寧自登 舒燕

摘 要：文章在分析多品種、小批量生產(chǎn)模式下的特點和傳統(tǒng)SPC控制圖的局限性的基礎上，提出了貝葉斯統(tǒng)計的構建模型，并結合企業(yè)實際情況，對均值極差（方差已知，標準差未知的條件下）進行了實例驗證計算，最后得出貝葉斯統(tǒng)計方法能用于多品種小批量的生產(chǎn)模式下的SPC控制。

關鍵詞：多品種小批量 SPC控制圖 貝葉斯統(tǒng)計

中圖分類號：F270.7 文獻標識碼：A

文章編號：1004-4914（2016）02-207-03

引言

在標準化、大批量生產(chǎn)模式出現(xiàn)后，為了對該生產(chǎn)模式下的產(chǎn)品質量特性進行描述監(jiān)控，減少廢品損失，提高生產(chǎn)效率，于20世紀初休哈特博士創(chuàng)建了統(tǒng)計過程控制理論（SPC，Statistical Process Control）。SPC理論是建立在大批量生產(chǎn)模式下，利用大量的產(chǎn)品抽樣數(shù)據(jù)通過統(tǒng)計推斷從而對整個生產(chǎn)過程進行監(jiān)控，達到改進與保證產(chǎn)品質量的目的{1}。它把質量控制從以往的“事后把關”發(fā)展到“事前預防”，大大提高了產(chǎn)品的質量。但是隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展，顧客對產(chǎn)品的需求日益多樣化和個性化，制造業(yè)正由大批量生產(chǎn)向多品種小批量的生產(chǎn)方式轉換。由于小批量生產(chǎn)具有產(chǎn)品品種多、批量小、生產(chǎn)系統(tǒng)復雜性和不穩(wěn)定性等特點，因此無法獲取穩(wěn)定的質量特征值，致使分析數(shù)據(jù)所需樣本不足，建立在正態(tài)分布基礎上的傳統(tǒng)SPC很難在小批量生產(chǎn)的工序質量控制過程中發(fā)揮作用。于是，如何將SPC有效應用到多品種小批量生產(chǎn)過程的質量控制中就顯得格外重要。

一、SPC常規(guī)控制圖介紹

現(xiàn)有的質量控制理論都是基于經(jīng)典統(tǒng)計理論建立起來的， 一般認為，當生產(chǎn)過程不存在系統(tǒng)誤差時，產(chǎn)品的質量特性（設為X）服從均值為μ、方差為的正態(tài)分布N（μ，σ），此時樣品的質量特性X落在區(qū)間[x-3s，x+3s]中的概率為99.73%{2}據(jù)此設計了過程質量控制圖的中心線及上、下控制限：LCL=μ-3σ UCL=μ-3σ CL=μ通常情況下，由于參數(shù)（μ，σ） 一般是未知的，因此在實際應用中，往往采用樣本均值x和樣本標準差s 分別代替未知參數(shù)μ和σ的方法來確定CL，UCL和LCL的近似位置。

對于大批量生產(chǎn)模式下常見的控制圖有定量型的控制圖X bar-R控制圖（計量值、正態(tài)分布）， 計件型的不合格品百分率p控制圖（計件值，二項分布）及不合格品數(shù)np控制圖（計件值，二項分布）計點型的缺陷率u控制圖（計點值，泊松分布）及缺陷數(shù)c控制圖（計點值，泊松分布），這些控制圖都是建立在大批量生產(chǎn)條件下所抽取的樣本量近似于正態(tài)分布的，

