葛　琦， 侯成敏

( 延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉　133002 )

?

一類帶有參數(shù)的分?jǐn)?shù)階差分方程邊值問題正解的存在性和不存在性

葛琦， 侯成敏

( 延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002 )

研究一類帶有參數(shù)的分?jǐn)?shù)階差分方程正解的存在性和不存在性。首先,分析該方程的格林函數(shù)的一些性質(zhì);然后,利用Banach空間錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理和Krasnosel'skii不動(dòng)點(diǎn)定理,證明當(dāng)參數(shù)屬于不同范圍時(shí),該方程正解的存在性;最后,利用反證法,證明當(dāng)參數(shù)屬于不同范圍時(shí),該方程正解的不存在性。

Green函數(shù)； 不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理； 不動(dòng)點(diǎn)定理； 不存在性

0　引言

近年來,隨著分?jǐn)?shù)階差分方程理論研究的深入,關(guān)于分?jǐn)?shù)階差分方程解的存在性研究取得很大進(jìn)展[1-17]。大多數(shù)文獻(xiàn)在研究帶有參數(shù)的分?jǐn)?shù)階差分方程邊值問題時(shí),只討論正解的存在性[13,15-16],而關(guān)于其正解的不存在性的研究相對(duì)較少[17]。如2001年，Goodrich C S[13]研究成對(duì)的離散分?jǐn)?shù)階邊值問題

正解的存在性,但未討論正解的不存在性,其中,t∈[0,b]N0,1<νi≤2,λi>0,ai:R→(0,∞),Φi,Ψi:Rb+3→R是給定的泛函,fi:[0,+∞]×[0,+∞)?[0,+∞)是連續(xù)函數(shù),i=1,2。

Kang Shugui等[16]于2014年研究階數(shù)在(1,2]內(nèi)的分?jǐn)?shù)階差分方程

正解的存在性,其中,1<ν≤2,t∈[0,b]N0，參數(shù)λ>0,f:[0,+∞)→[0,+∞)是連續(xù)函數(shù),Φ,Ψ:Rb+3→R是給定的線性泛函,h:[ν-1,ν+b-1]Nν-1→[0,∞)。利用Krasnosel'kii不動(dòng)點(diǎn)定理建立正參數(shù)λ屬于不同區(qū)間時(shí),方程存在一個(gè)正解和至少存在2個(gè)正解的充分條件,但對(duì)于正解的不存在性,文獻(xiàn)沒有討論。

Han Zhenlai等[17]于2014年研究階數(shù)在(1,2]內(nèi)的分?jǐn)?shù)階差分方程

正解的存在性和不存在性,其中,1<ν≤2,t∈[0,b+1]N,λ是參數(shù),f:[ν-1,ν+b]Nν-1×R→(0,+∞)是連續(xù)函數(shù)。也是利用Krasnosel'kii不動(dòng)點(diǎn)定理,建立參數(shù)屬于不同區(qū)間時(shí),方程至少存在一個(gè)正解的充分條件,再利用反證法建立方程不存在正解的充分條件。

由于研究分?jǐn)?shù)階差分方程邊值問題正解不存在性的文獻(xiàn)相對(duì)較少，并且對(duì)于帶有參數(shù)的分?jǐn)?shù)階差分方程,研究參數(shù)λ屬于不同區(qū)間時(shí),正解的存在性和不存在性具有一定的實(shí)際意義。筆者研究階數(shù)在(2,3]內(nèi)的分?jǐn)?shù)階差分方程

(1)

其中,2<ν≤3,0≤α,β<1,ν-β>2,參數(shù)λ>0,η∈[0,T-1]N0且滿足下列條件：

(D1)f:[0,+∞)→[0,+∞)是連續(xù)函數(shù);

(D2)g:[ν-1,T+ν-1]Nν-1→[0,+∞)，且不恒為0。

首先將分別利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理和Krasnosel'skii不動(dòng)點(diǎn)定理,建立當(dāng)參數(shù)屬于不同區(qū)間時(shí),分?jǐn)?shù)階差分方程式(1)至少存在一個(gè)正解或2個(gè)正解的充分條件;再利用反證法建立方程式(1) 正解不存在的充分條件。

記Nα∶={a,a+1,a+2,…},[a,b]N0∶={a,a+1,a+2,…b}(b-a∈N1)。

1　預(yù)備知識(shí)

