楊　哲, 林德福, 王　輝

(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院, 北京 100081)

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帶視場角限制的攻擊時間控制制導(dǎo)律

楊哲, 林德福, 王輝

(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院, 北京 100081)

為了實現(xiàn)多導(dǎo)彈協(xié)同攻擊同一目標(biāo),根據(jù)彈目攔截幾何關(guān)系,設(shè)計一種帶有攻擊時間控制及導(dǎo)引頭視場限制的協(xié)同制導(dǎo)律。采用多項式函數(shù)推導(dǎo)含時間控制的導(dǎo)引指令,以附加反饋項的形式引入導(dǎo)引頭視場角函數(shù),實現(xiàn)對攻擊時間及導(dǎo)引頭視場角的同時約束。當(dāng)已知導(dǎo)彈過載及導(dǎo)引頭視場限制,導(dǎo)彈彈道軌跡可以由初始導(dǎo)彈參數(shù)確定,從而可以計算得出協(xié)同制導(dǎo)時間的邊界值。仿真結(jié)果驗證了該協(xié)同制導(dǎo)律的有效性。

多導(dǎo)彈; 制導(dǎo)律; 協(xié)同制導(dǎo); 攻擊時間; 視場角

0　引　言

面對現(xiàn)代防御系統(tǒng)的威脅,多導(dǎo)彈協(xié)同攻擊將是未來精確制導(dǎo)武器發(fā)展的一個重要方向。在協(xié)同作戰(zhàn)方式下,導(dǎo)彈的電子對抗能力、突防能力、搜捕跟蹤運動目標(biāo)的能力得到了大幅度的提高[1]。

近些年來,協(xié)同制導(dǎo)問題受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[2-11]。文獻(xiàn)[2]基于線性化后的彈目相對運動模型,首次采用最優(yōu)控制理論推導(dǎo)得出一種可用于反艦導(dǎo)彈齊射攻擊的攻擊時間可控制導(dǎo)律(impacttimecontrolguidance,ITCG)。文獻(xiàn)[3]采用改變比例導(dǎo)引律的導(dǎo)航系數(shù)的方法,設(shè)計一種變導(dǎo)航系數(shù)協(xié)同制導(dǎo)律,保證多彈攻擊時間的一致性。在前人基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]同時考慮攻擊時間和攻擊角度約束,實現(xiàn)了多約束條件下的導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)?；诨？刂评碚?文獻(xiàn)[6]通過視線角速度重構(gòu)技術(shù),構(gòu)造出的協(xié)調(diào)參數(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)不同導(dǎo)彈剩余飛行時間趨近一致,同樣可以達(dá)到齊射攻擊的目的。國內(nèi)方面,文獻(xiàn)[7]將攻擊時間作為協(xié)調(diào)變量,提出一種基于協(xié)調(diào)變量的時間協(xié)同制導(dǎo)律。為了使導(dǎo)彈編隊沿著指定軌跡攻擊目標(biāo),文獻(xiàn)[8-11]在文獻(xiàn)[7]基礎(chǔ)上,提出一系列多導(dǎo)彈網(wǎng)絡(luò)化分布式協(xié)同制導(dǎo)策略,實現(xiàn)導(dǎo)彈編隊的齊射攻擊。

在末制導(dǎo)段,多導(dǎo)彈在飛行過程中通過適度機動來協(xié)調(diào)各自之間的剩余飛行時間,受到導(dǎo)引頭視場角限制,導(dǎo)彈機動過程中可能會導(dǎo)致目標(biāo)超出視場,導(dǎo)引頭丟失目標(biāo)[12-14]。文獻(xiàn)[12]以文獻(xiàn)[2]給出的協(xié)同導(dǎo)引律為基礎(chǔ),設(shè)計一種導(dǎo)引律切換策略,當(dāng)目標(biāo)視角達(dá)到最大視場角時,按照目標(biāo)視角定常的導(dǎo)引律飛行。文獻(xiàn)[13-14]通過附加控制的方式設(shè)計一種帶有導(dǎo)引頭視場限制的反艦導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)律,具有一定的工程應(yīng)用價值。

本文針對多導(dǎo)彈攻擊同一目標(biāo)時要求目標(biāo)視角不超出視場范圍,推導(dǎo)了一種含攻擊時間控制和導(dǎo)引頭視場角限制的協(xié)同制導(dǎo)律。建立彈目運動數(shù)學(xué)模型,采用多項式函數(shù)推導(dǎo)時間可控制導(dǎo)律的解析表達(dá)式,并利用彈道軌跡邊界推算出含導(dǎo)彈過載及視場角約束的協(xié)同飛行時間取值范圍,最后在仿真中驗證了新型協(xié)同制導(dǎo)律的有效性。

