陳菊芳，華　影，于東瑩

(東北師范大學(xué) 物理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

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文氏橋混沌電路的設(shè)計(jì)與實(shí)驗(yàn)

陳菊芳，華影，于東瑩

(東北師范大學(xué) 物理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

從輸入導(dǎo)納的角度對(duì)文氏橋電路進(jìn)行了分析，得到該電路作為正弦波振蕩電路和LC選頻電路需要滿足的條件. 將文氏橋電路與非線性電路組合，設(shè)計(jì)出文氏橋電路在不同工作模式下的混沌電路，產(chǎn)生具有寬頻譜的多種混沌信號(hào).

文氏橋電路；非線性電路；混沌

目前，混沌理論已被列為大學(xué)物理教學(xué)內(nèi)容[1-4]，利用電路實(shí)驗(yàn)演示混沌現(xiàn)象對(duì)于混沌理論的教學(xué)具有十分重要的輔助作用. 文氏橋正弦波振蕩器是一種經(jīng)典的RC振蕩器，是本科學(xué)生必須掌握的內(nèi)容. 大多數(shù)電子線路教材[5-6]利用正反饋的概念和RC選頻網(wǎng)絡(luò)的頻率特性來(lái)解釋振蕩器的工作過(guò)程. 除此之外，還有其他的分析方法被提出，如電橋平衡法[7]、解微分方程法[8]等，這些分析方法均從不同角度分析了振蕩過(guò)程及振蕩條件，但這些方法只適用于分析文氏橋電路處于正弦振蕩工作模式下的工作過(guò)程. 實(shí)際上，文氏橋電路除了作為振蕩器能產(chǎn)生單頻正弦波信號(hào)外，還可以作為其他功能電路使用，如LC選頻電路. 本文從導(dǎo)納的角度給出文氏橋電路作為正弦波振蕩電路和LC選頻電路需要滿足的條件，分析方法簡(jiǎn)單，易于學(xué)生理解. 在不同工作模式下文氏橋電路分別與非線性電路耦合，產(chǎn)生具有寬頻譜的混沌信號(hào)，擴(kuò)展了文氏橋電路的應(yīng)用范圍. 實(shí)驗(yàn)均采用普通的電子元器件，演示的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象豐富，適用于實(shí)驗(yàn)教學(xué)或?qū)W生科研.

1　文氏橋電路分析

圖1　文氏橋電路

Y(S)=[S2R2R3RbC2C3+S(R3RbC3+R2RbC2-R2RaC3)+Rb]/[R2Rb(SR3C3+1)].

(1)

根據(jù)式(1)，討論2種特殊情況，即在實(shí)際應(yīng)用中最常使用的2種形式：

1) 若選取電路參量使得Y(S)=0，即

(2)

說(shuō)明電路既不從電源吸收能量，也不向外電路提供能量，此時(shí)電路產(chǎn)生了等幅正弦自激振蕩. 令S=jω，由式(2)可以得到電路的振蕩頻率為

振幅平衡條件為

特別地，通常選取R2=R3=R，C2=C3=C，得到

與教材[5-6]中的結(jié)論完全一致.

2)當(dāng)選取電路參量滿足條件R3Rb=R2Ra時(shí)，由式(1)可得

(3)

由式(3)可以看出，從a和b兩端看，文氏橋電路等效為如圖2所示的LC選頻電路，其中等效電感L=R2R3C3，此時(shí)文氏橋電路不能產(chǎn)生正弦波振蕩.

圖2　LC等效電路

2　文氏橋混沌電路的設(shè)計(jì)

如果將文氏橋電路與非線性電路耦合連接，只要電路結(jié)構(gòu)和參量選擇合適，就可產(chǎn)生具有豐富動(dòng)力學(xué)行為和寬頻譜的混沌信號(hào). 本文設(shè)計(jì)的混沌電路如圖3(a)所示，其中非線性電路通過(guò)電阻R與運(yùn)放的同相端相連，設(shè)非線性電路的電流為iN，選取伏安特性的表達(dá)式為

(4)

(a) 混沌電路

(b)非線性電路圖3　文氏橋混沌電路

其中a<0,b<0,c>0. 實(shí)現(xiàn)非線性的電路如圖3(b)所示. 選取R7=R8，則運(yùn)放A3與二極管實(shí)現(xiàn)絕對(duì)值運(yùn)算的功能，乘積項(xiàng)由模擬乘法器實(shí)現(xiàn)，電路參量與式(4)中各系數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為

由圖3得到電路的狀態(tài)方程為

(5)

3　實(shí)驗(yàn)結(jié)果

通過(guò)對(duì)圖3所示電路的元件參量選取不同值，觀測(cè)電路所產(chǎn)生信號(hào)的不同動(dòng)力學(xué)行為.

