張　濤　張　欣

(貴州大學大數據與信息工程學院　貴州 貴陽 550025)

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三次樣條插值在小波去噪中的應用

張濤張欣*

(貴州大學大數據與信息工程學院貴州 貴陽 550025)

針對傳統(tǒng)小波閾值函數在圖像去噪中的不足，結合三次樣條插值提出一種新的閾值函數。該函數具有很好的光滑性，既克服了硬閾值函數不連續(xù)性造成的吉布斯效應，也解決了軟閾值函數引起的恒定偏差問題，而且能夠根據圖像噪聲方差的大小，自適應地改變函數系數以達到最佳的去噪效果；最后，利用人工蜂群算法構造新的閾值進行去噪。實驗結果表明，該去噪方法無論是主觀感受，還是客觀評價均優(yōu)于軟閾值及硬閾值的去噪效果，與其他改進的小波去噪方法相比該算法也具有較好的效果。

小波變換三次樣條插值閾值函數人工蜂群算法(ABC)

0　引　言

圖像中的噪聲對圖像后期的處理帶來嚴重的影響，因此圖像去噪是圖像處理的首要任務。由于小波變換具有有效、高度直觀的描述框架和多分變率圖像存儲的優(yōu)點，尤其是可以同時在空間域和頻域研究圖像[1]，使其在圖像去噪中獲得了很好的效果。目前小波去噪主要包括三種方法：基于小波閾值去噪算法、基于小波系數相關性去噪算法和基于小波極大值去噪算法[2]，其中閾值去噪算法應用最為廣泛。

傳統(tǒng)的小波閾值去噪算法是Donoho于1995年提出的。雖然該方法簡單，但卻存在固有的缺點：硬閾值函由于在閾值處不連續(xù)，因此對圖像處理之后會造成Gibbs振蕩效應；軟閾值函數存在著恒定的偏差，這些限制了其應用。對此國內外學者相繼提出了改進的算法[3-8]，文獻[3]通過改進閾值，在多閾值的情況下進行去噪；文獻[4，5]通過改進閾值函數進行去噪；文獻[6]在Bayes風險最小的情況下進行了局部去噪；文獻[7]通過改進閾值函數和閾值進行去噪；文獻[8]將人工蜂群算法引入小波中進行去噪；這些算法在一定程度上實現了小波閾值去噪的優(yōu)化。本文在此基礎上，采用三次樣條插值構造閾值函數，利用人工蜂群算法優(yōu)化閾值，實現了較好的去噪效果。

1　傳統(tǒng)小波閾值函數去噪原理

設一幅M×N的圖像被高斯噪聲污染后的表示如下：

hj,k=fj,k+nj,k

(1)

其中j=1,2, …,M；k=1,2,…,N；hj,k為含噪圖像在(j,k)處的灰度值，fj,k是原圖像在(j,k)處的灰度值，nj,k為服從N(0,σ2)的正態(tài)分布。

設hj,k經過小波變換后變?yōu)閣j,k，由于該過程是線性變換[9]，所以wj,k是fj,k的小波系數與nj,k的小波系數之和；另一方面，變換后原圖像本身的能量集中于較大的小波系數中，而噪聲的能量則分布于較小的系數中，因此可以設置一個閾值，大于該閾值的小波系數認為是fj,k的小波變換，給予保留；而小于該閾值的小波系數則認為是nj,k的小波變換，給予刪除，這樣就達到了去噪的目的，其步驟如下所示：

(1) 對hj,k進行小波系數分解得wj,k；

(2) 對wj,k進行閾值處理，設vj,k為處理后的小波系數，硬閾值方法為:

(2)

軟閾值方法為:

(3)

(4)

2　三次樣條插值構造新的閾值函數

2.1三次樣條插值構造閾值函數

2.1.1三次樣條插值簡介

早期工程師制圖時，把富有彈性的細長木條(所謂樣條)用壓鐵固定在樣點上，在其他地方讓它自由彎曲，然后沿木條畫下曲線,稱為樣條曲線。三次樣條插值(簡稱Spline插值)是通過一系列形值點的一條光滑曲線，數學上通過求解三彎矩方程組得出曲線函數組的過程。其定義如下：

若點a=x0

(1) 在每個子區(qū)間[xi,xi+1](i=0, 1, 2,…,n-1)上S(x)是三次多項式；

(2)S(x)在[a,b]二階連續(xù)可導；

則稱S(x)是區(qū)間 [a,b]上的三次樣條函數[10]。

若求f(x)在[a,b]的三次樣條插值函數，由定義可設S(x)=aix+bix+cix+di,x∈[xi,xi+1](i=0, 1, 2,…,n-1)其中ai、bi、ci、di為未知數，共4n個，按照三次樣條插值的定義，則有如下條件：