1　彈目運動模型

考慮如圖1所示的二維平面彈目運動關(guān)系,x,y分別表示導(dǎo)彈的橫、縱坐標(biāo),θ,λ為導(dǎo)彈速度方向角和彈目視線角。假定導(dǎo)彈速率保持恒定不變,目標(biāo)靜止，位于(xf,yf),導(dǎo)彈法向加速度a垂直于導(dǎo)彈速度方向,t0為初始時刻,tf為終端時刻,Td為期望導(dǎo)彈攻擊時間,則導(dǎo)彈運動學(xué)方程可表示為

(1)

圖1　彈目運動關(guān)系Fig.1　Missile-target engagaement relationship

初始和終端條件為

(2)

當(dāng)速度航向角θ不大時,具有終端攻擊時間約束的彈目攔截問題可轉(zhuǎn)化為線性狀態(tài)方程:

(3)

式中,定義制導(dǎo)指令u=a/V2,線性方程初始及終端約束條件為

(4)

式(4)終端約束條件要求導(dǎo)彈在期望的導(dǎo)引時間tf=Td時刻到達(dá)目標(biāo)點所在位置。同時,因為導(dǎo)彈速率不變,根據(jù)小角度假設(shè)理論,則對導(dǎo)彈飛行時間的約束可看作是對導(dǎo)彈飛行軌跡的約束。

(5)

(6)

不同于傳統(tǒng)比例導(dǎo)引律,時間可控制導(dǎo)律不僅要求終端時刻脫靶量為零,同時要滿足攻擊時間為期望導(dǎo)引時間。基于此目的,本文采用多項式函數(shù)來表示含時間可控項的導(dǎo)引指令

(7)

式中,xgo=xf-x;n為任意的正實數(shù);cN,cM為待求的導(dǎo)引參數(shù)。

式(7)采用含兩個待定參數(shù)的多項式函數(shù)的形式來表示時間可控導(dǎo)引指令,設(shè)計參數(shù)cN實現(xiàn)導(dǎo)彈能夠命中目標(biāo)，即脫靶量為零,設(shè)計參數(shù)cM實現(xiàn)導(dǎo)彈攻擊時間為期望導(dǎo)引時間。一旦求出cN和cM解析解,則可用式(7)表示時間控制導(dǎo)引指令。

2　攻擊時間控制制導(dǎo)律

為了保證設(shè)計的制導(dǎo)律能夠命中目標(biāo),首先需要確定導(dǎo)引指令式(7)中參數(shù)cN。將式(7)代入式(3)中,進(jìn)行兩次積分，同時引入初始條件,可得

(8)

化簡后

(9)

式中,cx,cy為與初始條件相關(guān)的常值,分別為

(10)

將式(4)導(dǎo)彈終端約束條件y(xf)=yf代入式(9)、式(10),可得在x=x0處的cN

(11)

(12)

將式(12)代入式(7)中,對導(dǎo)彈制導(dǎo)過程任意t時刻有

(13)

其中

(14)

可以看出式(14)是經(jīng)典比例制導(dǎo)律導(dǎo)引指令的線性近似形式。至此得到了制導(dǎo)指令式(7)中脫靶量控制參數(shù)cN的值。下面求攻擊時間控制參數(shù)cM。將式(13)重新代入狀態(tài)方程式(3)中,得

(15)

方便起見,令Y=yf-y,χ=xf-x,將式(15)改寫成二階微分方程形式

(16)

此微分方程的對應(yīng)齊次方程為歐拉方程形式。式(16)對應(yīng)齊次方程的通解為

(17)

非齊次方程的特解為

(18)

則非齊次二階微分方程式(16)的通解為

(19)

將式(19)代入閉環(huán)彈道方程式(15)中,同時結(jié)合初始條件式(4),可得

(20)

其中

(21)

假定導(dǎo)彈速率不變,根據(jù)小角假設(shè)理論,則對導(dǎo)彈飛行時間的約束可看作是對導(dǎo)彈飛行軌跡的約束,將式(20)中θ(x)代入式(5)中

(22)

其中

(23)

(24)

求解該一元二次方程

(25)

(26)

至此，根據(jù)制導(dǎo)初始條件推導(dǎo)出攻擊時間控制參數(shù)cM的值,擴展到導(dǎo)彈制導(dǎo)過程任意t時刻有

cM=

(27)

其中

(28)

(29)

