分形結(jié)構中流體流動及傳熱研究綜述*

分形理論于20世紀70年代被首次提出，用于描述不規(guī)則復雜結(jié)構，目前已在能源、化工、材料、地質(zhì)等領域得到廣泛應用，特別是分形結(jié)構中的流動與傳熱問題一直是國內(nèi)外關注的熱點課題。文中首先簡單概述了分形理論，在此基礎上從樹狀分形結(jié)構、多孔介質(zhì)、仿蜂巢結(jié)構以及翅片結(jié)構等方面闡述了分形結(jié)構在流動和傳熱領域的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，重點突出了分形結(jié)構對流動換熱起到強化作用這一研究主題。最后總結(jié)了分形理論在解釋自然存在的分形結(jié)構具有的優(yōu)越傳熱傳質(zhì)性能的優(yōu)越性，同時也展望了分形理論在設計構造更加優(yōu)越的散熱結(jié)構方面的前景。

分形；傳熱；流動；樹

引 言

流體的流動與傳熱現(xiàn)象[1]在自然界及生產(chǎn)生活中十分普遍。許多流動與傳熱現(xiàn)象發(fā)生在一些形狀不規(guī)則的復雜結(jié)構體內(nèi)，其內(nèi)部結(jié)構的隨機性使傳統(tǒng)研究方法受到極大的挑戰(zhàn)。然而，這些復雜結(jié)構體內(nèi)的流動與傳熱過程對生產(chǎn)生活的許多領域都具有重要的影響。如凍土層傳熱性能對于高原氣候環(huán)境下的道路鋪設以及房屋建造有著重大意義；人體血液的輸運特性對于人類的健康有著直接影響；航天材料的導熱系數(shù)不僅是航天工程中的重要參數(shù)，更是直接關系到航天材料的改進和優(yōu)化設計。因此，對于復雜結(jié)構體內(nèi)的流動與傳熱機理的研究，不僅有其自身的學術價值，而且在現(xiàn)實的工程應用中也有著極大的應用價值。

早期，人們對于復雜結(jié)構體內(nèi)流動與傳熱特性的研究大多建立在一些理想模型基礎上。Slichfer于1899年開始研究多孔介質(zhì)的孔隙度，并首先基于球堆模型計算出了孔隙度。1953年，Scheidegger通過研究多孔介質(zhì)結(jié)構滲流，總結(jié)得到一種毛細管模型。Hsu等研究了具有空間周期性分布的多孔介質(zhì)結(jié)構，并基

于三維點接觸模型計算得到其等效熱導率。施明恒等在對聚氨酯泡沫材料導熱性能研究過程中，提出了基于理想化的熱阻串聯(lián)模型。然而，由于歐幾里得幾何學在描述復雜形體結(jié)構上的局限性，上述文獻中的一些結(jié)論只是經(jīng)驗或者半經(jīng)驗性的，忽略了復雜形體的結(jié)構特性對流動和傳熱的影響，因而這些結(jié)論有許多限制條件，不具有普遍性。

由此可見，不規(guī)則復雜形體結(jié)構的精確描述和幾何重建依然是傳熱傳質(zhì)研究中亟需解決的一個重要難題。美國數(shù)學家Mandelbrot在20世紀70年代建立了分形幾何學這一門描述不規(guī)則結(jié)構的科學[2]，直至目前為止，分形幾何學仍是最符合描述不規(guī)則復雜形體的理論之一，且經(jīng)過幾十年的研究，分形理論已經(jīng)在醫(yī)學、土力學、地震學和技術分析等眾多學科中得到廣泛應用。尤其在復雜結(jié)構體內(nèi)的流動與傳熱領域，如多孔巖石中油氣的滲透、毛細芯吸液、填料塔中的流動，汽車尾氣的過濾，航天飛行器的防護以及建筑物外墻體的保溫等方面，分形結(jié)構有效地描述了復雜不規(guī)則物體的內(nèi)部結(jié)構形態(tài)，能夠更加真實地還原研究對象本身的結(jié)構特性，使得更加深刻地揭示復雜結(jié)構內(nèi)流動和傳熱過程的內(nèi)在機理成為可能。