但是由于（x，s）與（μ，σ） 之間存在差異，對小批量生產(chǎn)而言， 二者之間的差異較大，不論μ與σ取值如何，產(chǎn)品質量特性落在[μ-3σ，μ+3σ]范圍內的概率一般不會等于99.73%。此時按常規(guī)方法所建立的控制圖對生產(chǎn)過程中異?，F(xiàn)象的檢測能力將會降低。與自動化生產(chǎn)線的大規(guī)模制造相比較， 小批量生產(chǎn)的環(huán)境波動比較大， 不同批次產(chǎn)品的質量指標參數(shù)之間存在差異， 此時參數(shù)具有隨機性的特征， 這與經(jīng)典統(tǒng)計的基本觀點/ 總體分布參數(shù)是固定的常數(shù)0是不相符的； 因此， 此時不宜用經(jīng)典統(tǒng)計方法來研究X 的質量控制問題。

二、適用于多品種小批量的SPC控制圖

Quesenberry提出了Q控制圖{3}。Q控制圖的前提是工序質量特征值服從同一總體分布， 其實質是統(tǒng)計變換，即利用T 分布來降低對數(shù)據(jù)量的要求。然而， 當樣本數(shù)很少時， 由于T 分布在自由度很小時所得到的控制線的寬度太大， 監(jiān)視作用將受到限制。上述這類方法的出發(fā)點是將各類相似的工序， 經(jīng)數(shù)據(jù)變換，映射成為具有相同總體分布的工序， 以增加樣本容量，以便借用傳統(tǒng)的SPC方法。休哈特認為樣本數(shù)據(jù)量至少要在100以上時，所獲得的控制圖才能應用到實際生產(chǎn)中，而Quesenberry{4}則建議在確定單個控制圖的永久界限時，至少需要300個觀測樣本，不適合多品種，小批量生產(chǎn)模式下的樣本收集。

Wassermant{5}建立了動態(tài)EWMA質量控制圖。休哈特控制圖從本質上講，進行質量控制的焦點在于產(chǎn)品（或工序輸出的質量特征），僅把工序過程視為獨立的過程，缺乏對過程本身固有的變化規(guī)律的描述。近年來，SPC的一大趨勢是把質量控制的焦點從產(chǎn)品轉到了生產(chǎn)過程，基于過程模型的質量控制技術得到了較快的發(fā)展，累積和控制圖（Cumulative Sum）、指數(shù)加權移動平均（ EWMA： Exponentially Weighted Moving Averages）控制圖、時序控制圖等正在引起人們的興趣{6}。

P.J.Harrison等人提出貝葉斯預測理論，它首先借助于已有知識建立過程的動態(tài)模型， 然后根據(jù)先驗分布的信息和已測得的過程歷史數(shù)據(jù)等， 計算后驗分布， 并結合專家經(jīng)驗對過程作出決策。這是一種利用客觀數(shù)據(jù)、模型加上人的主觀經(jīng)驗來分析處理復雜問題的方法{7}?？梢哉f， 基于貝葉斯的SPC方法是在多品種、小批量制造過程中實施統(tǒng)計質量控制的最有前途的方法之一。

三、貝葉斯統(tǒng)計思想簡介

貝葉斯統(tǒng)計認為當某一樣本X={x1，…，xn}的產(chǎn)生是分兩步的。首先由先驗分布p（θ）產(chǎn)生一個參數(shù)樣本θ'，這一步是不可見的。第二步則是從含有這個樣本參數(shù)θ'的總體分布p（x│θ'）中產(chǎn)生一個樣本X，這個樣本是具體的、可見的。若要對總體分布p（x│θ'）的參數(shù)θ'進行估計，貝葉斯統(tǒng)計認為不能只考慮θ'，而是要將θ的一切可能性（即p（θ））都考慮進去。而對參數(shù)θ進行的估計是基于貝葉斯公式{8}

