蔣　燕,楊喜陶

(湖南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院， 湘潭 411201)

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一類脈沖時(shí)滯模型的一致持久性

蔣燕,楊喜陶

(湖南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院， 湘潭 411201)

研究了一類非線性脈沖時(shí)滯Nicholson飛蠅模型的動(dòng)力學(xué)行為.通過利用比較原理來(lái)研究它的一致持久性，得到了該系統(tǒng)一致持久性的充分條件.

Nicholson飛蠅模型；一致持久性；脈沖；時(shí)滯

0　引　言

Nicholson飛蠅模型由于其理論和實(shí)際意義，已被廣泛研究[1].提出了修改后的Nicholson飛蠅模型

N′(t)=-δN(t)+pN(t-τ)e-rN(t-τ),t≥0

(1)

對(duì)(1)進(jìn)行推廣，許多學(xué)者研究了具有多個(gè)時(shí)滯的常微分方程

N′(t)=-δ(t)N(t)+

(2)

的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)[2-6].其中文獻(xiàn)[2,3]研究了非線性時(shí)滯Nicholson模型解的全局吸引性，文獻(xiàn)[4-6]對(duì)非線性時(shí)滯Nicholson模型正周期解的存在性進(jìn)行了深入的研究，獲得了非常多且非常精細(xì)的結(jié)果.文獻(xiàn)[6]研究了模型

的持久性與正周期解的存在性.但是，考慮到生物模型的實(shí)際情況，當(dāng)種群數(shù)量經(jīng)歷一個(gè)相對(duì)較長(zhǎng)的光滑變化過程后，由于收獲、放養(yǎng)、疾病等其他干擾作用以后，在一定的時(shí)刻種群數(shù)量會(huì)發(fā)生突變，由于突變過程同整個(gè)發(fā)展過程相比非常短暫，對(duì)這樣的生態(tài)系統(tǒng)就需要用具有脈沖作用的微分方程系統(tǒng)，即脈沖微分方程模型來(lái)描述和研究.由于脈沖微分方程較之相對(duì)無(wú)脈沖的微分方程更能準(zhǔn)確地描述生態(tài)系統(tǒng)中的很多現(xiàn)象.

基于此，我們將研究下面的非線性脈沖時(shí)滯微分方程

(3)

我們首先給出一些記號(hào)：對(duì)定義在R上的有界連續(xù)函數(shù)g，g*和g*分別表示：

且記

在本文中，用R+表示非負(fù)實(shí)數(shù)集，C+=C([-r,0],R+)是賦予通常最小上確界范數(shù)‖·‖的連續(xù)函數(shù)空間，記C+=C([-r,0],R+)設(shè)t0∈R,σ∈R，如果x(t)是定義在[-r+t0,σ)上的連續(xù)函數(shù)，定義xt∈C為xt(θ)=x(t+θ)，其中θ∈[-r,0].

考慮到模型的生物意義，我們只考慮正解，即考慮初始條件：

xt0=φ,φ∈C+,和φ0>0.

(4)

記x(t;t0,φ)為(3)滿足初始條件(4)的解.且令[t0,η(φ))是解x(t;t0,φ)的最大存在區(qū)間.

1　一致持久性

(5)

證明記x(t)=x(t;0,φ)，

由于x(0)=φ(0)>0，則?t∈[0,η)，x(t)>0.

事實(shí)上，若存在θ∈[0,η)，使當(dāng)t∈[0,θ)時(shí)，x(t)>0.而x(θ)=0，則當(dāng)t∈[0,θ)時(shí)

從而

令t→θ

矛盾.

若A0=φ(0)，此時(shí)η=t1，對(duì)t∈[0,t1]，(5)成立.

若A0>φ(0)，?η0∈[0,η)滿足x′(η0)≥0

由(3)得

從而有

故

從而

故

此時(shí)亦有η=t1且當(dāng)t∈[0,t1]時(shí)，(5)成立.設(shè)當(dāng)t∈(tk-1,tk]時(shí)(5)成立

與前面類似可證當(dāng)t∈(tk,ξ)時(shí)，x(t)>0

若Ak>x(tk)(1+λk)，設(shè)ηk∈(tk,ξ)滿足x′(ηk)≥0與前面類似可證x(ηk)≤M.

故有ξ=tk+1且?t∈(tk,tk+1]

x(t)

從而?t∈(tk-1,tk]，(5)成立.