將式(27)重新代入式(13)中,則含攻擊時間可控的制導(dǎo)律可表示為

(30)

其中

(31)

由式(30)可以看出,推導(dǎo)出的時間可控制導(dǎo)律本質(zhì)上是傳統(tǒng)比例制導(dǎo)律基礎(chǔ)上引入時間控制項的制導(dǎo)律。

攻擊時間控制導(dǎo)引律使多導(dǎo)彈編隊在飛行過程中通過適度機動來調(diào)整導(dǎo)彈之間不同的剩余飛行時間,從而實現(xiàn)多導(dǎo)彈之間齊射攻擊。在末制導(dǎo)段,這種機動可能會導(dǎo)致目標(biāo)超出視場范圍,導(dǎo)引頭丟失目標(biāo)。為使導(dǎo)彈在協(xié)同制導(dǎo)過程中滿足導(dǎo)引頭視場約束條件,在式(30)的基礎(chǔ)之上,構(gòu)造帶目標(biāo)視角偏置項的制導(dǎo)律形式為

(32)

3　協(xié)同制導(dǎo)時間確定

根據(jù)式(6)和式(32),設(shè)計的帶視場角限制的時間可控制導(dǎo)律需要提前確定一個協(xié)同變量,即期望導(dǎo)引時間Td。由式(27),為保證cM>0,剩余飛行距離誤差ε必須大于0,即期望的導(dǎo)彈攻擊時間應(yīng)大于導(dǎo)彈采用比例導(dǎo)引律的飛行時間。故合理的協(xié)同導(dǎo)引時間是實現(xiàn)導(dǎo)彈攻擊時間控制及多導(dǎo)彈協(xié)同攻擊的必要條件。本節(jié)在文獻(xiàn)[12]基礎(chǔ)上,根據(jù)彈目幾何關(guān)系計算出了含導(dǎo)彈過載及目標(biāo)視場角約束的期望導(dǎo)引時間取值范圍。受到過載及視場角約束,導(dǎo)彈飛行彈道可以由幾何關(guān)系確定出最短彈道和最長彈道。

如圖2所示,最短彈道由兩部分組成,初始段為以最小轉(zhuǎn)彎半徑飛行的轉(zhuǎn)彎彈道,第二段為當(dāng)速度指向目標(biāo)后的直線飛行彈道。為了得到初始段轉(zhuǎn)彎角度δs1,需要確定初始段最小轉(zhuǎn)彎半徑rmin和初始目標(biāo)視角σ0。

圖2　含過載和視場約束的最短彈道示意圖Fig.2　The shortest trajectory with acceleration and field-of-view limit

最小轉(zhuǎn)彎半徑為

(33)

從圖2中,可以得到幾何關(guān)系:

(34)

(35)

其中

(36)

將式(34)改寫成二次多項式形式

(37)

利用求根公式

(38)

因為δs表示最短彈道的初始段轉(zhuǎn)彎半徑,故式(38)應(yīng)取正號

(39)

則初始段的彈道長

(40)

由式(35)可得直線彈道段長度

(41)

由式(40)和式(41)可得過載及視場角約束下最短彈道

s=s1+s2=

(42)

同樣，根據(jù)彈目幾何關(guān)系,可以得出含過載和視場約束的最長彈道曲線如圖3所示。最長彈道分3部分:初始轉(zhuǎn)彎段、最大目標(biāo)視角飛行段和最大過載飛行段。初始轉(zhuǎn)彎段導(dǎo)彈以最大過載飛行盡快達(dá)到最大目標(biāo)視角;第2段導(dǎo)彈保持最大目標(biāo)視角飛行;第3段導(dǎo)彈以最大過載按照圓周導(dǎo)引律攻擊目標(biāo)[15]。該導(dǎo)引律保證導(dǎo)彈在導(dǎo)引頭視場范圍內(nèi)飛行,且距離目標(biāo)越近,目標(biāo)視角逐漸減小到零。

圖3　含過載和視場約束的最長彈道示意圖Fig.3　The longest trajectory with acceleration and field-of-view limit

初始轉(zhuǎn)彎段,導(dǎo)彈按最大過載飛行以盡快達(dá)到最大目標(biāo)視角。下面計算初始轉(zhuǎn)彎段的彈道軌跡。為方便理解,初始轉(zhuǎn)彎段的局部放大圖如圖4所示。

圖4　最長彈道初始段彈道Fig.4　The initial part of the longest trajectory

根據(jù)圖4,由三角形余弦定理可得

(43)

將式(43)化簡可得二次多項式形式

(44)