p（B│A）=■ （公式3-1）

首先通過求得樣本的似然函數(shù)L（θ'）

p（x│θ'）=■p（xi│θ'） （公式3-2）

這個似然函數(shù)是綜合了總體以及樣本中所含θ的信息。然后求出樣本X與參數(shù)θ的聯(lián)合分布

h（x，θ）=p（x│θ）p（θ） （公式3-3）

此分布將總體、樣本以及先驗信息都包含了進去。由于h（x，θ）還可以做如下分解

h（x，θ）=p（θ│x）m（x） （公式3-4）

m（θ）=■h（h（x，θ）dθ （公式3-5）

其中p（θ│x）為參數(shù)θ的后驗分布；m（x）是x的邊緣密度函數(shù)，它不含有任何關于θ的信息?；谪惾~斯公式，可以求出θ的條件分布π（θ丨x），根據(jù)可以對參數(shù)θ做出相應的推斷。它的計算公式為

π（θ丨x）=■=■ （公式3-6）

由于m（x）不依賴于參數(shù)θ，因此在計算θ的后驗分布時，m（x）僅相當于一個常數(shù)因子，故可以寫作

π（θ丨x）p（x丨θ）p（θ）

其中表示左右兩邊的具有相同的函數(shù)形式，之間只相差不依賴于θ的常數(shù)因子。

當樣本X給定后，θ的條件分布π（θ丨x）被稱為θ的后驗分布。它反映的是人們在抽樣后對在抽樣前對θ的認識（即p（θ））的調整。它包含了有關θ的總體信息、樣本信息以及先驗信息，同時也排除了與無關的其他信息。因此，通過π（θ丨x）對參數(shù)θ的估計將更加合理有效。

四、基于貝葉斯統(tǒng)計的控制圖模型構建

根據(jù)多品種，小批量生產(chǎn)的實際情況，大多數(shù)情況下，（x，s） 與（μ，σ）都不是已知的，在μ與σ2均未知時，對于特定的σ2，均值μ的先驗分布p（μ丨σ2）仍然為正態(tài)分布N（w，t2），而方差σ2的先驗分布p（σ2）仍然為倒伽馬分布IG（α，γ）。由于在實際生產(chǎn)過程中，方差σ2的改變對均值μ有較大的影響而均值μ對方差σ2的影響較小，且方差σ2的變動幅度往往小于均值μ的變動幅度，因此在此將歷史樣本數(shù)據(jù)的方差作為總體參數(shù)σ2的估計，記為s2。則此時，可以按方差σ2已知，而均值μ未知的方法來推演貝葉斯統(tǒng)計。

1.后驗分布推導。

當方差μ2已知，均值μ未知，對均值μ進行參數(shù)估計。當獲得該生產(chǎn)過程新的新一批產(chǎn)品{y1，y2，…，yk，…yn}后，其中k=1，2，…，n，可求得均值的后驗分布為正態(tài)分布μ。對于樣本數(shù)據(jù)，其似然函數(shù)為{9}：

p（y丨μ）=■p（yk丨u）=（■） （公式4-1）

則均值μ的后驗分布π（μ丨y）為

π（μ丨y）p（y丨μ）·p（μ）

exp■■（yk-μ）2·exp■

exp-■■+■

exp-■■+■μ2-2■+■μ+■+■

令A=■+■，B=■+■，C=■+■，則

π（μ丨y）p（y丨μ）·p（μ）

exp-■Aμ2-2Bμ+C

exp-■Aμ2-2Bμ

exp-■μ-B/A2

可以看出，此時均值μ的后驗分布是均值為B/A，方差為A-1的正態(tài)分布。記均值μ的貝葉斯估計為■B，■B推導得：

■B■=■

=■=■ （公式4-2）

從公式4-2中可以看出，μ的貝葉斯估計■為先驗產(chǎn)品樣本質量特征值的均值與后續(xù)樣本觀察值均值的加權平均。隨著后續(xù)樣本量n的增大，先驗樣本均值w的權重將逐漸減小。當n足夠大時，貝葉斯估計值■B與傳統(tǒng)方法所估計的均值μ幾乎相同。而當n較小時，■B充分利用了先驗信息與后續(xù)觀察值，而這兩者在估計中占有重要地位，使得估計值更加可靠。

