高　揚， 趙　微

( 大慶師范學(xué)院 教師教育學(xué)院，黑龍江 大慶　163712 )

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一類分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的輸入輸出到狀態(tài)穩(wěn)定性分析

高揚， 趙微

( 大慶師范學(xué)院 教師教育學(xué)院，黑龍江 大慶163712 )

基于Mittag-Leffler型穩(wěn)定和整數(shù)階非線性系統(tǒng)的輸入到狀態(tài)穩(wěn)定理論，在Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)意義下，對于導(dǎo)數(shù)階數(shù)在0到1開區(qū)間的分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)，給出全新的輸入輸出到狀態(tài)穩(wěn)定定義，進而建立非線性系統(tǒng)實現(xiàn)輸入輸出到狀態(tài)穩(wěn)定的Lyapunov定理。舉例證明該理論的正確性和實用性。

Caputo型導(dǎo)數(shù)； 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)； 輸入輸出到狀態(tài)穩(wěn)定； Mittag-Leffler型穩(wěn)定

0　引言

分?jǐn)?shù)階微積分概念起源于1695年Leibniz給Hopital的信件中所提到的1/2階導(dǎo)數(shù)問題。1832年，Liouville給出分?jǐn)?shù)階第一個合理定義。1847年，Riemann對分?jǐn)?shù)階定義做了補充。Grunwald和Krug統(tǒng)一Liouville和Riamann分?jǐn)?shù)階微積分定義，形成Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微積分定義。人們提出多種定義，如Grunwald型分?jǐn)?shù)階微積分和Caputo分?jǐn)?shù)階微積分。

對分?jǐn)?shù)階微分方程穩(wěn)定性的研究也是分?jǐn)?shù)階微分方程的重要部分。分?jǐn)?shù)階微分方程的穩(wěn)定性可分為分?jǐn)?shù)階線性方程的穩(wěn)定性和非線性方程的穩(wěn)定性2個方面。分?jǐn)?shù)階在0到1和1到2之間的分?jǐn)?shù)階線性微分方程的穩(wěn)定性理論已完善[1-4]。在分?jǐn)?shù)階非線性方程穩(wěn)定性方面還有待完善。Li Y等[5-6]利用Lyapunov函數(shù)給出非線性分?jǐn)?shù)階方程的穩(wěn)定性判據(jù)，其中包括非線性Caputo導(dǎo)數(shù)意義下微分方程穩(wěn)定性的判據(jù)和Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)下微分方程穩(wěn)定性的判據(jù)。2014年，Aguila-Camacho N等[7]利用一個不等式，探討一種Lyapunov函數(shù)構(gòu)造問題，但只針對Caputo導(dǎo)數(shù)。

通過Laplace變換，利用終值定理，求出方程穩(wěn)定條件的做法很成熟。通過構(gòu)造分?jǐn)?shù)階Lyapunov函數(shù)，得出方程穩(wěn)定性條件的方法還處于初級階段。

實際生活中,系統(tǒng)經(jīng)常被干擾和測量中的誤差影響,要求系統(tǒng)不但具有穩(wěn)定性質(zhì),還要具有輸入到狀態(tài)(ISS)穩(wěn)定性質(zhì)[8]。近年來,對于ISS及派生的定義(積分型輸入到狀態(tài)穩(wěn)定、輸入輸出到狀態(tài)穩(wěn)定和積分型輸入輸出到狀態(tài)穩(wěn)定等)的研究受到普遍關(guān)注,是非線性系統(tǒng)研究中的熱點問題[9-12]。

Krichman M等[9]提出輸入輸出到狀態(tài)穩(wěn)定(IOSS)的概念,研究非線性系統(tǒng)實現(xiàn)輸入輸出到狀態(tài)穩(wěn)定的Lyapunov特征。林相澤等[10]給出一類非線性切換系統(tǒng)(特殊的混雜系統(tǒng)) 一致輸入輸出對狀態(tài)穩(wěn)定的充分條件。慕小武等[11]應(yīng)用Lyapunov函數(shù)分析方法給出一類脈沖系統(tǒng)輸入輸出到狀態(tài)穩(wěn)定的充分條件，討論系統(tǒng)的積分輸入到狀態(tài)穩(wěn)定條件。樓旭陽等[12]探討一類混雜系統(tǒng)的一致輸入輸出對狀態(tài)穩(wěn)定的充分條件,分析混雜系統(tǒng)的一致輸入輸出對狀態(tài)穩(wěn)定性、光滑Lyapunov函數(shù)存在性和狀態(tài)模估計器存在性三者之間的關(guān)系，得到受擾動系統(tǒng)一致輸入輸出對狀態(tài)穩(wěn)定性的結(jié)果,并證明混雜系統(tǒng)的一致輸入輸出對狀態(tài)穩(wěn)定定理。

對整數(shù)階非線性系統(tǒng)的輸入輸出到狀態(tài)穩(wěn)定性研究是一個研究熱點，而把輸入輸出到狀態(tài)穩(wěn)定從整數(shù)階非線性系統(tǒng)推廣到分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)具有實用價值。在分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)中關(guān)于輸入輸出到狀態(tài)穩(wěn)定的研究成果未見報道。在Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)意義下，筆者對導(dǎo)數(shù)階數(shù)在0到1開區(qū)間的非線性系統(tǒng)，給出適合的輸入輸出到狀態(tài)穩(wěn)定定義，進而給出非線性系統(tǒng)實現(xiàn)輸入輸出到狀態(tài)穩(wěn)定的Lyapunov定理，舉例證明該理論的正確性和實用性。

