王淑云（吉林省白城市第十四中學(xué)）

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中導(dǎo)數(shù)與積分的應(yīng)用

王淑云
（吉林省白城市第十四中學(xué)）

隨著我國教育的不斷改革，高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容也更加注重實(shí)用性與操作性。高中數(shù)學(xué)不僅是初中數(shù)學(xué)的深入，也是大學(xué)數(shù)學(xué)的重要銜接。導(dǎo)數(shù)與積分作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，是學(xué)生熟練掌握高中數(shù)學(xué)知識(shí)要點(diǎn)、提升解題能力的重要方式。主要討論高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)與積分在解題中的應(yīng)用，以此闡述導(dǎo)數(shù)與積分在高中數(shù)學(xué)中的地位和意義。

高中數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)；積分

高中導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的重要內(nèi)容和要點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)需要運(yùn)用大量的公式進(jìn)行運(yùn)算，以此幫助學(xué)生更好地掌握較為抽象的函數(shù)。積分也是函數(shù)中的一個(gè)重要內(nèi)容。利用積分，學(xué)生可以更好地解決三角函數(shù)難題。導(dǎo)數(shù)和積分都能將函數(shù)化繁為簡，幫助學(xué)生更好地掌握相關(guān)函數(shù)的解題思路與技巧。

一、導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值、極值和取值范圍中的應(yīng)用。

已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，過曲線y=f（x）上的點(diǎn)P（1，f（1））的切線方程為y=3x+1，求：

（1）若函數(shù)f（x）在x=-2處有極值，求f（x）的表達(dá)式。

因?yàn)閥=f（x）在x=-2上有極值，所以f（-2）=0，所以-4a+b=-12③

從①②③可得，a=2，b=-4，c=5，所以f（x）的表達(dá)式為f（x）= x3+2x2-4x+5。

（2）在（1）的條件下，求函數(shù)y=f（x）在［-3，1］的最大值。

（3）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［-2，1］上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。

解：因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）在區(qū)間［-2，1］上單調(diào)遞增，又因?yàn)閒′（x）= 3x2+2ax+b，并由①得出2a+b=0。根據(jù)題意所得f′（x）在［-2，1］上恒有f′（x）≥0，即3x2-bx+b≥0。由此可以得出：

二、積分在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

配方法是積分中最為常用的一種方式，配方法的重點(diǎn)主要在于“配”與“湊”這兩點(diǎn)上。其使用的原理是根據(jù)二項(xiàng)完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2。由該項(xiàng)公式可以推導(dǎo)出各種所需要的平方公式，如：a2+b2=（a+b）2-2ab，或者是a2+ab+b2=（a+b）2-ab等等。

這道題的關(guān)鍵主要是通過配方，簡化了所求的表達(dá)式，并巧用了1的立方虛根，活用ω的性質(zhì)，通過一系列的換算變形后。由此，了解各方程式并進(jìn)行換算則是積分解決函數(shù)問題的重要技巧之一。

三、導(dǎo)數(shù)與微積分在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

四、結(jié)論

導(dǎo)數(shù)和積分有著豐富的背景，并得到了廣泛的應(yīng)用，掌握它們之間的內(nèi)在關(guān)系，教師可以互用導(dǎo)數(shù)和積分，讓學(xué)生掌握不同函數(shù)問題中不同的解決方式。如教師可以利用切線的斜率和瞬時(shí)速度讓學(xué)生明白導(dǎo)數(shù)的改變和幾何性質(zhì)。在學(xué)習(xí)積分時(shí)，也可以利用導(dǎo)數(shù)中的極限思維，在某個(gè)局部的小范圍內(nèi)進(jìn)行“以不變代變”或者是“以直代曲”，讓學(xué)生掌握積分的概念與解題方式。只有充分掌握導(dǎo)數(shù)與積分的概念和函數(shù)性質(zhì)，學(xué)生才能更好地運(yùn)用其解決相關(guān)的函數(shù)問題，才能更好地解決高中函數(shù)問題。

［1］陳劍.高中導(dǎo)數(shù)與積分教學(xué)策略分析［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011（15）：18.

［2］王湘平.微積分在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.才智，2013（5）：37-38.

·編輯張珍珍