2.控制限建立。

令方差σ2=σ20，對于受控過程中產(chǎn)品質量特性值y服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其樣本均值■服從正態(tài)分布N（μ，σ2/n）。將公式4-2中均值μ的貝葉斯估計■B代入。則此時控制圖的界限為：

UCL=■B+3σ20/■CL=■BLCL=■B-3σ20/■ （公式4-3）

則控制圖的控制界限為：

UCL=■CL=σ0LCL=■ （公式4-4）

五、實例驗證

本文根據(jù)S公司的多品種，小批量的生產(chǎn)模式，選擇比較典型的均值級差控制圖來進行驗算，網(wǎng)版印刷中的印刷焊料的高度來進行測算，由于一臺機器用于很多產(chǎn)品的印刷，且每個產(chǎn)品的數(shù)量也比較燒，比較適合這個模型的驗算。本文僅驗算方差已知，均值未知道的情況，本文將將30個批次共150個數(shù)據(jù)分別視作總體觀測的均值與方差見表1。為了符合該企業(yè)在實際中的抽樣情況，因此在隨機抽取10個批次的樣本數(shù)據(jù)，如表2。并將抽樣后的批次1—9作為已存在的歷史數(shù)據(jù)，第10個批次的產(chǎn)品為新的待檢測的產(chǎn)品數(shù)據(jù)。

首先采用Minitab15對整體30個批次的數(shù)據(jù)通過Minitab15可得其x控制圖的控制界限為（6.573，5.205，3.798）而s控制圖的控制界限為（0.145，0.362，0），見表3，運用貝葉斯統(tǒng)計公式可計算得出x-s的數(shù)據(jù)界限見表4、表5。 （下轉第210頁）（上接第208頁）

通過上表的數(shù)據(jù)比較可以看出，相比起傳統(tǒng)估計方法，貝葉斯估計的偏差s更小，x均值控制的界限更大，能更加有限地防止由于多品種，小批量引起的波動，對生產(chǎn)實際更加有效地反映控制波動和偏差。

總結

通過上面的模型建立和實際數(shù)據(jù)的驗證，能說明貝葉斯統(tǒng)計的方法是適合多品種、小批量模式下SPC控制線設置的。

注釋：

{1}約瑟夫.M.朱蘭，A.布蘭頓.戈弗雷.朱蘭質量手冊[M].北京：中國人民大學出版社，2003

{2}朱慧明，韓玉啟.貝葉斯多元統(tǒng)計推斷理論[M]北京：科學出版社2006，67

{3}Quesenberry C P， et al. Short-r un statistical process control ：A-chart enhancements and alternative methods Authors[J] .Quality and Reliability Engineering International， Vol： 12Iss： 3p. 159～ 64

{4}Quesenberry，C.P.SPC Q Charts for Start-up Process and Short or Long Runs[J] Journal of Quality Technology， 1991， 23（3）：213-224

{5}Wassermann， G.S. Short Run SPC Using Dynamic Control Chart[J] Computers Industrial Engineering， 1994，27（4）：353-356

{6}James M L， et al. Exponentially Weighted Moving Average Control Schemes： Proper ties and Enhancements[ J].Technimetrics， 1990，32（1）：1～29

{7}Harney H L. Bayesian inference： Parameter estimation and decision [M] . New York： Springer ， 2003

{8}茆詩松，貝葉斯統(tǒng)計[M]中國統(tǒng)計出版社，1999，14-15

{9}朱志剛，小批量多品種的SPC控制圖研究[D]上海：上海交通大學200634-36

（作者單位：1新美亞電子（深圳）有限公司 廣東深圳 518125；2.東莞理工學院 廣東東莞 523808）

[第一作者簡介：寧自登（1976—），男，湖北荊州人，碩士， 研究方向：供應鏈管理與運營管理]

（責編：若佳）