(wěn)健波束形成方法

假設一個MIMO雷達系統(tǒng)包含M個發(fā)射正交信號的發(fā)射陣元，N個接收陣元，θi為遠場點目標的波達角，b（θi）∈CN×1，b（θi）表示接收導向矢量，a（θi）∈CM×1，a（θi）表示發(fā)射導向矢量，則MIMO雷達數(shù)據(jù)矢量可以表示為

其中，βi為回波幅度，P為信號源個數(shù)，符號?表示Kronecker積，z為零均值復高斯白噪聲矢量.數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣R=E｛yyH｝，在實際應用中通常由采樣數(shù)據(jù)的最大似然估計得到:為樣本數(shù).容易求得采樣矩陣求逆（Sampling Matrix Inversion，SMI）算法目標信號輸出功率為

1.1發(fā)射、接收導向矢量失配模型

假設a（θt）與b（θt）分別為假定的發(fā)射導向矢量與接收導向矢量，則c（θt）=a（θt）?b（θt），為假定的收發(fā)聯(lián)合導向矢量.為簡化表示，下文中用at表示a（θt），用bt表示b（θt），用ct表示c（θt）.假設ea和eb分別為發(fā)射導向矢量與接收導向矢量的失配量（這里的失配量ea與eb包含了由角度失配、陣元誤差等各種因素導致的導向矢量失配），則真實的收發(fā)聯(lián)合導向矢量為

由式（3）容易得到收發(fā)聯(lián)合導向矢量的失配量為

1.2改進的協(xié)方差矩陣估計

文獻［6］提出了應用于傳統(tǒng)相控陣雷達的GLC方法用來估計相控陣雷達的協(xié)方差矩陣，首先將此方法拓展至MIMO雷達中，得到一個比傳統(tǒng)采樣協(xié)方差矩陣更為有效的協(xié)方差矩陣估計.由文獻［6］所示，一個更為精確的協(xié)方差矩陣估計可表示為

其中，

由此，一個更為精確的MIMO雷達協(xié)方差矩陣估計值為

1.3MlMO雷達穩(wěn)健波束形成方法

式（3）給出了真實的發(fā)射導向矢量與接收導向矢量模型，結(jié)合式（2）可得到真實導向矢量下的MVDR波束形成器的目標信號輸出功率為

圖1　函數(shù)值f（θ）隨角度的變化曲線

類似于文獻［7］中的方法，MIMO雷達的發(fā)射陣列與接收陣列可看成兩個相控陣模型進行處理，對于MIMO雷達發(fā)射與接收導向矢量，需要增加如下約束，以保證估計的導向矢量對應的角度在角域Θ內(nèi)，即

其中，

由圖1可以看出，Δa與Δb的取值一定位于角域Θ的邊界點上，因此，Δa與Δb取值的一個簡單計算為

為避免（at+ea）與（bt+eb）分別收斂于零向量0a與0b，類似于文獻［9］的方法，分別將失配量ea與eb進一步分解成兩部分，e⊥a表示與at正交的部分，e⊥b表示與bt正交的部分，e∥a表示與at平行的部分，e∥b表示與bt平行的部分，即有ea=e⊥a+e∥a，eb=e⊥b+e∥b.需要說明的是，e∥a=γaat，e∥b=γbbt，其中γa與γb為尺度因子，故e∥a與e∥b不會影響波束形成器的輸出信干噪比（Signal to Interference and Noise Ratio，SINR）［9］.綜上，MIMO雷達估計發(fā)射和接收導向矢量的代價函數(shù)可表示為

由于不容易直接求解該代價函數(shù)，筆者提出了一種雙迭代二次約束二次規(guī)劃（Bi-Iteration-Quadratically Constrained Quadratic Programming，BI-QCQP）算法來求解式（15）所示代價函數(shù)的最優(yōu)解.