3.1選取R2=R3，C2=C3的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

選取文氏橋電路參量：R2=R3=0.2 kΩ，C2=C3=100 nF，Rb=1.0 kΩ，實(shí)驗(yàn)中調(diào)節(jié)電阻Ra來(lái)觀測(cè)電路不同的混沌行為. 選取R=2 kΩ，C1=2 nF，非線性電路中的R4=1 kΩ，R9=4 kΩ，R10=1.8 kΩ，R11=8 kΩ，其他電阻值均為10 kΩ，

對(duì)應(yīng)于式(4)中a=-0.25 mS，b=-0.25 mS/V，c=0.056 mS/V2. 由示波器觀測(cè)到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示，圖4(a)與(b)為Ra=2.25 kΩ時(shí)的vC2-vC1的相圖及vC2的功率譜，可見(jiàn)圖4(a)為雙渦卷混沌吸引子(橫軸為vC1，縱軸為vC2)，圖4(b)功率譜中出現(xiàn)噪聲背景和寬頻譜的特征，反映出混沌運(yùn)動(dòng)具有確定系統(tǒng)的隨機(jī)性. 當(dāng)選取Ra=2.05 kΩ和Ra=1.94 kΩ時(shí)，觀測(cè)到單渦卷混沌吸引子和1周期相圖(橫軸為vC1，縱軸為vC2)分別如圖4(c)和4(d)所示.

(a) 雙渦卷混沌吸引子

(b) vC2的功率譜

(c) 單渦卷混沌吸引子

(d) 1周期圖4　實(shí)驗(yàn)結(jié)果

如果將圖3(a)電路中電阻R斷開(kāi)，當(dāng)Ra=2Rb=2.0 kΩ時(shí)，文氏橋電路產(chǎn)生等幅正弦振蕩，振蕩頻率為7.96 kHz;而在沒(méi)有穩(wěn)幅元件的條件下，Ra稍大于2.0 kΩ，運(yùn)放的輸出波形將產(chǎn)生非線性失真，Ra稍小于2.0 kΩ，運(yùn)放無(wú)輸出波形. 但是對(duì)于圖3所示的電路，若將非線性電路與文氏橋電路耦合，只要元件參量選擇合適，無(wú)論Ra大于2.0 kΩ還是小于2.0 kΩ，都能產(chǎn)生穩(wěn)定的混沌振蕩或周期振蕩波形. 由圖4(b)可見(jiàn)，當(dāng)電路處于混沌狀態(tài)時(shí)，輸出功率分布在基頻f0=7.2 kHz附近的較寬頻域內(nèi)，比文氏橋正弦波振蕩信號(hào)的頻率稍低.

3.2選取R2Ra=R3Rb的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

將文氏橋電路中的參量改為：R2=0.1 kΩ，R3=0.67 kΩ，Ra=10 kΩ，Rb=1.5 kΩ，C2=30 nF，C3=750 nF,由以上分析可知，文氏橋電路可用圖2所示的LC選頻電路等效，等效電感L=50 mH. 此時(shí)圖3電路可等效為廣義蔡氏電路，如圖5所示.

圖5　等效混沌電路

選取C1=2.5 nF，非線性電路中的R4=1 kΩ，R10=4.5 kΩ，R11=9.1 kΩ，其他電阻值均為10 kΩ，對(duì)應(yīng)于式(4)中a=-0.1 mS，b=-0.1 mS/V，c=0.022 mS/V2. 很顯然，實(shí)驗(yàn)中通過(guò)調(diào)節(jié)電阻來(lái)觀測(cè)電路不同的混沌行為比較方便.