1　預(yù)備知識

Mittag-Leffler型函數(shù)的定義為

要求α>0。

帶有雙參數(shù)的Mittag-Leffler型函數(shù)定義為

要求α>0,β>0。

考慮分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)，即

(1)

式中：D為Caputo分?jǐn)?shù)階算子，α∈(0,1)；f:R×Rm→Rn為局部Lipschtiz的；x(t)∈Rn為系統(tǒng)式(1)在t∈R+時刻的狀態(tài)，并假設(shè)f(0,0)=0。

定義1[5]分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)式(1)的解是Mittag-Leffler穩(wěn)定的，若

則函數(shù)m(x)是局部Lipschtiz的。其中t0為初始時刻，α∈(0,1)，λ>0,b>0,m(0)=0,m(x)≥0。

引理2[7]設(shè)x(t)∈R是一個連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，對任意時間t≥t0，有

對任意α∈(0,1)成立。

2　主要結(jié)論

考慮帶有輸入和輸出的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，即

(2)

式中：x(0)=x0為初始條件；x(t)∈Rn,u(t)∈Rm分別為式(2)在t∈R+時刻的狀態(tài)和控制輸入。設(shè)輸出映射h:Rn→Rp是連續(xù)的，且h(0)=0。對任意ξ∈Rn和輸入u，令y(t,ξ,u)為式(2)的輸出函數(shù)，即y(t,ξ,u)=h(t,ξ,u)。假定f(0,0)=0。

注1任意u∈Rm，由f的局部Lipschtiz性質(zhì)知，式(2)關(guān)于初始條件x(0)=x0有解。

因輸入輸出到狀態(tài)穩(wěn)定性在整數(shù)階非線性系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用，故推廣它到式(2)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)中。

定義2(Mittag-Leffler型輸入輸出到狀態(tài)穩(wěn)定)若存在Mittag-Leffler型函數(shù)Eα(-λtα)(λ>0)和K函數(shù)γ1,γ2，使得任意初值x(0)=x0，任意有界輸入u(u∈L∞)，則有

(1)式(2)的解在[0,Tx0,u)存在；

(2)|x(t,x0,u)|≤max{{m(x(0))Eα(-λtα)}b,γ1(‖y(s,x0,u)|[0,t]‖),γ2(‖u(s)|[0,t]‖)},?t∈[0，Tx0,u)。

其中b>0,m(0)=0,m(x)≥0,且m(x)為局部Lipschitz的。

注2事實上，u可以是小的有界擾動，式(2)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的抗干擾問題。

利用Sontag E D的輸入到狀態(tài)穩(wěn)定相關(guān)理論建立式(2)的Mittag-Leffler型輸入輸出到狀態(tài)穩(wěn)定(MLIOS)Lyapunov定理。

引理3若存在β>0,存在Mittag-Leffler型函數(shù)Eα[-βtα]具有性質(zhì)：對連續(xù)函數(shù)w:[0,T]→R≥0及數(shù)v*≥0,若任意t∈[0,T]，有

(3)

則

證明：設(shè)S={ξ|ξ≥0,w(ξ)≤v*},則S為正不變集合。

事實上，若存在t0≥0,使得t0?S,則?ε>0，?t1>t0,使得

取t1為使得w(t1)≥v*+ε最小的t1。

由連續(xù)函數(shù)的保號性，有鄰域U(t1)?R≥0存在，使得

由式(3)知w(t)關(guān)于t單調(diào)減少(t∈U(t1))。因此，存在t2∈U-(t1)，且t2>0，使得w(t2)≥w(t1)。

這與t1的定義矛盾，故存在T，使得?t∈[0,T]，有

(2)T∈S。

首先證明(1)。

設(shè)

由Laplace變換，有

其中w(s)為w(t)的Laplace變換，M(s)為M(t)的Laplace變換。

再用逆Laplace變換，有

綜合(1)和(2)，有

證畢。

定理1對式(2)，若存在Lyapunov函數(shù)V和α1>0,α2>0,β>0滿足：

(1)α1‖x‖≤V(x(t))≤α2‖x‖;

(2)存在K函數(shù)σ1,σ2，使得任意x∈Rn,任意u∈Rm，有

則式(2)為Mittag-Leffler型輸入輸出到狀態(tài)穩(wěn)定的。

證明：當(dāng)

時，有

進而由引理3，有

再利用條件(1)，有

故式(2)為Mittag-Leffler型輸入輸出到狀態(tài)穩(wěn)定(MLIOSS)的。

3　實例

例1設(shè)有分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，即

(4)

由定理1知，式(4)是Mittag-Leffler型輸入輸出到狀態(tài)穩(wěn)定的。

4　結(jié)束語

在Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)意義下，對于導(dǎo)數(shù)階數(shù)在0到1開區(qū)間的非線性分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，給出基于Mittag-Leffler穩(wěn)定相應(yīng)的輸入輸出到狀態(tài)穩(wěn)定定義，進而給出非線性分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)實現(xiàn)輸入輸出到狀態(tài)穩(wěn)定的Lyapunov定理。舉例證明該理論的正確性和實用性。

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2015-12-07；編輯：關(guān)開澄

大慶市科技計劃項目(szdfy-2015-63)；大慶師范學(xué)院博士啟動基金項目(12ZR09)

高揚(1979-)，男，博士研究生，副教授，主要從事非線性系統(tǒng)方面的研究。

10.3969/j.issn.2095-4107.2016.03.015

O175.6

A

2095-4107(2016)03-0118-05