郭永香，聶冰，李秀梅，鄧武

（大連交通大學(xué) 軟件學(xué)院，遼寧 大連　116028）

永磁同步電動(dòng)機(jī)的混沌分析及線性反饋控制

郭永香，聶冰，李秀梅，鄧武

（大連交通大學(xué) 軟件學(xué)院，遼寧 大連116028）

針對(duì)永磁同步電動(dòng)機(jī)因系統(tǒng)參數(shù)變化而觸發(fā)的不規(guī)則混沌運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，討論了電動(dòng)機(jī)的非線性特性，推導(dǎo)電動(dòng)機(jī)的系統(tǒng)模型，并對(duì)系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。根據(jù)平衡點(diǎn)的特性，通過(guò)利用線性反饋的控制方法，選取相應(yīng)的控制器對(duì)電動(dòng)機(jī)進(jìn)行控制，消除系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象，達(dá)到控制永磁同步電動(dòng)機(jī)的目的。理論分析和數(shù)值仿真結(jié)果表明了線性反饋控制策略的有效性，該方法能有效實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的快速穩(wěn)定，提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，增強(qiáng)了系統(tǒng)的抗干擾能力。

混沌；永磁同步電動(dòng)機(jī)；線性反饋控制；平衡點(diǎn)

隨著電力電子技術(shù)、電機(jī)控制理論與永磁材料的發(fā)展，永磁同步電動(dòng)機(jī)得到了迅猛的推廣與應(yīng)用。但是作為多變量、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，電機(jī)在一定參數(shù)變化范圍內(nèi)會(huì)產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)，主要變現(xiàn)為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速的振蕩、控制性能的不穩(wěn)定以及不規(guī)則的電磁噪聲等[1]。混沌的存在對(duì)電動(dòng)機(jī)的穩(wěn)定運(yùn)行有著巨大的影響，混沌問(wèn)題在工程上的應(yīng)用研究近來(lái)已成為人們的熱點(diǎn)[2]。非線性系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象所表現(xiàn)出在一定參數(shù)變化范圍內(nèi)對(duì)初始條件的敏感依賴性、運(yùn)動(dòng)軌跡的不可預(yù)測(cè)性等固有特性與系統(tǒng)不規(guī)則運(yùn)動(dòng)十分類(lèi)似，它這種貌似隨機(jī)、不規(guī)則但又有一定規(guī)律的行為已被大量的實(shí)驗(yàn)所證實(shí)，從而為基于混沌現(xiàn)象去研究探討電機(jī)不規(guī)則運(yùn)動(dòng)提供了一個(gè)重要的啟示[3]。

為了消除因電動(dòng)機(jī)參數(shù)變化而引發(fā)的不規(guī)則的混沌運(yùn)動(dòng)，本文推導(dǎo)了永磁同步電動(dòng)機(jī)的系統(tǒng)模型，該系統(tǒng)在不同的參數(shù)作用下呈現(xiàn)不同的動(dòng)態(tài)特性，并分析了系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。利用線性反饋的控制方法對(duì)電動(dòng)機(jī)進(jìn)行控制，有效的消除系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象。仿真結(jié)果表明了該控制方法的有效性，對(duì)提高電動(dòng)機(jī)的穩(wěn)定性、可靠性有著深遠(yuǎn)的意義。

1　永磁同步電動(dòng)機(jī)的系統(tǒng)模型

在d-q軸坐標(biāo)系下，將文獻(xiàn)[1，4]中電機(jī)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行仿射與時(shí)間尺度變換，將其轉(zhuǎn)換成無(wú)綱量狀態(tài)模型，得到系統(tǒng)模型[5]如式（1）

對(duì)于系統(tǒng)（2），選擇相同的初始參數(shù)x=y=z=0.01，當(dāng)σ=4、取值不同時(shí)，該系統(tǒng)呈現(xiàn)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，相軌跡如圖1所示。取r=10時(shí)，圖1（a）中的吸引子表現(xiàn)為固定點(diǎn)，系統(tǒng)最終能夠達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)r=50時(shí)，圖1（b）顯示該系統(tǒng)具有蝴蝶狀的混沌吸引子，呈現(xiàn)典型的混沌狀態(tài)，此時(shí)混沌吸引子二維相圖如圖2所示，具有明顯的對(duì)稱(chēng)性。

圖1　系統(tǒng)相圖Fig.1　System phase diagram

2　永磁同步電動(dòng)機(jī)的穩(wěn)定性分析

參數(shù)取值不同直接影響了系統(tǒng)（2）的動(dòng)力學(xué)特性。令系統(tǒng)（2）中求得方程的解為：（0，0，0）、（r-1，和

則該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為：

1）當(dāng)0

2）當(dāng)r>1時(shí)，平衡點(diǎn)包括3個(gè)，分別為O （x，y，z）=

平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性由系統(tǒng)對(duì)應(yīng)雅可比矩陣的特征值λ決定。系統(tǒng)（2）的雅可比矩陣為

圖2　r=50吸引子二維相圖Fig.2　r=50 attractor phase diagram

對(duì)于平衡點(diǎn)，其特征方程為（λ+1）[r2+（σ+1）λ+σ（1-r）]= 0。由此得出 3個(gè)特征值分別為：分析取不同參數(shù)值與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系[6]：