求解關(guān)于R1的一元二次方程。因為R1為初始轉(zhuǎn)彎段結(jié)束時彈目距離,故R1可以唯一確定

(45)

根據(jù)圖4,由三角形正弦定理可得

(46)

由式(43)、式(45)和式(46),得初始轉(zhuǎn)彎段轉(zhuǎn)彎角度

(47)

則初始轉(zhuǎn)彎段的彈道長

(48)

彈道第2段導(dǎo)彈保持最大目標(biāo)視角飛行,直到圓周制導(dǎo)律交班點,交班位置如圖3所示,可得交班點處彈目距離：

(49)

第2段彈道長

(50)

導(dǎo)彈第3段以最大過載按照圓周導(dǎo)引律攻擊目標(biāo)。彈道轉(zhuǎn)彎半徑為r,轉(zhuǎn)彎角度為2Φ,第3段彈道長

l3=2rΦ

(51)

則過載及視場角約束下最長彈道

l=l1+l2+l3

(52)

綜述所述,根據(jù)式(42)、式(52)得含過載和視場約束的最短和最長彈道表達(dá)式,從而得出導(dǎo)彈飛行時間的邊界值

(53)

4　制導(dǎo)律仿真分析

為了驗證提出的帶視場角限制的時間可控制導(dǎo)律性能,首先對采用制導(dǎo)律式(32)的單枚導(dǎo)彈進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真。由式(53)可得制導(dǎo)時間的邊界值。導(dǎo)彈初始參數(shù)及協(xié)同制導(dǎo)時間范圍如表1所示。

表1　導(dǎo)彈初始參數(shù)

仿真采用兩種制導(dǎo)方法進(jìn)行對比:一是本文設(shè)計的帶導(dǎo)引頭視場限制的時間控制制導(dǎo)律;二是文獻(xiàn)[12]中采用目標(biāo)視角飽和切換策略的制導(dǎo)律,仿真步長取0.01 s,假定目標(biāo)坐標(biāo)為(0,0),導(dǎo)彈速度為300 m/s,導(dǎo)彈過載限制為5g,導(dǎo)引頭視場角范圍[-45°,45°],制導(dǎo)律中導(dǎo)引系數(shù)n=1,根據(jù)表1的導(dǎo)彈飛行時間范圍,合理選取攻擊時間40 s,圖5給出兩種方法彈道軌跡、目標(biāo)視角和導(dǎo)彈過載指令的仿真結(jié)果。

圖5　含過載及視場角約束的協(xié)同制導(dǎo)律仿真Fig.5　Simulation of cooperative guidance law with acceleration and field-of-view limit

圖5仿真結(jié)果表明,本文設(shè)計的制導(dǎo)律能夠?qū)崿F(xiàn)攻擊時間控制,并保證目標(biāo)視角始終在導(dǎo)引頭視場范圍內(nèi),最終精確命中目標(biāo)。文獻(xiàn)[12]采用制導(dǎo)律切換策略實現(xiàn)時間控制制導(dǎo)律滿足視場角約束:當(dāng)視場角未達(dá)到邊界值時,采用文獻(xiàn)[2]的時間控制制導(dǎo)律;當(dāng)視場角達(dá)到邊界值時,制導(dǎo)律切換為視場角保持制導(dǎo)律。這種制導(dǎo)律切換策略使得導(dǎo)彈過載指令在目標(biāo)視角飽和處發(fā)生跳變,如圖5(d)所示。本文設(shè)計的制導(dǎo)律避免了視場角邊界處的過載指令跳變,實現(xiàn)了過載指令的連續(xù)變化。

下面驗證設(shè)計的協(xié)同制導(dǎo)律在導(dǎo)彈編隊協(xié)同制導(dǎo)中的性能,假設(shè)共有4枚導(dǎo)彈參與協(xié)同攻擊,各導(dǎo)彈參數(shù)如表2所示,4枚導(dǎo)彈由不同方位以不同角度同時攻擊目標(biāo),各導(dǎo)彈制導(dǎo)時間可選范圍由式(53)計算給出。