定義1[15]對(duì)于ν>0,函數(shù)f的ν階分?jǐn)?shù)和定義,有

對(duì)于N∈N,0≤N-1<ν≤N,函數(shù)f的ν階分?jǐn)?shù)差分定義有Δνf(t)=ΔNΔν-Nf(t)(t∈Na+N-ν)。

引理1[15]設(shè)N∈N,0≤N-1<ν≤N,那么Δ-νΔνy(t)+C1tν-1+C2tν-2+…+CNtν-N(Ci∈R,1≤i≤N)。

(A1)‖Sw‖≤‖w‖,w∈P∩?Ω1;‖Sw‖≥‖w‖,w∈P∩?Ω2;

(A2)‖Sw‖≥‖w‖,w∈P∩?Ω1;‖Sw‖≤‖w‖,w∈P∩?Ω2。

關(guān)于分?jǐn)?shù)階差分理論的相關(guān)基本概念和性質(zhì)見文獻(xiàn)[7-16]。

2　Green函數(shù)及其性質(zhì)

定理1設(shè)2<ν≤3,0≤α,β<1,ν-β>2,η∈[0,T-1]N0,h(t+ν-1)∶[ν-1,T+ν-1]Nν-1→[0,+∞),則與方程式(1)有相同邊值條件的方程

(2)

的唯一解是

(3)

這里記

(4)

(5)

證明由引理1有

由邊值條件x(ν-3)=0得出C3=0。由于

則由邊值條件[Δβx(t)]|t=ν-β-2=0,得出C2=0。再由邊值條件x(T+ν)=αx(η+ν),得

由此知式(3)成立。

證明當(dāng)0≤max{η+1,t-ν+1}≤s≤T時(shí),記G(t,s)=g1(t,s); 當(dāng)0≤η+1≤s

當(dāng)0≤s

由G(t,s)的定義知,對(duì)于(t,s)∈[ν-1,T+ν-1]Nν-1×[0,T]，有

當(dāng)0≤η+1≤t-ν+1≤s≤T時(shí),g1(t,s)>ρφ(s)顯然成立。所以性質(zhì)成立。

注1由定理2.2知,方程式(2)有解x(t)≥0,t∈[ν-3,T+ν]Nν-3。

3　正解的存在性

由定理1知,求方程式(1)的解,等價(jià)于求方程

的解。先定義Banach空間B,即

并且范數(shù)為‖x‖=max|x(t)|,t∈[ν-3,T+ν-1]Nν-3。

定義B上的錐P0和P,即

定義算子A:B→B,即

(6)

x是方程式(1)的解,當(dāng)且僅當(dāng)x是算子A的不動(dòng)點(diǎn)。由于算子A是離散的有限集上的和算子,所以A是平凡完全連續(xù)算子。

引理6假設(shè)條件(D1)和(D2)成立,那么對(duì)于?x∈P0有Ax∈P,特別,算子A是錐P到P上的映射。

證明對(duì)于?x∈P0,由定理2.1和條件(D1),有(Ax)(t)≥0(t∈[ν-1,T+ν-1]Nν-1)。由定理2.2的知‖Ax‖。所以,對(duì)于?x∈P有Ax∈P成立。

為了方便,記

(7)

定理3假設(shè)條件(D1)和(D2)成立,且f∞>0,f0<∞,N/f∞

證明對(duì)于?λ∈(N/f∞,M/f0),由f00,當(dāng)0

對(duì)于?x∈P∩?Ω1,當(dāng)0<μ≤1,‖x‖=R時(shí),有μAx≠x。

(8)

產(chǎn)生矛盾。因此，根據(jù)引理4有

(9)

注2如果f∞=∞,那么記N/f∞=0;如果f0=0,那么記M/f0=∞。定理3包含N/f∞=0,M/f0=∞的情形。

定理4假設(shè)條件(D1)和(D2)成立,且f0>0,f∞<∞,N/f0

由類似于定理3的證明可得,對(duì)于?x∈P∩?Ω3,當(dāng)0<μ≤1,‖x‖=R3時(shí),有μAx≠x。因此，算子滿足引理4的條件,根據(jù)引理4有

(10)

另一方面,由N/f0<λ及f0的定義,存在常數(shù)R4(00使得(N+ε4)/λ

(11)