1.4Bl-QCQP算法

首先，固定e⊥a，注意到

其中，IN為N階單位矩陣.式（15）可轉(zhuǎn)化為

其次，固定eb⊥，利用式（17）所示問題是一個凸的QCQP問題，利用凸優(yōu)化

其中，IM為M階單位矩陣.可將式（15）轉(zhuǎn)化為

綜上，用雙迭代算法求解代價函數(shù)式（15）的BI-QCQP算法流程如下:

（1）給定初值e⊥a（0），參數(shù)0＜δ?1.

（2）將e⊥a（k-1）代入式（17）所示代價函數(shù)，求解該凸QCQP問題的最優(yōu)解，得到e⊥b（k-1）.

（3）將e⊥b（k-1）代入式（19）所示代價函數(shù)，求解該凸QCQP問題的最優(yōu)解，得到e⊥a（k）.

說明:由于BI算法的收斂性與初值無關［11］，因此為方便計算，可賦初值e⊥a（0）=at.

2 仿真實驗與性能分析

假設MIMO雷達系統(tǒng)采用收發(fā)共置的均勻線陣，陣元個數(shù)為10，陣元間距為半個波長.空間遠場處存在兩個點干擾，分別位于30°與50°，干噪比（Interference and Noise Ratio，INR）均為30 dB.為驗證文中算法在導向矢量失配較大的場景下的性能，設假定的目標方向為3°，而真實的目標方向為6°，即目標波達方向存在3°的失配，陣元幅相誤差服從零均值復高斯分布，方差為0.04.仿真實驗添加5種算法與文中算法進行性能對比:文獻［6］的GLC算法、文獻［9］的基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)與導向矢量估計（Rec）算法、最壞情況性能最優(yōu)算法（Worst-Case）［3］、基于概率約束算法（Probability Constraint，PC）［4］和經(jīng)典的對角加載算法（Loaded Sample Matrix Inverse，LSMI）.其中，Worst-Case算法中誤差界選取ε=7；PC算法中誤差界選取εpc=7，概率值選取p=0.99；LSMI方法中對角加載水平采用10σ2，σ2為噪聲功率；BI-QCQP算法角域范圍選取Θ=［θt-5°，θt+5°］=［-2°，8°］.圖4為單次實驗的結(jié)果，其余為100次獨立重復實驗取平均值的結(jié)果.

圖2給出了樣本數(shù)為200時，6種算法輸出SINR隨輸入信噪比（Signal Noise Ratio，SNR）的變化曲線圖.從圖2可以看出，在整個輸入SNR范圍內(nèi)，所提算法均取得了最高輸出SINR.GLC算法由于采用自適應對角加載技術(shù)，相對于固定對角加載技術(shù)LSMI顯示出較好的性能.由于Rec算法首先使用Capon譜進行協(xié)方差矩陣重構(gòu)，而Capon法對陣元福相誤差較為敏感，在陣元幅相誤差較大時重構(gòu)后的協(xié)方差矩陣與理想?yún)f(xié)方差矩陣偏差較大，Rec算法性能會嚴重下降［10］.

圖3給出了SNR為-5 dB時，6種算法輸出SINR隨樣本數(shù)變化曲線，樣本數(shù)從10開始，在樣本數(shù)小于100時，為保證Worst-Case、PC、Rec算法的協(xié)方差矩陣可逆，對這3種算法的協(xié)方差矩陣進行對角加載，加載因子為10σ2.從圖3可以看出，與其他4種算法相比，所提算法的輸出SINR在整個樣本數(shù)范圍均獲得了最大值，所提算法與Worst-Case、PC、Rec、LSMI算法在樣本數(shù)為200以后開始收斂，而GLC算法隨著樣本數(shù)的增加性能逐漸下降，這是因為當樣本數(shù)較大時估計的協(xié)方差矩陣更接近理想?yún)f(xié)方差矩陣，從而由自適應對角加載技術(shù)得到的對角加載水平減小，不能提供足夠好的抗導向矢量失配的穩(wěn)健性.

圖2　輸出SINR隨SNR變化曲線

圖3　輸出SINR隨樣本數(shù)的變化曲線

圖4 輸出SINR隨迭代次數(shù)的變化曲線

圖4給出了SNR為-5 dB時，BI-QCQP算法輸出SINR隨迭代次數(shù)的變化曲線，從圖4可以看出，經(jīng)過3 ～4步文中算法開始收斂，說明BI-QCQP算法可快速收斂.BI-QCQP算法每一步迭代過程僅需要分別求解兩個低維QCQP問題，因此，BI-QCQP算法的快速收斂性就使得所提算法具有較低的計算復雜度.