圖6(a),(b)和(c)所示分別是當(dāng)R=4.96，5.08，5.22 kΩ時(shí)，實(shí)驗(yàn)得到的三渦卷、雙渦卷和單渦卷的混沌吸引子(橫軸為vC1，縱軸為vC2)，繼續(xù)增大電阻R的值，也可以觀測(cè)到2周期及1周期的波形.

(a) 三渦卷

(b) 雙渦卷

(c) 單渦卷圖6　vC2-vC1混沌吸引子

為了說(shuō)明實(shí)驗(yàn)結(jié)果的正確性，列出圖5電路的狀態(tài)方程：

(6)

根據(jù)式(6)，數(shù)值計(jì)算出了當(dāng)R=5.0 kΩ時(shí)的vC1與vC2的吸引子如圖7所示，顯然圖6(a)與圖7基本一致，進(jìn)一步證明了文氏橋電路與LC選頻電路的等效性.

圖7　數(shù)值計(jì)算的結(jié)果

根據(jù)蔡氏電路的特點(diǎn)，非線性電路也可以采用其他不同的形式，這需要電感等參量隨之改變，而利用文氏橋電路代替LC電路的優(yōu)點(diǎn)是：只要選取不同的電阻和電容值，即可獲得電路所需的不同值的等效電感，這尤其對(duì)非標(biāo)稱(chēng)電感的等效更具有實(shí)際意義.

如果改變文氏橋電路的參量，使其不滿足前面2種特殊條件，只要參量選擇合適，圖3電路仍然可以產(chǎn)生混沌信號(hào). 例如，選取R2=0.15 kΩ，R3=0.3 kΩ，Ra=3 kΩ，Rb=1 kΩ，C1=1.5 nF，C2=50 nF，C3=68 nF,其他參量保持不變，調(diào)節(jié)電阻R的阻值由小到大變化，仍然可觀測(cè)到電路出現(xiàn)不動(dòng)點(diǎn)、1周期、單渦卷混沌及雙渦卷混沌的變化.

圖8所示是當(dāng)R=1.82 kΩ和R=2.0 kΩ時(shí)由實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到的vC1(橫軸)與vC2(縱軸)的1周期和混沌相圖.

(a) 1周期

(b) 混沌吸引子圖8　vC2-vC1相圖

4　結(jié)束語(yǔ)

從輸入導(dǎo)納的角度對(duì)文氏橋電路進(jìn)行了分析，得到在不同工作模式下所需要的條件，推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)單，物理概念清晰. 將文氏橋電路與非線性電路相結(jié)合，構(gòu)成具有復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的混沌電路. 由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，對(duì)于同一電路結(jié)構(gòu)，電路參量不同，混沌電路的動(dòng)力學(xué)行為和吸引子形狀完全不同. 若改變電路中的其他元件值，仍能觀測(cè)到電路中呈現(xiàn)出的諸如周期、單渦卷及多渦卷等豐富的動(dòng)力學(xué)行為. 若將文氏橋電路與其他形式的非線性電路相耦合，也可構(gòu)成不同的混沌電路，這里不再贅述.

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[責(zé)任編輯：任德香]

DesignandexperimentofchaoticWienbridgecircuit

CHENJu-fang,HUAYing,YUDong-ying

(CollegeofPhysics,NortheastNormalUniversity,Changchun130024,China)

Weinbridgecircuitwasanalyzedbasedoninputadmittance,andtheconditionsassinusoidaloscillationcircuitandLCfrenquencyselectivecircuitwerederived.Variouschaoticcircuitsindifferentmodesweredesignedbymeansofnonlinearcircuits,differentchaoticsignalswithbroadbandpowerspectrawereproduced.

Wienbridgecircuit;nonlinearcircuit;chaotic

2016-03-30；修改日期：2016-04-18

東北師范大學(xué)教師教學(xué)發(fā)展基金項(xiàng)目(No.15B1XZJ018)

陳菊芳(1965-)，女，大連瓦房店人，東北師范大學(xué)物理學(xué)院副教授，博士，研究方向?yàn)榛煦缤?、控制及其?yīng)用.

O415.5

A

1005-4642(2016)08-0008-05