注3如果f0=∞,那么記N/f0=0;如果f∞=0,那么記M/f∞=∞。定理4包含N/f0=0、M/f∞=∞的情形。

注4由式(7)知，如果f∞N2>f0N1成立，那么當(dāng)λ∈(1/(f∞N2)、1/(f0N1))時(shí)，定理3成立；如果f0N2>f∞N1成立，那么當(dāng)λ∈(1/(f0N2),1/(f∞N1))時(shí)，定理4成立。

定理5假設(shè)條件(D1)和(D2)成立,且存在2個(gè)不同的正數(shù)r1、r2，使得

那么方程式(1)有一個(gè)解x∈P,且滿足min{r1,r2}≤‖x‖≤max{r1,r2}。

證明設(shè)Ω5={x∈P0:‖x‖

另外，設(shè)Ω6={x∈P0:‖x‖

由引理5知方程式(1)有一個(gè)正解x∈P,且滿足min{r1,r2}≤‖x‖≤max{r1,r2}。

記

(12)

根據(jù)條件(D1)和(H1),有0<λ1≤+∞和0≤λ2<+∞。

定理6假設(shè)條件(D1)、(D2)和(H1)成立,如果f0=+∞和f∞=+∞,那么對(duì)于?λ∈(0,λ1),方程式(1)至少有2個(gè)正解。

因此有

(13)

(14)

另外,由條件f0=+∞和f∞=+∞知,存在常數(shù)n1、n2(0

(15)

(16)

由式(13)和式(15)、式(14)和式(16)及定理5知，對(duì)于?λ∈(0,λ1),方程式(1)至少有2個(gè)正解。

推論1假設(shè)條件(D1)、(D2)和(H1)成立,如果f0=+∞或f∞=+∞,那么對(duì)于?λ∈(0,λ1),方程式(1)至少有一個(gè)正解。

定理7假設(shè)條件(D1)、(D2)和(H1)成立,如果f0=0和f∞=0,那么對(duì)于?λ∈(λ2,+∞),方程式(1)至少有2個(gè)正解。

(17)

(18)

另外,由條件f0=0知,存在常數(shù)d3(0

(19)

(20)

由式(17)和式(19)、式(18)和式(20)及定理5知,對(duì)于?λ∈(λ2,+∞),方程式(1)至少有2個(gè)正解。

推論2假設(shè)條件(D1)、(D2)和(H1)成立,如果f0=0或f∞=0,那么對(duì)于?λ∈(λ2,+∞),方程式(1)至少有一個(gè)正解。

4　正解的不存在性

首先建立方程式(1)不存在正解的充分條件。

定理8假設(shè)條件(D1)、(D2)和(H1)成立,如果f0<+∞和f∞<+∞,那么存在λ0>0,使得對(duì)于?λ∈(0,λ0)，方程式(1)不存在正解。

證明由于f0<+∞和f∞<+∞,那么存在正數(shù)l1,l2,r3和r4,使得r3

產(chǎn)生矛盾,所以方程式(1)不存在正解。

定理9假設(shè)條件(D1)、(D2)和(H1)成立,如果f0>0和f∞>0,那么存在λ0>0,使得對(duì)于?λ∈(λ0,+∞),方程式(1)不存在正解。

證明由于f0>0和f∞>0,那么存在正數(shù)l3、l4、r5和r6,使得r5

產(chǎn)生矛盾,所以方程式(1)不存在正解。

5　結(jié)束語

利用Banach空間錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理和Krasnosel'skii不動(dòng)點(diǎn)定理,研究一類帶有參數(shù)的分?jǐn)?shù)階差分方程正解的存在性,利用反證法研究該方程正解的不存在性。分別建立當(dāng)參數(shù)屬于不同區(qū)間時(shí),該方程存在正解和不存在正解的充分條件。

[1]Goodrich C S. Existence and uniqueness of solutions to a fractional difference equation with nonlocal conditions [J]. J.Comput. Math. Appl, 2011,61(2):191-202.

[2]Goodrich C S. On a fractional boundary value problem with fractional boundary conditions [J]. Appl Math Lett, 2012,25(8):1101-1105.

[3]Goodrich C S. Solutions to a discrete right-focal boundary value problem [J]. Int. J. Difference Equ, 2010,5(2):195-216.

[5]Goodrich C S. On discrete sequential fractional boundary value problems [J]. J. Math. Anal. Appl, 2012,385(1):111-124.