表2　導(dǎo)彈初始參數(shù)及制導(dǎo)時間范圍

仿真步長取0.01 s,假定目標(biāo)坐標(biāo)為(0,0),導(dǎo)彈速度為300 m/s,導(dǎo)彈過載限制為5g,導(dǎo)引頭視場角范圍[-45°,45°],制導(dǎo)律中導(dǎo)引系數(shù)n=1。參考表2中各導(dǎo)彈飛行時間范圍,分別選取期望導(dǎo)引時間Td=36 s,40 s,43 s。表3給出4枚導(dǎo)彈不同期望導(dǎo)引時間脫靶量結(jié)果,仿真結(jié)果表明4枚導(dǎo)彈均可準(zhǔn)確命中同一目標(biāo)。圖6給出不同期望導(dǎo)引時間下導(dǎo)彈編隊協(xié)同攻擊的彈道軌跡,期望協(xié)同制導(dǎo)時間越小,導(dǎo)彈彈道軌跡越平直,反之,彈道越彎曲。圖7給出不同期望導(dǎo)引時間下4枚導(dǎo)彈的剩余飛行時間曲線,初始時刻各導(dǎo)彈剩余飛行時間略有不同,但飛行過程中很快收斂一致,最終同時命中目標(biāo)。期望協(xié)同制導(dǎo)時間越小,各導(dǎo)彈剩余飛行時間收斂速度越快,反之,收斂速度變慢。

表3　導(dǎo)彈不同攻擊時間下脫靶量

圖6　多導(dǎo)彈協(xié)同攻擊彈道圖Fig.6　Multi-missiles cooperative attack trajectories

圖7　多導(dǎo)彈不同剩余飛行時間Fig.7　Multi-missiles different time-to-go

仿真結(jié)果表明,應(yīng)用設(shè)計的帶視場角限制的時間可控制導(dǎo)律,導(dǎo)彈在飛行過程中目標(biāo)視角都不超出導(dǎo)引頭視場范圍,通過為導(dǎo)彈編隊指定一個共同的攻擊時間,保證了協(xié)同制導(dǎo)時間的一致性,最終實現(xiàn)了導(dǎo)彈編隊的齊射攻擊。

5　結(jié)　論

本文通過建立彈目運動數(shù)學(xué)模型,推導(dǎo)出時間可控制導(dǎo)律的解析解,通過增加導(dǎo)引頭視場角限制的偏置項,設(shè)計出一種綜合考慮攻擊時間及導(dǎo)引頭視場角限制的多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)律?？紤]導(dǎo)彈過載約束及視場角限制,由彈目運動幾何關(guān)系推算出最短彈道和最長彈道軌跡,從而確定協(xié)同制導(dǎo)時間的可選范圍。仿真結(jié)果表明,設(shè)計的協(xié)同制導(dǎo)律滿足攻擊時間約束及導(dǎo)引頭視場角限制條件,同時能夠精確命中目標(biāo)。該協(xié)同制導(dǎo)律主要針對靜止、低速移動目標(biāo)進(jìn)行設(shè)計,如何估計出目標(biāo)機動信息,將本方法應(yīng)用于打擊機動目標(biāo)的協(xié)同攻擊,值得進(jìn)一步研究。

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[15] Manchester I R, Savkin A V. Circular navigation guidance law for precision missile/target engagements[J].JournalofGuidance,ControlandDynamics,2006,29(2)：314-320.

Impacttimecontrolguidancelawwithfield-of-viewlimit

YANGZhe,LINDe-fu,WANGHui

(School of Aerospace Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

Toachievethecooperativeattackagainstthesametargetformulti-missiles,accordingtohomingguidancegeometry,anewcooperativeguidancelawisdevisedwithimpacttimecontrolandseeker’sfield-of-view(FOV)limit.Toderivetheguidancecommandoftheproposedlaw,apolynomialfunctionisintroducedtosatisfytheterminalimpacttimecontrol.Byaddingafeedbackofseeker’sFOVfunction,theproposedguidancelawcanachieveimpacttimecontrolandseeker’sFOVlimitatthesametime.Whenthelimitsofthemaneuveringaccelerationandtheseeker’sFOVaredefined,themissiletrajectorycanbedeterminedbytheinitialmissileparameters,thentheminimumandmaximumcooperativetimecanbecalculated.Simulationresultsshowthevalidityoftheproposedguidancelaw.

multi-missile;guidancelaw;cooperativeguidance;impacttime;field-of-view(FOV)

2015-03-10；

2015-11-23；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2016-02-18。

國家自然科學(xué)基金(61172182)資助課題

V448.133

ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.09.22

楊哲(1989-),男,博士研究生,主要研究方向為飛行器協(xié)同制導(dǎo)與控制。

E-mail: yangzhebest@bit.edu.cn

林德福(1971-),男,教授,博士,主要研究方向為飛行器總體設(shè)計、無人系統(tǒng)制導(dǎo)與控制。

E-mail: lindf@bit.edu.cn

王輝(1985-),男,講師,博士后,主要研究方向為飛行器動力學(xué)與控制。

E-mail: wh20031130@126.com

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160218.1207.002.html