趙宏偉，劉 波，劉 恒

（西安空間無(wú)線電技術(shù)研究所 陜西 西安　710100）

一種改進(jìn)的稀疏表示DOA估計(jì)算法

趙宏偉，劉 波，劉 恒

（西安空間無(wú)線電技術(shù)研究所 陜西 西安710100）

稀疏表示波達(dá)方向（DOA）估計(jì)算法具有分辨力高等優(yōu)點(diǎn)，但是對(duì)陣元個(gè)數(shù)要求高、低信噪比時(shí)估計(jì)性能惡化嚴(yán)重，不利于在實(shí)際系統(tǒng)中應(yīng)用。為此，提出一種基于實(shí)信號(hào)特點(diǎn)的稀疏表示波達(dá)方向估計(jì)算法。首先，建立實(shí)值稀疏表示的DOA估計(jì)模型，能夠?qū)㈥囋獢?shù)虛擬加倍；其次，利用正交三角分解對(duì)估計(jì)模型變型，從而改善低信噪比時(shí)的估計(jì)性能；最后，利用正交匹配追蹤算法得到估計(jì)結(jié)果。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相對(duì)傳統(tǒng)稀疏表示算法，具有更低的估計(jì)誤差和更好的實(shí)時(shí)性，在實(shí)際工程中應(yīng)用前景廣闊。

波達(dá)方向估計(jì)；稀疏表示；正交三角分解；正交匹配追蹤

波達(dá)方向（Direction of Arrival，DOA）估計(jì)技術(shù)是陣列信號(hào)處理領(lǐng)域的研究重點(diǎn)之一，能夠?qū)崿F(xiàn)空間中多個(gè)目標(biāo)信號(hào)的高分辨定位，在雷達(dá)、通信、導(dǎo)航等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用［1-2］。經(jīng)典的MUSIC、ESPRIT等算法在高信噪比、足夠大的快拍數(shù)條件下，才可以很好的實(shí)現(xiàn)非相干目標(biāo)信號(hào)方向估計(jì)［3］。近年，稀疏表示（Sparse Representation，SR）思想在圖像處理、無(wú)線通信以及生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域吸引了研究者們的極大關(guān)注［4-6］。基于稀疏表示的DOA估計(jì)算法受到學(xué)者們的重視。文獻(xiàn)［7］提出根據(jù)陣列流型建立過(guò)完備字典，再利用二階錐規(guī)劃法對(duì)陣列接收數(shù)據(jù)進(jìn)行稀疏分解得到目標(biāo)DOA信息。文獻(xiàn)［8］提出目標(biāo)角度與過(guò)完備字典模型失配時(shí)的稀疏表示求解方法。文獻(xiàn)［9-12］針對(duì)稀疏表示DOA估計(jì)算法在不同陣列中的應(yīng)用進(jìn)行了研究和優(yōu)化。這些文獻(xiàn)說(shuō)明，基于稀疏表示的DOA估計(jì)算法具有較高的估計(jì)性能，天線陣元分布形式、接收信號(hào)的相干性不影響算法性能，對(duì)快拍數(shù)的要求比較低。

基于稀疏表示的DOA估計(jì)算法對(duì)陣元個(gè)數(shù)要求比較高、在低信噪比情況下出現(xiàn)性能惡化，并且實(shí)時(shí)性較差，成為制約應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)的關(guān)鍵因素。鑒于此，本文利用常用系統(tǒng)中的調(diào)制信號(hào)為實(shí)信號(hào)的特點(diǎn)，構(gòu)建實(shí)值的陣列接收數(shù)據(jù)和過(guò)完備字典，然后利用QR分解對(duì)數(shù)據(jù)模型變型，最后采用稀疏恢復(fù)算法得到DOA估計(jì)結(jié)果。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證算法的可行性和有效性。

1　基于稀疏表示的DOA估計(jì)

1.1DOA估計(jì)模型

由M個(gè)陣元組成直線陣，如圖1所示。假設(shè)K個(gè)窄帶信號(hào)入射，由于實(shí)際感興趣目標(biāo)僅占據(jù)少量的空間角度分辨單位，因此這些目標(biāo)可以構(gòu)成一個(gè)稀疏向量。假設(shè)T次快拍下，M×T維的接收數(shù)據(jù)矩陣為Y；A為M×N維的過(guò)完備字典；S 為N×T維的數(shù)據(jù)矢量，其中僅有K行元素非零，其余元素為0（或極小值，代表噪聲）；E為M×T維的復(fù)高斯白噪聲。相應(yīng)的DOA估計(jì)模型為

式中，||*||0表示L0范數(shù)，||*||2表示L2范數(shù)，ε為正則化參數(shù)，與噪聲有關(guān)。

1.2算法步驟

基于稀疏表示的DOA估計(jì)主要思想是根據(jù)陣列流型建立過(guò)完備字典，包含所有可能的目標(biāo)方位信息；再對(duì)陣列接收數(shù)據(jù)進(jìn)行稀疏恢復(fù)，根據(jù)重構(gòu)結(jié)果確定目標(biāo)信號(hào)方向。基本步驟為：

