高燕燕（山西省呂梁市離石區(qū)江陰高級中學(xué)）

淺析高中數(shù)學(xué)中四種證明方法的異同

高燕燕
（山西省呂梁市離石區(qū)江陰高級中學(xué)）

在證明一個(gè)命題成立時(shí)，可以證明原命題成立，可以證明它的逆否命題成立，也可以通過證明命題的否定為假來證明原命題為真。當(dāng)從正面證明一個(gè)命題不太容易時(shí)，往往用反證法來證明，通過推出矛盾證明假設(shè)不成立來證明原命題成立。獨(dú)立性檢驗(yàn)原理也提供了一種證明兩個(gè)變量有關(guān)的方法，這些證明方法有相同之處，也有細(xì)微的不同，通過原理與實(shí)例相結(jié)合來展示逆否命題證法與命題的否定證法、反證法與命題的否定證法和逆否命題證法、獨(dú)立性檢驗(yàn)原理和反證法原理之間的異同。

原命題；命題的否定；逆否命題；反證法；獨(dú)立性檢驗(yàn)原理

在選修1-1第一章的命題及其關(guān)系這一節(jié)中我們學(xué)習(xí)了四種命題及其它們之間的關(guān)系，通過研究我們得知，原命題和逆否命題具有相同的真假性，當(dāng)原命題的證明比較困難時(shí)，我們往往選擇通過證明原命題的逆否命題成立來證明原命題的成立。在本章的第三節(jié)中我們可以得到，命題和命題的否定具有相反的真假性，當(dāng)證明原命題比較困難時(shí)，我們也可以通過證明原命題的否定為假來證明原名題的成立。在選修1-2第二章的直接證明和間接證明這一節(jié)我們又學(xué)了一種證明方法——反證法。在本書第一章的獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用這一節(jié)中證明兩個(gè)變量有關(guān)的獨(dú)立性檢驗(yàn)原理又是另一種證明的方法。這四種證明方法之間有聯(lián)系也有區(qū)別，極容易混淆，下面通過具體的例子來說明它們之間的差異。

一、逆否命題證法與命題的否定證法

原命題：若p則q（p為條件q為結(jié)論）

逆否命題：若┐q則┐p

命題的否定：若p則┐q

1.逆否命題證法

證明若p則q為真，等價(jià)于證明若┐q則┐p，而在證明若┐q則┐p為真就是要證明┐q?┐p，條件是┐q，要證明的結(jié)論是┐p。

例.證明：已知函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）在上是增函數(shù)，a，b∈R，若f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），則a+b＜0

證明：逆否命題：已知函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，a，b∈R，若a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）。

∵一個(gè)命題和它的逆否命題是等價(jià)的

∴可證明逆否命題為真命題

∵a+b≥0，∴a≥b，b≥-a

又∵f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)

∴f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a）

∴f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）

2.命題的否定證法

證明若p則q為真，等價(jià)于證明若p則┐q為假。這種證明命題真假的方法常用于全稱命題和特稱命題的證明。

例.證明命題p：對任意實(shí)數(shù)a，b，|a-1|+|b-1|＞0是假命題

證明：∵命題和命題的否定具有相反的真假性

∴只需證明┐p：存在實(shí)數(shù)a，b，使得| a-1|+|b-1|≤0

當(dāng)a=b=1時(shí)，┐p成立，即┐p是真命題，所以p是假命題

命題的否定和否命題是兩個(gè)完全不同的概念，并且原命題和否命題的真假性是沒有關(guān)系的，故不可以用否命題的真假性來判斷原命題的真假性。

異同點(diǎn)：都把原命題的結(jié)論進(jìn)行了否定，但否定后一個(gè)作為條件，另一個(gè)作為待證的結(jié)論。

二、反證法與命題的否定證法和逆否命題證法

一般的，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟：

（1）反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定結(jié)論的反面成立；

（2）歸謬——從“反設(shè)”和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果；

（3）結(jié)論——因?yàn)橥评碚_，由矛盾結(jié)果斷定“反設(shè)”不真，從而肯定原結(jié)論成立。

故假設(shè)不成立，所以原命題成立

在閱讀時(shí)，讀到精妙處，忍不住擊節(jié)叫好；讀到傷感處，忍不住淚眼婆娑；讀到激憤處，耐不住拍案而起；讀到詼諧處，禁不住啞然失笑。有了知識的滋潤，視野也開闊了許多，人也就逐漸強(qiáng)大起來。

異同點(diǎn)：反證法的實(shí)質(zhì)與命題的否定證法的實(shí)質(zhì)一樣，都是證明命題的否定為假，從而得到原命題為真。不同之處在于反證法在證明的過程中，反設(shè)的結(jié)論和已知條件一起作為已知條件，導(dǎo)出與假設(shè)、公理、定理、定義或已被證明的結(jié)論矛盾，從而證明假設(shè)不成立，而命題的否定證法在對結(jié)論進(jìn)行否定后，否定的結(jié)論仍然是待證的結(jié)論。反證法和證逆否命題是完全不同的。

三、獨(dú)立性檢驗(yàn)原理和反證法原理

反證法原理：在假設(shè)下，如果推出一個(gè)矛盾，就證明了H0不成立。

獨(dú)立性檢驗(yàn)原理：在假設(shè)H0下，如果出現(xiàn)一個(gè)與H0相矛盾的小概率事件，就推斷H0不成立，且該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過這個(gè)小概率。

例.某大型企業(yè)人力資源部為了研究企業(yè)員工工作積極性和對企業(yè)改革態(tài)度的關(guān)系，隨機(jī)抽取了189名員工進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示:

積極支持企業(yè)改革　　不贊成企業(yè)改革　　合計(jì)工作積極　54　40　94工作一般　32　63　95合計(jì)　86　103　189

對于人力資源部的研究項(xiàng)目，根據(jù)上述數(shù)據(jù)能得出什么結(jié)論？

因10.76＞7.879，所以有99.5%的把握說：員工“工作積極”與“積極支持企業(yè)改革”是有關(guān)的，可以認(rèn)為企業(yè)的全體員工對待企業(yè)改革的態(tài)度與其工作積極性是有關(guān)的。

逆否命題證明法、命題的否定證明法、反證法和獨(dú)立性檢驗(yàn)原理有相同之處，也有細(xì)微的不同之處，學(xué)生非常容易混淆，導(dǎo)致證明時(shí)模模糊糊無從下手，但只要細(xì)心體味其不同之處，還是比較容易掌握的。

·編輯魯翠紅