1) 插值條件n+1個：S(xi)=f(xi)；

2) 連續(xù)條件n-1個：S(xi-0)=S(xi+0)；

3) 一階導數連續(xù)條件n-1個：S(1)(xi-0)=S(1)(xi+0)；

4) 二階導數連續(xù)條件n-1個：S(2)(xi-0)=S(2)(xi+0)。

其中S(n)(x)表示對S(x)n次求導，共確定4n-2個條件，若要求解S(x)，還需要兩個條件，稱為邊界條件：S(1)(x0)=f(1)(x0),S(1)(xn)=f(1)(xn)；由以上4n個條件便可求出S(x)。

2.1.2新閾值函數的構造

當n=2時，需要8個條件方可求出S(x)，為了使構造的新閾值函數在[λ-ε,λ+ε]內具有很好的光滑性，且可以與硬閾值函數很好地銜接，則S(x)在應滿足如下條件：

1)S(λ-ε)=0；

2)S(λ+ε)=λ+ε；

3)S(λ-0)=m；

4)S(λ+0)=m；

5)S(1)(λ-ε)=0；

6)S(1)(λ+ε)=1；

7)S(1)(λ-0)=S(1)(λ+0)；

8)S(2)(λ-0)=S(2)(λ+0)。

其中ε=k1×λ，m=k2×λ,k1調節(jié)鄰域的大小，k2調節(jié)S(x)在閾值處的值; 條件1)、2)、5)和6)保證新閾值函數可以光滑地與硬閾值函數銜接條件3)、4)、7)和8)保證了新閾值函數在λ處一、二階導數連續(xù)。通過下式:

(5)

(6)

取λ=0.5, k1=0.5, k2=0.5，新閾值函數、硬閾值函數及軟閾值函數的對比圖像如圖1所示。可以看出采用三次樣條插值構造的vj,k有如下特點：

(1) 既克服了硬閾值函數的不連續(xù)性，又解決了軟閾值函數的恒定偏差，且高階可導，具有很好的光滑性。

(2) k1越小，則過渡階段的鄰域范圍就越小，S(x)的斜率越大，新閾值函數趨近閾值函數的速度越快；若k1越大，過渡階段越長，去噪后的圖像會出現模糊現象。

(3) k2越小，新閾值函數在[λ-ε, λ]范圍內越趨近于0，越有利于去噪。但k2過小，S(x)容易在λ處出現Runge現象，此時構造的vj,k在零點附近容易出現劇烈的振蕩現象。為了實現較好的去噪效果，需要合理地對k1、k2進行取值，經過多次實驗，當k1=0.1、k2=0.3時基于本文閾值函數的小波去噪效果最好。

圖1　各閾值函數的對比圖

2.2人工蜂群算法尋優(yōu)閾值

2.2.1人工蜂群算法簡介

人工蜂群算法是模仿蜜蜂行為提出的一種優(yōu)化方法，是集群智能思想的一個具體應用。標準的ABC模型主要包括三個基本的組成元素：蜜源、被雇傭的蜜蜂(也稱為引領蜂)以及未被雇傭的蜜蜂。未被雇傭的蜜蜂又分為跟隨蜂與偵察蜂。蜜源相當于優(yōu)化問題的可行解，它由其所含花蜜的豐富程度、獲取難易以及距離蜂巢的遠近等因素決定；引領蜂攜帶蜜源的信息，并可以將其分享給其它的蜜蜂，它的數量與蜜源相等；跟隨蜂通過觀察引領蜂的舞姿來獲取不同蜜源的收益率，并根據一定的規(guī)則選出最好的蜜源前去采蜜，在此過程中，跟隨蜂也會在該蜜源附近尋找是否有更好的蜜源；偵察蜂則負責在蜂巢附近隨機的搜尋新蜜源?？偟牟擅圻^程如下：

1) 在初始階段，蜂群在整個空間隨機尋找蜜源；

2) 找到蜜源的偵察蜂變?yōu)橐I蜂，在采蜜后，它將該蜜源的信息送回蜂巢與跟隨蜂分享，當該蜜源采完后，它變?yōu)閭刹旆淅^續(xù)搜尋新的蜜源；

3) 跟隨蜂根據引領蜂攜帶的蜜源信息，按照一定的規(guī)則選擇一個蜜源進行開采，然后重復步驟2)，直到滿足結束條件[11，12]。

2.2.2新閾值的優(yōu)化算法

由于小波變換后每層的系數不同，利用單一閾值去噪的效果并不理想，因此有必要對閾值進行改進。在利用人工蜂群算法時，把信噪比(SNR)作為尋優(yōu)目標函數，其中SNR越大表示圖像去噪效果越好，其公式如下所示：

(7)

(8)

本文結合小波去噪的過程，對算法做如下改進：

1) 初始化設置：群體個數為SN、最大循環(huán)次數MaxCycles、控制參數Limit、問題的維數D及計數Bas，其中引領蜂、跟隨蜂數目為SN/2，蜜源數目與引領蜂數目相等。