引理2([7])設(shè)x(t)在R上有定義，且滿足

則

(6)

引理3設(shè)x(t)在R上有定義，且滿足

則

(7)

證明與引理2類似，從略.

定理1設(shè)

β0=min(M0，1)μ0>1

β1=max(M1，1)μ1<1

則系統(tǒng)(3)的解一致持久,其中μ1為引理1所給.

證明：?φ∈C+，記x(t)=x(t;0,φ)

由引理1知x(t)在[0,+∞)上有定義，且存在常數(shù)M(φ)>0，使?t≥0有

0

x(t)

由(3)知?t>T時(shí)，t≠tj,j=1,2,…

由引理2知當(dāng)t>T時(shí)設(shè)tk

則

從而，當(dāng)t>T時(shí)

從而

a≤max(M1,1)(b*+a)μ1=β1(b*+a)

可得

即

tn≥τ

往證當(dāng)n>N0時(shí)

(8)

當(dāng)n=N0+1時(shí)，若存在sn∈(tN0,tN0+1]

使an=x(sn)，則

x′(sn)≤0

從而

e-γj(sn)x(sn-τj(sn))

故

(9)

設(shè)sn-τj(sn)

從而有

x(sn)≥(1+λj0)(1+λj0+1)…

從而

故此時(shí)(8)成立.

設(shè)當(dāng)n=k>N0時(shí)(8)成立

則當(dāng)n=k+1時(shí)，考慮兩種情形

情形1若?sk∈(tk,tk+1]使ak+1=x(sk)

故(8)成立.

an≥min((1+λn-1)an-1,m)≥

min((1+λn-1)(1+λn-2)an-2,(1+λn-1)m,m)≥

(1+λn-1)m,m)≥min(M0aN0,M0m,m)

故

則?ε>0，存在T1>0，當(dāng)t>T1時(shí)

b-ε

(10)

由(3)知，當(dāng)t>0時(shí)

由引理3及(7)知，?t≥T1+τ

從而

(11)

由(9)知，當(dāng)s≥T1+τ時(shí)

(12)

由(11)與(12)知，當(dāng)t≥T+τ時(shí)

從而

由于b≠0，從而

注：當(dāng)λi≡0(i≥1)時(shí)，定理1的條件與文獻(xiàn)[6]的定理1的條件一樣，但是文獻(xiàn)[6]只證明了系統(tǒng)(3)的解是持久的，未說(shuō)明一致持久性.因此，在無(wú)脈沖情形下也推廣了文獻(xiàn)[6]定理1的結(jié)果.

2　應(yīng)用

在這一部分，將通過一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明之前的結(jié)論.

例對(duì)于如下脈沖時(shí)滯Nicholson飛蠅模型：

N(t-e4π+sint)e-e4π+|sint|N(t-e4π+sint)

N(t-e4π+cost)e-e4π+|cost|N(t-e4π+cost).

(13)

則：方程(13)具有一致持久性

證明：由(13)可得

γ1(t)=e4π+|sint|γ2(t)=e4π+|cost|

τ1(t)=e4π+sintτ2(t)=e4π+cost

根據(jù)定理1，有

β0=min(M0，1)μ0>1

β1=max(M1，1)μ1<1

滿足定理1的條件，從而方程(13)是一致持久的.

[1]GurneyWSC,BlyteSP,NisbetRM.Nicholson’sBlowfliesRevisited[J].Nature,1980，287:17-21.

[2]NicholsonAJ.AnOutlineoftheDynamicsofAnimalPopulations[J].Zool,1954(2):9-65.

[3]CookK,DriesscheVP,ZouX.InteractionofMaturationDelayandNonlinearBirthinPopulationandEpidemicModels[J].Math.Biol,1999，39:332-352.

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[7]宋新宇,郭紅建,師向云.脈沖微分方程理論及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2011.

TheUniformPersistenceofaKindofImpulsiveDelayModel

JIANGYan,YANGXi-tao

(Schoolofmathematics，HunanUniversityofScienceandTechnology,Xiangtan411201,China)

Inthispaper,westudythedynamicbehaviorsforaclassofnonlinearimpulsivedelayNicholson’sblowfliesmodels.Byusingthecomparisonprinciple,somesufficientconditionsthatguaranteetheuniformpersistenceofthemodelareobainted.

Nicholson’sblowfliesmodel;uniformpersistence;impulsive;delay

2015-06-18

湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015JJ2063).

蔣燕(1992-)，女，碩士研究生，研究方向：常微分方程.

0175.1

A

1671-119X(2016)01-0049-05