1 分形理論概述

1.1 分形的誕生與定義

分形幾何學最先由美國數(shù)學家Mandelbrot 提出，用以定量描述復雜的不規(guī)則形體。 目前普遍認為，其在1967 年發(fā)表的《英國的海岸線有多長》一文中涉及的對自相似、不規(guī)則形貌結(jié)構的描述是分形理論的開端。1973 年，他提出了分形維數(shù)這一概念，在數(shù)學表達上直觀描述了復雜形體的不規(guī)則性，并于1975年正式論述了“分形”概念的基本內(nèi)涵。

此外，采用生物學家定義 “生命”的方法，即不尋求某概念的確切定義，而是將其看作具有某些共同特性的集合，分形也可以給出另一種定義方式。對于分形而言，這些性質(zhì)包括在任意小尺度下具有復雜的細節(jié)、具有自相似性、傳統(tǒng)幾何概念無法描述等。

1.2 分形的特征

分形具有2個重要特征：自相似性和無特征尺度。自相似性是指某種結(jié)構或過程的特征從不同的空間尺度或時間尺度來看都是相似的，或者某系統(tǒng)或結(jié)構的局域性質(zhì)或局域結(jié)構與整體類似。所謂的特征尺度，是指事物在空間或時間上具有的數(shù)量級體現(xiàn)。大量研究發(fā)現(xiàn)，特征尺度在自相似結(jié)構中無法得到體現(xiàn)。根據(jù)分形理論，分形結(jié)構需采用分形維數(shù)來量測，一方面，分形維數(shù)能夠很好地反映復雜形體的空間有效利用率[3]；另一方面，分形維數(shù)的采用，使得分形結(jié)構在數(shù)學層面上有了更好的直觀表述。Mandelbrot集、三分康托爾集、Koch雪花曲線和Julia集等是體現(xiàn)這些分形特征的重要模型。

康托爾集由德國數(shù)學家康托爾1883年引入。三分康托集構造簡單卻又最典型。其構造過程為：將區(qū)間[0,1]三等分，保留兩邊的兩段區(qū)間，再以這兩段各為區(qū)間[0,1]三等分，以此類推，不斷重復，最后剩下的各個區(qū)間線段即為三分康托集。

Koch曲線由瑞典數(shù)學家柯赫于1904年提出，其形貌看似雪花，又被稱為Koch雪花曲線。其構造方法如圖1所示，由一個等邊三角形開始，每次演變都是將圖形中三角形每條邊所在線段的中間三分一移除，并向外補充2條線段得到一個向外突出的等邊三角形，以此重復，構成Koch曲線。

圖1 Koch曲線

Julia 集是由法國數(shù)學家Gaston Julia 和Pierre Faton 在發(fā)展了復變函數(shù)迭代的基礎理論后獲得的。Julia 集也是一個典型的分形，只是在表達上相當復雜，難以用古典的數(shù)學方法描述。

Julia集表達為f(z)=z2+c這一復變函數(shù)，式中c為常數(shù)。圖2為不同c值生成的Julia集合分形圖。

圖2 Julia集

2 分形結(jié)構中流動與傳熱的國內(nèi)外研究

2.1 樹狀微通道

樹狀模型在生活中屢見不鮮，如樹木、河流等，這些皆是自然界中真實存在的物體，因而樹狀叉形結(jié)構必有其存在的合理性與必要性。正是這些實體以最適宜的姿態(tài)呈現(xiàn)，啟發(fā)我們對分形結(jié)構進行思考。樹狀叉形結(jié)構作為分形理論在傳熱上應用的一個重要分支，受到了越來越多的關注，國內(nèi)學者對樹形叉狀結(jié)構應用的研究也越來越多，主要是結(jié)合仿生的理念制作樹形模型，并且取得了很多進展。