1）若0

2）若r>1時(shí)，λ1為負(fù)實(shí)數(shù)，但λ2和λ3為一正一負(fù)，此時(shí)O點(diǎn)為不確定的平衡點(diǎn)。

3）若r=1時(shí)，有一個(gè)零根，O點(diǎn)處于臨界狀態(tài)。

對(duì)于平衡點(diǎn)c1和c2對(duì)應(yīng)的特征方程為：

r增大系統(tǒng)隨之變得不穩(wěn)定，其特征方程（3）的特征值為α和共軛復(fù)數(shù)根β=β1+iβ2、β=β1-iβ2則方程（3）可以寫(xiě)成：（λα）（λ-β）=（λ-β）=0。展開(kāi)可得：

r增大到一定值時(shí)，該共軛復(fù)數(shù)根β1=0，穿過(guò)虛軸，發(fā)生霍夫分岔。將其代入（4）得到：

在方程（5）中，（λ2項(xiàng)的系數(shù)）*（λ項(xiàng)的系數(shù)）常數(shù)項(xiàng)，方程（3）與其對(duì)照，則有：

3　永磁同步電動(dòng)機(jī)的混沌控制與仿真

3.1混沌控制

根據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析可知，在特定條件下電動(dòng)機(jī)進(jìn)入混沌的不穩(wěn)定狀態(tài)。穩(wěn)定是系統(tǒng)運(yùn)行的基本條件，利用線性反饋方法，在系統(tǒng)中選取合適的控制器，使該系統(tǒng)在不穩(wěn)定平衡點(diǎn)處的雅各比矩陣的特征值實(shí)部為負(fù)，從而使轉(zhuǎn)子角速度穩(wěn)定在期望值上，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定。

當(dāng)σ=4、r=50時(shí)，O（x，y，z）=（0，0，0）為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。在系統(tǒng)（2）中增加線性反饋控制器ky（k為待定常數(shù)），將O點(diǎn)控制到平衡狀態(tài)[7]。則系統(tǒng)（2）轉(zhuǎn)換為：

對(duì)應(yīng)雅可比矩陣

3.2仿真研究

取k=50，系統(tǒng)的初始值x（0）=y（0）=z（0）=0.01，平衡點(diǎn)對(duì)應(yīng)雅可比矩陣的特征值為：λ1=-1，λ2=-54.92，λ3=-0.07，特征值的實(shí)部均為負(fù)實(shí)數(shù)，滿足穩(wěn)定的要求。

當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行50 s時(shí)加入線性反饋控制，角速度運(yùn)行仿真效果如圖3所示。

圖3　受控前后角速度運(yùn)行軌跡圖Fig.3　Trajectory of angular velocity before&after controlled

如圖所示，加入線性反饋控制之前，系統(tǒng)呈現(xiàn)出明顯的混沌特性，加入線性反饋之后，原有混沌系統(tǒng)的奇異吸引子消失，控制之后的角速度穩(wěn)定在平衡點(diǎn)，且響應(yīng)時(shí)間短，滿足控制要求，實(shí)現(xiàn)了預(yù)期的控制效果。

4　結(jié)　論

文中對(duì)永磁同步電動(dòng)機(jī)[8-9]的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，電動(dòng)機(jī)具有豐富的非線性動(dòng)力學(xué)特性。在特定參數(shù)條件下，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的非線性運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入混沌狀態(tài)，對(duì)電動(dòng)機(jī)的正常工作帶來(lái)不利的影響。利用線性反饋方法控制永磁同步電動(dòng)機(jī)可以消除系統(tǒng)的混沌狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行，并通過(guò)仿真[10]驗(yàn)證了該方法的有效性。

[1]薛薇，郭彥嶺，陳增強(qiáng).永磁同步電機(jī)的混沌分析及其電路實(shí)現(xiàn)[J].物理學(xué)報(bào)，2009，58（12）:8146-8151.

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[6]黃潤(rùn)生，黃潔.混沌及其應(yīng)用[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2005.

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Analysis of chaos and linear feedback control of permanent magnet synchronous motor

GUO Yong-xiang，NIE Bing，LI Xiu-mei，DENG Wu
（Software Technology Institute of Dalian Jiaotong University，Dalian 116028，China）

In order to prevent chaos caused by parameter variation，the nonlinear characteristic of permanent magnet synchronousis discussed，the system model of PMSMis presented，and the stability of an equilibrium point is analyzed.Based on the nature of the equilibrium point，a controller is designed for PMSM control by linear feedback control theory，the chaos is eliminated，and the purpose of controlling PMSM is achieved.The theoretical analysis and numerical simulation results show the effectiveness of the linear feedback control method.The method realizes the fast stability of the system，the dynamic characteristics and the anti-interference ability of the system is improved.

chaos；PMSM；linear feedback control；equilibria

TN911.3

A

1674－6236（2016）01-0103-03

2015-05-20稿件編號(hào)：201505177

國(guó)家自然科學(xué)基金（51475065）；遼寧省教育廳高等學(xué)?？蒲杏?jì)劃項(xiàng)目資助（L2012159）

郭永香（1974—），女，黑龍江綏化人，碩士，講師。研究方向：計(jì)算機(jī)應(yīng)用。