下面詳細分析6種算法的計算復雜度，忽略低階項（二階及以下項），其中，Worst-Case算法與PC算法中均需求解二階錐規(guī)劃問題（Second-Order Cone Programming，SOCP），用內(nèi)點法容易求解，一般在10步左右可以收斂［3］，Rec算法與文中BI-QCQP算法均需要求解QCQP問題，用內(nèi)點法求解其迭代次數(shù)一般也需要10步左右.因此，可以假設上述4種算法中每一次用內(nèi)點法求解SOCP或QCQP問題的迭代次數(shù)均為B=10（實際中每次求解的迭代次數(shù)可能不同，但一般均在10次左右），以便于對計算復雜度進行分析.BIQCQP算法的迭代次數(shù)假設為3步.

表1列出了6種算法的計算復雜度.BI-QCQP算法由于采用迭代降維處理，每次迭代只需分別求解兩個低維的QCQP問題，且算法可以快速收斂，而Worst-Case算法、PC算法及Rec算法均需進行全維迭代處理，因此與Worst-Case算法、PC算法及Rec算法相比，其計算復雜度更低.此外，在進行權(quán)矢量更新時，BIQCQP算法的計算復雜度為（O 3B（M3+N3）），遠小于Worst-Case算法、PC算法及Rec算法的計算復雜度O（BM3N3），從而較大提高了計算效率.

表1　6種算法計算復雜度比較

3 結(jié)束語

筆者將GLC算法應用到MIMO雷達模型，得到改進的協(xié)方差矩陣估計，接著利用MIMO雷達收發(fā)陣列少部分先驗知識，根據(jù)目標信號輸出功率最大原理建立代價函數(shù)以估計真實的發(fā)射與接收導向矢量.用BI算法求解該代價函數(shù)，將原始的高維問題轉(zhuǎn)化為低維的凸QCQP問題.仿真實驗表明，與傳統(tǒng)算法相比，在導向矢量失配嚴重的情形下，文中算法能夠取得最高的輸出SINR，且能快速收斂，與其他穩(wěn)健波束形成算法相比，具有較低的計算復雜度，尤其在進行權(quán)矢量更新時，能夠較大提高計算效率.

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（編輯:齊淑娟）

Iterative dimension-reduced robust adaptive beamformer for MIMO radar

YU Hongbo，F(xiàn)ENG Dazheng，XIE Hu
（National Key Lab.of Radar Signal Processing，Xidian Univ.，Xi’an 710071，China）

Aiming at the transmitted and received steering vectors mismatch problem，an iterative dimension-reducing robust adaptive beamformer for MIMO radar is presented.The General Linear Combined（GLC）method is applied in MIMO radar to obtain the enhanced covariance matrix estimation，and the transmitted and received steering vectors mismatch model is established.The cost function is established based on the desired signal output power maximum principle to estimate the transmitted and received steering vectors.The bi-iteration method is proposed to solve the cost function and it is merely necessary to find out two low-dimensional convex quadratically constrained quadratic programming（QCQP）problems in per iteration.Simulation results show that the proposed method can obtain the higher output signal-to-noise-plus-interference（SINR）under the condition of severe steering vector mismatch than the conventional robust beamformers，and that the proposed method can converge fast so that it has the lower computational complexity.

multiple-input multiple-output（MIMO）radar；robust beamformer；quadratically constrained quadratic programming（QCQP）；bi-iteration；dimension-reduced

TN958.92

A

1001-2400（2016）01-0030-06

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.01.006

2014-07-20 網(wǎng)絡出版時間：2015-04-14

國家自然科學基金資助項目（61271293）

虞泓波（1988-），男，西安電子科技大學博士研究生，E-mail:beyond?hongbo@126.com.

網(wǎng)絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150414.2046.022.html