2) 引領蜂根據式(9)，在蜜源附近尋找新的蜜源，采用輪盤賭法擇優(yōu)選擇，當新蜜源比原蜜源好時，更新蜜源的位置，否則Bas加1。

Sm,n=Xm,n+Rm,n×(Xm,n-Xp,n)

(9)

其中p∈{1,2,…,SN}，n∈{1,2…,D},且p≠n，Rm,n∈[-1,1]。Xm,n是當前的初始蜜源，它由式(4)產生，Xp,n是隨機選擇的一個鄰域個體的蜜源。

3) 跟隨蜂根據式(7),選擇使SNR最大的蜜源對引領蜂進行選擇。

4) 跟隨蜂在步驟3)中選擇的蜜源附近搜尋新的蜜源，根據式(9)更新蜜源的位置。

5) 在搜尋蜜源的過程中，如果未更新的次數超過一定的次數，即未更新計數Bas的值大于限制的參數Limit時，與該蜜源相對應的引領蜂變?yōu)閭刹旆?，由?10)產生新的蜜源。

Xmin,mn=Xmin,n+rand(0,1)×(Xmax,n-Xmin,n)

(10)

其中Xmax,n，Xmin,n是變量的最大值和最小值，rand(0,1)是[0,1]之間的隨機數。

6) 返回算法的引領蜂階段，繼續(xù)迭代，直到迭代次數大于MaxCycles,此時的閾值是最優(yōu)值(流程如圖2所示)[11]。

圖2　人工蜂群算法優(yōu)化閾值流程圖

3　實驗結果及分析

為了驗證本文算法，使用MATLAB 7.1對加入均值為0、方差為0.03的高斯白噪聲的Lena圖分別采用硬閾值函數、軟閾值函數、文獻[4]提出的方法和本文提出的方法進行了仿真實驗。實驗采用sym4小波進行三層分解，人工蜂群的個數SN=80，MaxCycles=3000，D=30，Limit=1/2×SN×D=1200，Bas初始值為0。實驗結果如圖3所示，可以看出本文算法在視覺方面具有較好的效果，在圖3(c)以及圖3(d)中帽子頂部和背景處出現了振蕩現象，而在本文算法去噪結果(圖3(e))中振蕩現象有明顯的消除。

圖3　各閾值函數對Lena含噪圖像去噪的效果比較

為了進一步比較本文提出的閾值函數與軟硬閾值函數的性能，對加入不同方差的含噪圖像分別用軟、硬閾值方法，文獻[4]方法及本文方法進行去噪，用信噪比(SNR)衡量去噪效果的好壞。從表1中可以看出本文閾值函數的去噪效果優(yōu)于傳統(tǒng)閾值函數以及文獻[4]的去噪效果。

表1　不同方差的高斯噪聲圖像在不同閾值函數下去噪的信噪比

4　結　語

本文結合三次樣條插值與人工蜂群算法提出了一種新的閾值函數與閾值。新的閾值函數不僅連續(xù)，而且高階可導，可通過改變調節(jié)系數k1和k2以及結合新的閾值獲得最好的去噪效果。從實驗仿真中可以看出，相比傳統(tǒng)軟硬閾值函數和文獻[4]法，該方法對圖像去噪更加有效。從文中可以看出，閾值大小的估計直接影響著去噪的效果，而噪聲方差的大小對閾值的估計起著關鍵的作用[13],因此如何正確地計算噪聲方差的大小是后續(xù)研究的重點。

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APPLICATION OF CUBIC SPLINE INTERPOLATION IN WAVELET DENOISING

Zhang TaoZhang Xin*

(SchoolofBigDataandInformationEngineering,GuizhouUniversity,Guiyang550025,Guizhou,China)

To overcome the drawback of traditional wavelet threshold function in denoising, combining with cubic spline interpolation we proposed a new threshold function. The function has good smoothness, it overcomes the Gibbs effect caused by the discontinuity of hard threshold function while solves the constant deviation problem caused by soft threshold function as well. And the function can adaptively change its coefficients to achieve best denoising effect according to the size of image noise variance. Finally, it uses artificial bee colony algorithm to construct a new threshold for denoising. Experimental results showed that this denoising method, in either subjective feelings or objective evaluation, is better than soft threshold and hard threshold denoising effect. And compared with other improved wavelet denoising method, this algorithm also has a good effect.

Wavelet transformCubic spline interpolationThreshold functionArtificial bee colony algorithm(ABC)

2015-03-30。國家自然科學基金項目(11204046)；貴州省科技廳工業(yè)攻關項目(黔科合GY字[2010]3056)；貴州大學研究生創(chuàng)新基金項目(研理工2014007)。張濤，碩士生，主研領域：數字圖像處理。張欣，副教授。

TP391

A

10.3969/j.issn.1000-386x.2016.08.019