文獻[4-5]對分形微管道散熱器進行了實驗研究，獲得了散熱器內(nèi)流體流動的壓降及其傳熱效果，實驗用的分形微管道結(jié)構具有與哺乳動物消化系統(tǒng)和血液循環(huán)系統(tǒng)物質(zhì)輸送、分配結(jié)構類似的分形特征。研究結(jié)果表明：當接觸面積、導熱溫差及沿程Nusselt數(shù)均相同時，相較于平行微管道陣列散熱器，分形微管道網(wǎng)絡散熱器熱量傳遞效率更加優(yōu)越，溫度分布也更加均勻。此外，這些文獻還研究了分形維數(shù)對分形微管散熱器傳熱效率的影響，根據(jù)實驗結(jié)果，散熱器內(nèi)部結(jié)構分形維數(shù)越高，熱量傳遞效率也越高。

文獻[6-8]對分形樹狀結(jié)構通道換熱器內(nèi)流體的流動及傳熱特性進行了一系列研究。針對橫截面為矩形的樹狀通道，通過數(shù)值模擬方法獲得了其內(nèi)部流體的流動及其換熱情況，重點討論了樹狀微通道內(nèi)部的沿程壓降、傳熱特性以及換熱器表面的溫度分布情況等。如圖3所示，通過樹狀通道換熱器的性能與傳統(tǒng)蛇形通道對比，獲得以下結(jié)論：在流體進口流速相同的條件下，具有分形樹狀通道的換熱器受熱面最大溫差遠遠低于蛇形通道換熱器，熱有效性大約是蛇形通道換熱器的3倍。

圖3 分形樹狀微通道結(jié)構示意圖[6-8]

文獻[9]使用CFD方法研究了多層分形的微通道網(wǎng)絡嵌入熱沉后的傳熱流動特性。根據(jù)模擬結(jié)果，具有多層分形結(jié)構的微通道具有總壓降低、最高溫度低和溫度分布均勻等優(yōu)越性。2014年，又對樹形微通道進行了進一步的研究，通過仿生幾種典型的樹葉，對這些樹葉微觀結(jié)構進行參數(shù)測量，建立了與樹葉結(jié)構類似的樹形微通道熱沉模型，并通過數(shù)值模擬研究了不同分形級數(shù)雙層微通道內(nèi)的流體流動及傳熱特性，獲得了樹形微通道結(jié)構的最佳分形級數(shù)[10]，即并非通道分形級數(shù)越多，熱沉的傳熱效果就越好。根據(jù)模擬結(jié)果，7級分形結(jié)構的微通道的均溫性及其冷卻效果達到最佳。

2.2 多孔介質(zhì)

多孔介質(zhì)是一類包含孔隙結(jié)構的材料，通常由固體骨架和骨架間多孔結(jié)構構成，孔隙一般充滿空氣、水等流體物質(zhì)。多孔介質(zhì)內(nèi)流體的流動與傳熱現(xiàn)象在能源、生物醫(yī)學、材料、化工等領域具有廣闊的工程應用前景，因此對多孔介質(zhì)內(nèi)傳熱傳質(zhì)機理的研究已成為工程熱物理領域的熱點前沿之一。

經(jīng)過幾十年的研究，分形理論已經(jīng)被廣泛應用到多孔介質(zhì)內(nèi)的各種傳熱傳質(zhì)現(xiàn)象中。文獻[11]將分形理論應用到多孔介質(zhì)傳熱傳質(zhì)模型中，基于分形理論，在對多孔介質(zhì)結(jié)構重構再造的基礎上，計算求解了多孔介質(zhì)結(jié)構的固有滲透率和介質(zhì)的有效導熱系數(shù)，并以此建立了多孔介質(zhì)滲流與導熱的分形模型。