1）設(shè)置方向間隔，在所有入射方向范圍內(nèi)進(jìn)行采樣，得到方位角采樣序列θ=［θ1，θ2，…，θN］，建立對(duì)應(yīng)的過(guò)完備字典A=［a（θ1），a（θ2），…，a（θN）］，其中N為信號(hào)導(dǎo)向矢量a（θi）的個(gè)數(shù)；

2）獲得陣列接收數(shù)據(jù)Y；

3）建立稀疏模型（1）；

4）利用稀疏恢復(fù)算法求解信號(hào)向量S，根據(jù)S中非零元素位置得到相應(yīng)的入射信號(hào)方向。

圖1　均勻直線陣列接收信號(hào)示意圖

2　改進(jìn)的稀疏表示DOA估計(jì)

2.1實(shí)值估計(jì)模型

陣列接收實(shí)數(shù)信號(hào)時(shí)，拼接接收信號(hào)Y的實(shí)部Yc和虛部Ys，重新構(gòu)造實(shí)值陣列接收數(shù)據(jù)模型為

式中，接收數(shù)據(jù)Yr為2M×T維；Ec和Es為噪聲矩陣E的實(shí)部和虛部，構(gòu)成Er；Ar由陣列流型A的實(shí)部Ac與虛部As組成，Ac=［ac（θ1），ac（θ2），…，ac（θN）］，As=［as（θ1），as（s2），…，as（θN）］，對(duì)于均勻線陣ac（θi）和as（θi）為式（3）和（4），d為陣元間距?？梢宰C明，Ar依然與噪聲子空間相互正交［13］。

相應(yīng)的DOA估計(jì)模型為

算法在實(shí)數(shù)基礎(chǔ)上進(jìn)行，簡(jiǎn)化了運(yùn)算的復(fù)雜性；接收數(shù)據(jù)維數(shù)翻倍，相當(dāng)于加倍了可用的陣元個(gè)數(shù)。

2.2正交三角分解

現(xiàn)有的基于稀疏表示理論的測(cè)向方法在低信噪比時(shí)估計(jì)性能惡化較嚴(yán)重，本節(jié)采用正交三角（QR）分解對(duì)接收數(shù)據(jù)進(jìn)行去除噪聲預(yù)處理，并且降低陣列接收數(shù)據(jù)維數(shù)。對(duì)接收數(shù)據(jù)Yr的偽逆Y+r進(jìn)行QR分解可得

式中，Q為正交矩陣，QQH=I，I為單位矩陣；R為三角矩陣。

進(jìn)一步可得

將（6）代入（2）變換得

QR分解相當(dāng)于對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理，能夠有效降低噪聲影響；在大快拍數(shù)（如快拍數(shù)＞＞陣元數(shù)）情況下，將Yr的維數(shù)2M×T降為R+的2M×2M。

2.3算法步驟

將本文改進(jìn)的稀疏表示DOA估計(jì)算法步驟總結(jié)如下：

1）設(shè)置方向間隔，在所有入射方向范圍內(nèi)進(jìn)行采樣，得到方位角采樣序列θ=［θ1，θ2，…，θN］，建立對(duì)應(yīng)的實(shí)值過(guò)完備字典Ar=［ar（θ1），ar（θ2），…，ar（θN）］，ar（θi）=［ac（θi）T，as（θi）T］T；

2）陣列接收數(shù)據(jù)Y的實(shí)部和虛部構(gòu)建實(shí)值陣列接收數(shù)據(jù)Yr；

3）對(duì)Yr進(jìn)行QR分解獲得接收數(shù)據(jù)子陣R+；

4）建立改進(jìn)的DOA估計(jì)模型為

5）目前稀疏恢復(fù)算法主要包括兩大類，凸松弛法和貪婪追蹤法。前者具有理論保障，但是計(jì)算復(fù)雜度高，難以用于實(shí)際工程中。貪婪類算法的正交匹配追蹤算法是一種典型的貪婪追蹤算法，簡(jiǎn)單快速，具有較強(qiáng)的重構(gòu)能力。因此，這里利用正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法［14］求解模型（8）。

3　性能仿真

在仿真中假設(shè)陣元個(gè)數(shù)為30；陣元之間的間隔為0.5λ，λ為波長(zhǎng)；假設(shè)在運(yùn)動(dòng)目標(biāo)定位跟蹤場(chǎng)合下，最多只能獲得20個(gè)快拍數(shù)。觀測(cè)空間中存在5個(gè)信號(hào)源，信源1和2為相干信源，方位角依次為：-5.6°、-1.2°、3.5°和7.8°。

觀測(cè)空間的細(xì)化程度決定了稀疏表示DOA方法估計(jì)結(jié)果的精度。較大的間隔無(wú)法精確區(qū)分一個(gè)分辨單元內(nèi)的不同信號(hào)，較小的間隔可以提高估計(jì)精度，但是相鄰原子的相關(guān)性增大。通過(guò)大量仿真驗(yàn)證，細(xì)化間隔為0.1°～1°時(shí)，算法一般具有較高的穩(wěn)健性。這里觀測(cè)空間為［-10°，10°］，細(xì)化間隔設(shè)置為0.1°。

