金　瑾,黃　雕,蹇　敏

(1.貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系,貴州畢節(jié)　551700;2.貴州民族大學(xué)理學(xué)院,貴州貴陽　550025)

?

高階非線性復(fù)微分方程組的亞純允許解

金瑾1,黃雕2,蹇敏2

(1.貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系,貴州畢節(jié)551700;2.貴州民族大學(xué)理學(xué)院,貴州貴陽550025)

利用亞純函數(shù)的Navanlinna值分布理論和方法,研究了一類高階代數(shù)微分方程組的亞純解.在亞純解存在的條件下,證明關(guān)于此類方程組的一個(gè)不等式.

代數(shù)微分方程組;亞純函數(shù);允許解;Nevanlinna理論;值分布

1　引言及主要結(jié)果

關(guān)于微分方程組的允許解問題,很多作者已經(jīng)做了大量工作,得到了一批很好的結(jié)果[1-7],本文繼續(xù)這一問題的研究，有關(guān)Nevanlinna值分布理論的通常概念與符號(hào)可見文獻(xiàn)[1-18].

本文研究非線性微分方程組

(1)

亞純解的存在性，其中

定義1設(shè)(w1,w2)是微分方程組(1)的亞純解,S(r)為微分方程組(1)的所有系數(shù)的特征函數(shù)之和,即

定理1設(shè)(w1,w2)是微分方程組(1)的零級(jí)亞純允許解,且

則

2　預(yù)備引理

引理1[1]設(shè)函數(shù)f(z)為復(fù)平面上的超越亞純函數(shù),則對任意的正整數(shù)k都有

引理2[2]設(shè)w(z)為非常數(shù)的零級(jí)亞純函數(shù),q∈C-{0},則在一對數(shù)密度為1的集合上的所有r,有

引理3設(shè)函數(shù)f(z)為復(fù)平面上的超越亞純函數(shù),c1和c2為常數(shù),則對任意的正整數(shù)k都有

證明因?yàn)楹瘮?shù)f(z)為復(fù)平面上的超越亞純函數(shù),c1和c2為常數(shù),所以由引理1、2可得

故

引理4設(shè)函數(shù)f(z)為復(fù)平面上的亞純函數(shù),k是任意的正整數(shù)且f(0)≠0,f(i-1)(0)≠1,f(i)(0)≠0(i=1,2,…,k),則有N(r,f(k))≤kN(r,f).

證明已知f(k)(z)和f(k-1)(z)以且僅以f(z)的極點(diǎn)為它們的極點(diǎn).若當(dāng)f(z)以某點(diǎn)z0為j(j≥1)重極點(diǎn)時(shí),f(k-1)(z)以點(diǎn)z0為k+j-1重極點(diǎn),f(k)(z)以點(diǎn)z0為k+j重極點(diǎn),從而

即

由歸納法,對任意的正整數(shù)k有

引理5[3]設(shè)函數(shù)f(z)為零級(jí)亞純函數(shù),k是任意的非零常數(shù),則在一對數(shù)密度為1的集合上的所有r,有

引理6設(shè)w1和w2都是零級(jí)亞純函數(shù),{ai(z)}是w1和w2的小函數(shù),如果

則

證明由

可知

因此

由引理3得

(2)

同理可得

(3)

(4)

(5)

下面估計(jì)N(r,Ω).由引理4和引理5可知

故

(6)

同理

(7)

(8)

(9)

因此由(2)～(9)式可得

引理7[4]設(shè)

是關(guān)于w(z)的不可約的有理函數(shù),系數(shù){ai(z)},{bj(z)}是亞純函數(shù).如果w(z)是亞純函數(shù),則

3　定理1的證明

定理1的證明由已知和引理5可得

即有

(10)

(11)

由已知和引理6可得

T(r,R1(z,w1))=max{p11,q11}T(r,w1)+

(12)

T(r,R2(z,w2))=max{p22,q22}T(r,w2)+

由微分方程組(1)和(10)～(13)式可得

(14)

(15)

由(14)和(15)式可得

(16)

(17)

由(16)和(17)式即得

故定理1得證.】

[1]IAINE I.Nevanlinna Theory and Complex Differential Equation[M].Berlin:Walter de Gruyter,1993.

[2]BARNETT D C,HALBURD R G,KORHONEN R J,et al.Nevanlinna for the q-difference operator and meromorphic solutions of q-difference equations[J].Royal Society of Edinburgh,2007,55(2):293.

[3]ZHANG J L,KORBONEN R.On the Nevanlinna characteristic of f(qz) and its applications[J].J Math Anal Appl,2010,369:537.

[4]高凌云.具有允許解的代數(shù)微分方程組的形式[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2004,24(1):96.

[5]楊樂.值分布論及其新研究[M].北京:科學(xué)出版社,1982.

[6]高凌云.關(guān)于兩類復(fù)微分方程組的允許解[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2000,43(1):149136.

[7]高凌云.具有允許解的代數(shù)微分方程組的形式[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2004,24(1):96.

[8]金瑾,李澤清.一類高階非線性微分方程組的亞純允許解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2014,27(2):292.

[9]金瑾.關(guān)于一類高階齊次線性微分方程解的增長性[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,52(1):51.

[10]金瑾.一類高階齊次線性微分方程解的增長性[J].華中師范大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,47(1):4.

[11]金瑾.關(guān)于亞純函數(shù)φ(z)f(z)(f(k)(z))nP[f]的值分布[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2013,26(3):499.

[12]金瑾.關(guān)于高階線性微分方程解與其小函數(shù)的增長性[J].上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,47(7):1155.

[13]金瑾.高階微分方程解與其小函數(shù)的關(guān)系[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2013,28(1):43.

[14]金瑾.單位圓內(nèi)高階線性微分方程解與小函數(shù)的關(guān)系[J].重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,30(6):52.

[15]金瑾.關(guān)于亞純函數(shù)φ(z)fn(z)f(k)(z)的值分布[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2012,28(6):1.

[16]金瑾.單位圓內(nèi)高階齊次線性微分方程解與小函數(shù)的關(guān)系[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2014,37(4)：254.

[17]金瑾.一類高階齊次線性微分方程的亞純解與其小函數(shù)的復(fù)振蕩[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2014,31(3):399.

[18]金瑾.高階非線性代數(shù)微分方程組的可允許解[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014,37(2):114.

(責(zé)任編輯馬宇鴻)

Meromorphic admissible solution of systems of higher order nonlinear complex differential eguations

JIN Jin1,HUANG Diao2,JIAN Min2

(1.Department of Mathematics,Guizhou University of Engineering Science,Bijie 551700,Guizhou,China;2.College of Science,Guizhou Minzu University,Guiyang 550025,Guizhou,China)

Using the Navanlinna value distribution theory and method of meromorphic function,meromorphic solution for a class of higher order algebraic differential equations is studied.In the presence of such equations existing meromorphic solution,an inequality on such equations is given.

algebeaic differential equation system;meromorphic function;admissible solution;Nevanlinna theory;value distribution

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.02.006

2014-11-26;修改稿收到日期:2015-03-27

貴州省科學(xué)技術(shù)基金資助項(xiàng)目(2010GZ43286,2012GZ10526)；貴州省畢節(jié)市科研基金資助項(xiàng)目([2011]02)

金瑾(1962—)，男，貴州大方人，教授，碩士研究生導(dǎo)師.主要研究方向?yàn)閺?fù)分析.

E-mail:jinjin62530@163.com

O 174.52

A

1001-988Ⅹ(2016)02-0024-05