文獻[12]參考分形幾何學原理，構建了幾種具有典型孔隙分布特征的Sierpinski毯結(jié)構模型，這些結(jié)構具有相同的分形維數(shù)，用以模擬真實的多孔介質(zhì)結(jié)構。基于這些人造多孔介質(zhì)，該文獻進行了相關的傳熱性能研究。研究結(jié)果表明，不同結(jié)構的分形多孔模型中的溫度和熱流分布各不相同，但其分布在空間及其時間上都具有一定的相似性。根據(jù)這一分布特點，該文獻提出了一個新的通用模型用以計算多孔介質(zhì)的有效導熱系數(shù)。

文獻[13]則針對多孔介質(zhì)結(jié)構中的輸運特性，首先總結(jié)了Pitchuman所給模型中的不足，接著根據(jù)分形基本理論，相對完善地推導計算了分形多孔介質(zhì)模型的滲透率。同時還將分形幾何理論應用到生物多孔介質(zhì)的熱輸運問題中，結(jié)合生物多孔結(jié)構傳熱傳質(zhì)特性，計算了生物多孔介質(zhì)的有效熱導率[14]。

2.3 仿蜂巢

自然界中除樹狀結(jié)構外，還存在著很多具有分形特征的結(jié)構，蜂巢結(jié)構就是其中之一。蜂巢結(jié)構組成單元為正六邊形結(jié)構，這種結(jié)構不僅節(jié)省材料，有效空間利用率也高且最穩(wěn)固。而蜂巢具有的這種正六邊形分布特點的結(jié)構，可以很好地應用于電子芯片散熱。

文獻[15]仿照蜂巢結(jié)構，構建了一種仿蜂巢結(jié)構的分形微管道網(wǎng)，并對該結(jié)構中流體的流動和換熱進行了實驗研究，通過對比平行陣列微熱管結(jié)構換熱器，在換熱器受熱面積、傳熱溫差、Nusselt數(shù)等條件相同的前提下，分形層數(shù)越大，仿蜂巢分形微管道網(wǎng)絡換熱器的換熱能力增幅就越明顯。相應地，在忽略仿蜂巢結(jié)構內(nèi)通道的分流、合流效應的前提下，這種仿蜂巢結(jié)構的分形微管道網(wǎng)絡換熱器較平行陣列微管道換熱器所需的泵送功率也小得多。

文獻[16]采用仿蜂巢微通道分叉結(jié)構，對甲醇蒸汽制氫的重整催化過程進行了一系列研究，并通過數(shù)值模擬和實驗2種途徑獲得了甲醇蒸汽在仿蜂巢結(jié)構分叉微通道內(nèi)的催化反應過程，并與平行陣列微通道進行對比。結(jié)果表明，由于仿蜂巢分叉微通道結(jié)構各個通道的分、匯，通道的有效換熱面積遠大于平行陣列微通道，這樣重整室的有效吸熱量得到明顯提升。且由于流體在仿蜂巢結(jié)構分叉微通道內(nèi)受到分流、合流影響，整個反應設備的溫度分布較平行陣列微通道更加均勻，且最大溫差也遠小于平行陣列微通道反應器。

2.4 翅片結(jié)構

太陽能利用過程傳熱效率低下的問題，使得儲存太陽能的潛熱儲能設備儲存不能吸收儲存足夠多的太陽能供人們使用。

為了解決這一問題，文獻[17]應用分形理論，對現(xiàn)有的圓柱形潛熱儲能設備進行了改造，在圓柱形潛熱儲能設備的內(nèi)管上加裝了翅片，并對翅片的數(shù)量和分布對于儲能設備的傳熱效率進行了定量研究，并給出了傳熱的最佳表面，即翅片的合理布局。

文獻[18-20]都對給定表面積的多孔翅片對于傳熱性能的加強進行了定量的研究，證明了多孔翅片相對于傳統(tǒng)的翅片，大大提高了傳熱性能。同時文獻[21]也發(fā)明了一種簡易的方法來分析多孔翅片在自然流動下的表現(xiàn)。

