褚會鋒

(菱湖中學　浙江 湖州　313018)

邱為鋼

(湖州師范學院理學院　浙江 湖州　313000)

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電荷擺球平衡問題

褚會鋒

(菱湖中學浙江 湖州313018)

邱為鋼

(湖州師范學院理學院浙江 湖州313000)

分析了電荷擺球平衡問題“陷阱”，問題來自兩個帶電小球相對位置的特殊性,即位于同一豎直線上.對于特殊情況，詳細分析了平衡穩(wěn)定位形和穩(wěn)定性與各參數(shù)的關(guān)系.

電荷擺球平衡穩(wěn)定性

中學物理力電模塊一個常見的模型是電荷擺球，一個帶電小球B固定，另一個帶電(同種電荷)小球A懸掛，求體系平衡時的位形.固定小球B，懸掛點O，懸掛小球A這三者位置沒有限制，可以任意擺放.如果出題者偏要把固定小球放在懸掛點的下方，這時就會出現(xiàn)文獻[1]所指出的“陷阱”問題，當兩個小球電量完全消失后，用力相似三角形和極限法計算得到的繩子拉力不一樣.我們先分析一般情況，說明“陷阱”問題的根源，然后就特殊情況詳細分析體系平衡時滿足的條件以及平衡的穩(wěn)定性判據(jù).

設一般情況下懸掛點為O，擺球為A，固定球為B，BA連線與O點正下方直線交于點C，如圖1所示.

設繩子中張力為T，擺球A重力G=mg，兩球庫侖力為F，繩長OA=l，OC=h，AC=d,那么由力相似三角形，得到

(1)

與文獻[1]特殊情況不同，這里的h是變化的，當兩球電荷逐漸變小到零時，F(xiàn)→0 ，d→0 ，h→l，T→G，沒有矛盾，也沒有“陷阱”.出現(xiàn)“陷阱”問題的根源在于題目設計得太巧了，固定小球正好在懸掛點的正下方.

圖1　電荷擺球示意簡圖

我們利用能量(勢能)方法[2]來求體系的平衡位形以及判斷平衡位形的穩(wěn)定性. 為簡單考慮，只討論固定小球B在懸掛點的正下方這種情況.此時h不變，擺球A與垂直線的夾角是θ，體系的勢能為重力勢能和相互作用電勢能之和

(2)

定義一個長度量為

(3)

(4)

由式(4)，求得總勢能對偏移角θ的偏微分

(5)

系統(tǒng)的平衡位形對應于E′(θ)的極值點，一般有兩個，一個是θ=0，另一個是以下方程的解

(6)

利用數(shù)學軟件，很容易在(η,λ)平面上畫出f(η,λ)=1的曲線，如圖2所示.

圖2　參數(shù)(η,λ)上的平衡位形類別分界線

這個曲線是一個分界線，在這個曲線左邊，f(η,λ)>1，式(6)無解，系統(tǒng)只有θ=0的平衡位形；在這個曲線右邊，f(η,λ)<1，系統(tǒng)有θ=0和θ=arccos[f(η,λ)]兩種平衡位形.解析計算表明，在θ=arccos[f(η,λ)]的平衡位形處，量綱歸一化后的總勢能E′ 近似為開口向上的拋物線，意味著這種平衡是穩(wěn)定平衡.在θ=0的平衡位形處，令Δθ=φ，把量綱歸一化后的總勢能式(4)展開到φ的兩次方，得到

(7)

由平衡穩(wěn)定性判據(jù)條件可知，當

時，θ=0的平衡位形是穩(wěn)定平衡；當

時，θ=0的平衡位形是不穩(wěn)定平衡.當λ=1時，即懸線長度等于懸掛點到固定小球的距離，如果兩個電荷不變，偏移角θ趨向于零，兩個帶電小球的庫侖力趨向無窮大，系統(tǒng)不可能到達θ=0的位形.這時，量綱歸一化的總勢能為

(8)

總勢能對偏移角θ的偏微分

(9)

高中物理各級各類考題大部分來自理論模型，理論模型中的物理參數(shù)、數(shù)學參數(shù)(幾何形狀、空間維數(shù)、相對位置等)千變?nèi)f化，不能只局限于最簡單的情形，這樣才能開闊思路，提升物理思維的周到緊密性.

1何海明.電荷擺球平衡問題的陷阱. 中學物理教學參考，2013，42(11):52～53

2黃尚鵬. 用能量的觀點求解平衡問題例析. 物理教學, 2014(6)

2016-01-09)