仿真中，定義角度估計(jì)誤差的均方值為

式中，J為獨(dú)立蒙特卡羅試驗(yàn)次數(shù)，設(shè)置為500；K為干擾源個(gè)數(shù)；θk為第k個(gè)目標(biāo)方位真實(shí)值；為第j次蒙特卡羅試驗(yàn)對(duì)第k個(gè)目標(biāo)的估計(jì)值。

實(shí)驗(yàn)1實(shí)值SR DOA算法驗(yàn)證與分析。

首先，將2.1節(jié)的實(shí)值Real SR DOA、常規(guī)SR DOA（過(guò)完備原子庫(kù)為陣列流型矩陣、采用OMP重構(gòu)算法）算法［15］以及MUSIC算法進(jìn)行比較。

各種算法的DOA估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化關(guān)系曲線的蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。隨著信噪比的增大，兩種SR算法的估計(jì)誤差變小。由于快拍數(shù)目少且存在相干信號(hào)，信號(hào)的方向向量與噪聲子空間不再滿足正交關(guān)系，MUSIC算法無(wú)法獲得精確的角度估計(jì)結(jié)果。

兩種SR算法在信噪比高于0 dB處，誤差和成功率都基本穩(wěn)定，低于0 dB處略有衰減，估計(jì)性能優(yōu)于MUSIC算法。在同等陣元數(shù)30等參數(shù)一致的情況下，本文實(shí)值Real SR算法性能大幅優(yōu)于常規(guī)SR算法（SR 30），與陣元數(shù)加倍為60時(shí)的常規(guī)SR算法（SR 60）性能相當(dāng)。這是由于新的陣列接收模型（2）虛擬地將陣元個(gè)數(shù)加倍，提高了算法的估計(jì)精度和多個(gè)信號(hào)的處理能力。

圖2　均方根誤差隨信噪比變化曲線

實(shí)驗(yàn)2結(jié)合QR分解的實(shí)值算法驗(yàn)證與分析。

如圖3所示，本文算法（Real SR+QR）采用QR分解進(jìn)行信號(hào)降維及能量累計(jì)，具有抑制噪聲的作用，估計(jì)誤差變小，因此改善了傳統(tǒng)稀疏表示DOA估計(jì)算法的適用范圍，提高低信噪比環(huán)境下的算法性能，并且明顯降低了計(jì)算量，減少了運(yùn)算時(shí)間，最多節(jié)省15%的時(shí)間，如表1所示。（運(yùn)行環(huán)境：臺(tái)式機(jī)；Windows XP SP3；Intel Core2 Quad CPU；2GB內(nèi)存；Matlab版本為R2008a；仿真次數(shù)為500次。）

圖3　均方根誤差隨信噪比變化曲線

表1　不同采樣間隔下算法平均耗時(shí)（秒）

4　結(jié)　論

稀疏表示DOA估計(jì)［16-17］算法具有可直接處理相干信號(hào)、估計(jì)精度高等優(yōu)點(diǎn)，但是對(duì)陣元個(gè)數(shù)要求高、低信噪比時(shí)估計(jì)性能較差。本文提出一種基于實(shí)值信號(hào)特點(diǎn)的稀疏表示DOA估計(jì)算法，仿真實(shí)驗(yàn)證明，構(gòu)造的實(shí)值稀疏模型使可用的陣元個(gè)數(shù)加倍，提高了算法估計(jì)精度；QR分解改善低信噪比下的算法性能；算法運(yùn)行在實(shí)數(shù)域，減小了算法計(jì)算量。

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An improved DOA estimation algorithm with sparse representation

ZHAO Hong-wei，LIU Bo，LIU Heng
（Xi'an Institute of Space Radio Technology，Xi'an 710100，China）

Though the direction of arrival（DOA）estimation with sparse representation has high resolution，its computational load is too much and is not suitable for real-time processing in practical system.A DOA estimation algorithm with sparse representation based on the property of real signal sources is proposed to settle the problem.First，the corresponding DOA model is constructed and the numbers of available sensors is doubled based on the array data model of real signals.Then，the orthogonal triangular（QR）decomposition is used to improve the estimation performance at low SNR.Finally，the direction estimation was obtained by orthogonal matching pursuit algorithm.The results of simulation experiments show that the proposed algorithm is suitable for real-time processing and has low estimation error.Therefore，there is much application prospect in practical system engineering.

direction of arrival estimation；sparse representation；orthogonal triangular decomposition；orthogonal matching pursuit

TN911

A

1674－6236（2016）09-0133-03

2015-11-05稿件編號(hào)：201511052

國(guó)家自然科學(xué)基金（61201089）

趙宏偉（1982—），男，山東濰坊人，博士研究生。研究方向：空間譜估計(jì)。