鄭 金

(凌源市職教中心　遼寧 朝陽(yáng)　122500)

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關(guān)于恒速物體間接做功的結(jié)論及應(yīng)用

鄭 金

(凌源市職教中心遼寧 朝陽(yáng)122500)

利用多種方法推導(dǎo)了恒速物體在發(fā)射質(zhì)點(diǎn)過(guò)程中對(duì)質(zhì)點(diǎn)間接做功的公式及有關(guān)結(jié)論，探究了不同參考系中某個(gè)力做的功、某個(gè)物體做的功,以及媒介物體對(duì)加速物體做的功或提供的能量的計(jì)算方法，并對(duì)相關(guān)物理問(wèn)題從多角度進(jìn)行解答.

恒速物體參考系做功能量

在恒速運(yùn)動(dòng)的物體上通過(guò)間接物體向前或向后發(fā)射質(zhì)點(diǎn)，由于質(zhì)點(diǎn)與恒速物體通過(guò)間接物體相互作用，因此在地面參考系中對(duì)變速質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)能定理列方程時(shí)，要考慮恒速物體對(duì)變速質(zhì)點(diǎn)間接做的功，稱(chēng)為“借物傳功”，對(duì)于這種功的大小有確定的關(guān)系式，用來(lái)解答有關(guān)的物理問(wèn)題可化繁為簡(jiǎn)，拓展思路.

1　結(jié)論推導(dǎo)

現(xiàn)以質(zhì)量相差懸殊的兩個(gè)平動(dòng)物體相互作用后分離的情況為例，來(lái)推導(dǎo)出恒速物體發(fā)射質(zhì)點(diǎn)做功多少的一個(gè)結(jié)論.

【問(wèn)題】在光滑水平面上，質(zhì)量為M的平板車(chē)，以速度v0做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，車(chē)上的發(fā)射裝置沿水平方向向前發(fā)射一個(gè)質(zhì)量為m的小球，使之獲得速度v，若M?m，求發(fā)射小球時(shí)平板車(chē)對(duì)小球做的功.

解析:對(duì)于在平板車(chē)上向前發(fā)射小球的過(guò)程，由于M?m，則可認(rèn)為平板車(chē)以恒速v0運(yùn)動(dòng).在發(fā)射小球時(shí)為了維持平板車(chē)恒速，需由系統(tǒng)之外的力對(duì)平板車(chē)提供能量ΔE.設(shè)平板車(chē)發(fā)生的位移為s0，則外力對(duì)平板車(chē)做的功為Fs0=ΔE，由于平板車(chē)受力平衡，則外力F與彈簧對(duì)平板車(chē)的作用力f大小相等，方向相反；由于彈簧質(zhì)量為零，那么彈簧對(duì)小球的作用力f′與f大小相等，方向相反.因此外力F與彈簧對(duì)小球的作用力f′大小相等，方向相同，即F=f′.對(duì)小球由動(dòng)量定理有f′t=m(v-v0)，則Ft=m(v-v0)，而s0=v0t，所以維持平板車(chē)勻速運(yùn)動(dòng)所需的能量為

W0=Fs0=m(v-v0)v0=muv0

當(dāng)以平板車(chē)為參考系時(shí)，車(chē)對(duì)小球不做功；當(dāng)以地面為參考系時(shí)，維持車(chē)勻速運(yùn)動(dòng)的外力對(duì)車(chē)做的功為W0，彈簧釋放的彈性勢(shì)能為Q，因此車(chē)和小球組成的系統(tǒng)增加的能量為W0+Q，由于車(chē)的動(dòng)能保持不變，所以系統(tǒng)增加的能量全部轉(zhuǎn)化為小球的動(dòng)能，即對(duì)系統(tǒng)由動(dòng)能定理有

該式是關(guān)于恒速物體與變速物體通過(guò)中間物體相互作用時(shí)系統(tǒng)滿(mǎn)足的功能關(guān)系式.

但如果認(rèn)為此式是對(duì)小球應(yīng)用功能關(guān)系，那么方程中的W0就相當(dāng)于恒速物體對(duì)變速物體通過(guò)中間物體做的功，實(shí)際是系統(tǒng)之外的力對(duì)系統(tǒng)做的功，稱(chēng)為“借物傳功”.平板車(chē)與小球不接觸，則沒(méi)有直接作用，只能通過(guò)彈簧間接作用.