[6]Goodrich C S. Existence of a positive solution to a system of discrete fractional boundary value problems [J]. J. Applied Mathematics and Computation, 2011,217(9):4740-4753.

[7]張瑜,孫明哲,何延生.一類分?jǐn)?shù)階差分方程解的吸引性[J].延邊大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,38(2):95-99.

Zhang Yu, Sun Mingzhe, He Yansheng. Atrractivity of a class of fractional difference equations [J]. Journal of Yanbian University: Natural Science, 2012,38(2):95-99.

[8]葛琦,侯成敏.一類分?jǐn)?shù)階差分方程邊值問題多重正解的存在性[J].東北石油大學(xué)學(xué)報(bào),2012,36(4):101-110.

Ge Qi, Hou Chengmin. Existence of multiple positive solutions for a class of fractional difference equations boundary value problems [J]. Journal of Northeast Petroleum University, 2012,36(4):101-110.

[9]葛琦,侯成敏.一類分?jǐn)?shù)階差分方程邊值問題遞增正解的存在性[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2013,51(1):47-52.

Ge Qi, Hou Chengmin. Existence of positive and nondecreasing solution for a class of fractional difference equations boundary value problems [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2013,51(1):47-52.

[10]慎闖,何延生.一類帶有分?jǐn)?shù)階非局部邊值條件的分?jǐn)?shù)階差分方程解的存在性[J].煙臺(tái)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)與工程版,2013,26(2):90-96.

Shen Chuang, He Yansheng. Existence of solutions for a class of fractional difference equation with nonlocal fractional boundary conditions [J]. Journal of Yantai University: Natural Science and Engineering Edition, 2013,26(2):90-96.

[11]慎闖,何延生,侯成敏.一類有序分?jǐn)?shù)階差分方程解的存在性[J]. 揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,16(1):12-16.

Shen Chuang, He Yansheng, Hou Chengmin. Existence of solution for a class of sequential fractional difference equation [J]. Journal of Yangzhou University: Natural Science Edition, 2013,16(1):12-16.

[12]Chen Fulai, Luo Xiannan, Zhou Yong. Existence results for nonlinear fractional difference equation [J]. J. Advances in Difference Equations, 2011,2011(1):1-12.

[13]Goodrich C S. Existence of a positive solution to a system of discrete fractional boundary value problems [J]. Comput.Math. Appl. 2011,217(9):4740-4753.

[14]Huang Zhongmin, Hou Chengmin. Solvability of nonlocal fractional boundary value problems [J].Discrete Dynamics in Nature and Society, 2013,2013(1):1-9.

[15]艾尚明,盧源秀,高鵬,等.一類帶有成對(duì)邊界條件的奇異半正分?jǐn)?shù)階差分系統(tǒng)的正解[J].東北石油大學(xué)學(xué)報(bào),2014,38(4):103-118.

Ai Shangming, Lu Yuanxiu, Gao Peng, et al. Positive solutions for a class of singular semipositione fractional difference system with coupled boundary conditions [J]. Journal of Northeast Petroleum University, 2014,38(4):103-118.

[16]Kang Shugui, Li Yan, Chen Huiqin. Positive solutions to boundary value problems of fractional difference equation with nonlocal conditions [J]. Advances in Difference Equations, 2014(1):1-12.

[17]Han Zhenlai, Pan Yuanyuan, Yang Dianwu. The existence and nonexistence of positive solutions to a discrete fractional boundary value problem with a parameter [J]. Applied Mathematics Letters, 2014,36(1):1-6.

[18]Dun Tiaoxia, Chen Pengyu. Existence of positive solutions for nonlinear third-order boundary value problems [J]. Journal of Mathematics, 2014(1):1-5.

[19]Zhao Yige, Sun Shurong, Han Zhenlai. Positive solutions for boundary value problems of nonlinear fractional differential equations [J]. Applied Mathematics and Computation, 2011(217):6950-6958.

2015-12-07；編輯：關(guān)開澄

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11161049)；吉林省教育廳“十二五”科技項(xiàng)目(吉教科合字[2015]第36號(hào))

葛琦(1975-),女,碩士,副教授,主要從事微分方程理論及應(yīng)用方面的研究。

10.3969/j.issn.2095-4107.2016.02.015

O175.6

A

2095-4107(2016)02-0112-09