文獻[22]應用構型理論比較了T型多孔翅片和固體翅片在對流傳熱情況下的傳熱效率以及翅片表面性能。通過分解不同的區(qū)域，解決了在翅片主干和凸緣部分建立控制方程的問題。通過這個方法，還可以輕松得到溫度分布和翅片表面性能的顯式分析解。研究結(jié)果表明，盡管翅片表面性能有略微的降低，但是在同樣的幾何形狀、同樣的對流環(huán)境下，其傳熱性能獲得了加強。

文獻[23]研究了相變儲能中融化的S曲線(由于在相變儲能設備中，融化相變儲能材料的量與時間的關系圖像S一樣，因此稱其為S曲線)。在相變儲能設備中，通過將熱量沿著樹狀結(jié)構傳遞，可以更加有效地將熱量傳遞給相變儲能材料，并由此提高其傳熱效率。通過對固液相變材料融化特性的研究表明，不管是二維還是三維結(jié)構，當增加樹狀結(jié)構的復雜度時，相變材料的融化時間變短，即提高樹狀結(jié)構維數(shù)有利于強化固液相變傳感性能。

2015年，文獻[24]又在之前理論的基礎上對T型樹狀結(jié)構進行了改造，變?yōu)閅型，并研究了Y型最佳的角度，提高了傳熱性能，如圖4所示。

此外，文獻[25]還通過一個數(shù)值模型來考慮系統(tǒng)的熱行為，使用計算流體力學模型和響應面法來組合優(yōu)化有一兩個分支的Y型散熱片的幾何結(jié)構。研究結(jié)果表明，經(jīng)過優(yōu)化的單元增加了24%的系統(tǒng)效率。

圖4 T型樹狀結(jié)構與Y型結(jié)構傳熱性能對比[25]

3 結(jié)束語

本文對分形理論的產(chǎn)生和發(fā)展進行了相對系統(tǒng)的介紹，對其定義、重要特征、研究歷史以及實際應用進行了梳理和總結(jié)。在此基礎上，綜述了近年來國內(nèi)外對分形結(jié)構中流體的流動與傳熱特性研究。一方面，分形理論在樹形、叉狀結(jié)構微通道、多孔介質(zhì)、仿蜂巢結(jié)構中的應用，為更好地解釋這些自然存在的分形結(jié)構具有的優(yōu)越傳熱傳質(zhì)性能提供了理論依據(jù)；另一方面也為設計構造更加優(yōu)越的散熱結(jié)構(如分形翅片結(jié)構等)指明了方向。

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徐依釩(1995-)，女，主要研究方向為熱能與動力工程。

張程賓(1983-)，男，博士，副教授，主要研究方向為微尺度傳熱傳質(zhì)學。

Review on Fluid Flow and Heat Transfer in Fractal Structures

XU Yi-fan，ZHENG Wei-jia，SHAN Ming-sen，MEI Zi-wei，LIU Xin-ya，ZHANG Cheng-bin

(SchoolofEnergyandEnvironment,SoutheastUniversity,Nanjing210096,China)

Fractal theory was initially proposed in 1970s for describing irregular and complex structures. With the development of science and technology, fractal structure has been widely used in energy, chemical industry, materials and geology etc. nowadays. Particularly, the fluid flow and heat transfer in fractal structure have gradually become a hotspot around the world. First of all, this paper summarizes fractal theory briefly. Then, this paper focuses on the research status in terms of the application of fractal geometry in heat and fluid flow at home and abroad, including tree-like structure, porous media, honeycomb structure and fin structure. And based on the important research mentioned above, discussion is put forward to the enhancement of fluid flow and heat transfer by the use of fractal structure. Finally, it is summarized that fractal theory brings a better way to explain the excellent heat and mass transfer performance of natural fractal structure and is promising in the optimization of heat dissipation structure design.

fractal; heat transfer; fluid flow; tree

2016-07-20

國家自然科學基金資助項目(51306033)；江蘇省自然科學基金資助項目(BK20130621)

徐依釩，鄭偉佳，單明森，梅紫薇，劉鑫雅，張程賓

(東南大學能源與環(huán)境學院， 江蘇 南京 210096)

TK124

A

1008-5300(2016)04-0011-05