結(jié)論:若在水平方向以恒速v0運(yùn)動(dòng)的物體上向前發(fā)射一個(gè)質(zhì)點(diǎn)m，使其速度由v0增大到v，則恒速物體對(duì)加速質(zhì)點(diǎn)間接做的功等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與相對(duì)速度和恒定速度之積，即W0=m(v-v0)v0=muv0.

2　結(jié)論應(yīng)用

對(duì)于某些恒速物體通過(guò)媒介物體發(fā)射質(zhì)點(diǎn)的物理問(wèn)題，或某些質(zhì)量較大物體通過(guò)媒介物體發(fā)射質(zhì)量較小物體的物理問(wèn)題，在以地面為參考系時(shí)，都可利用恒速物體間接做功的結(jié)論來(lái)解答.

【例1】質(zhì)量為M的輪船以速率v0行駛，向其前進(jìn)方向水平發(fā)射一質(zhì)量為m的炮彈，炮彈出口速度為u(相對(duì)于船)，若M?m，試問(wèn)：火藥推力對(duì)炮彈做的功為多少？火藥對(duì)炮彈提供的能量為多少？

解法1:用常規(guī)方法

以地面為參考系，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有

(M+m)v0=Mv+m(u+v)

可得輪船的速度為

炮彈的動(dòng)能增量為

輪船的動(dòng)能增量為

設(shè)火藥推力大小為F，輪船發(fā)生的位移大小為s0，炮彈相對(duì)于輪船的位移大小為s′，則對(duì)炮彈和輪船分別由動(dòng)能定理有

W=F(s0+s′)=ΔEk

因此火藥推力對(duì)炮彈做的功為

火藥對(duì)炮彈提供的能量為

即

取輪船的質(zhì)量M→∞，則

解法2:利用結(jié)論法

再以地面為參考系，則輪船對(duì)炮彈間接做的功為W0=muv0，根據(jù)火藥推力對(duì)炮彈做的功等于“借物傳功”與炮彈獲得能量之和得

由此可見(jiàn)，對(duì)于有關(guān)在恒速物體或質(zhì)量很大的物體上發(fā)射質(zhì)點(diǎn)的問(wèn)題，可直接應(yīng)用結(jié)論來(lái)解答.

【例2】一人手里拿著一個(gè)質(zhì)量為1 kg的鐵球隨車(chē)一起以1 m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)在人要以2 m/s的速度把這個(gè)鐵球向前拋出，問(wèn)：人做的功為多少？鐵球獲得的能量為多少？(設(shè)車(chē)速不變)

解法1:由于車(chē)速不變，則可選取車(chē)為慣性參考系.在該參考系中，人對(duì)車(chē)不做功，只對(duì)鐵球做功.開(kāi)始鐵球相對(duì)車(chē)的速度為零，后來(lái)鐵球相對(duì)車(chē)的速度為u=v2-v1，對(duì)鐵球由動(dòng)能定理有

所以鐵球獲得人提供的能量為0.5 J.

解法2:若以地面為參考系，則鐵球動(dòng)能的增量為

由于勻速運(yùn)動(dòng)的車(chē)對(duì)鐵球間接做的功為

W0=m(v2-v1)v1=1 J

所以人提供給鐵球的能量為0.5 J.

如果將人視為彈簧，則人手推力做的功相當(dāng)于彈簧做的功，等于彈簧彈力對(duì)小球做的功與彈簧彈力對(duì)車(chē)做的功之和，即為一對(duì)彈力做的功，恰好等于彈簧的彈性勢(shì)能，所以人做的功等于人消耗的能量.由于車(chē)的動(dòng)能保持不變，所以鐵球獲得人的能量為0.5 J.由于勻速運(yùn)動(dòng)的車(chē)對(duì)鐵球間接做的功為W0=1 J，所以鐵球獲得的總能量為1.5 J.

【例3】某人在以速率v行使的大船上先以速率u(相對(duì)船)向船頭方向投球，再以相同速率u(相對(duì)船)向船尾方向投球，試問(wèn)：在兩次投球中，對(duì)球做的功是否相同？人做的功是否相同？

在大船參考系中，人對(duì)船不做功，所以人做的功就是人對(duì)球做的功，是相同的.

解法2：以地面為參考系，則人向前投球時(shí)對(duì)球做的功即球的動(dòng)能增量為

向后投球時(shí)對(duì)球做的功即動(dòng)能增量為

可見(jiàn)在兩種情況下人對(duì)球做的功不相同.

人做的功等于人對(duì)球做的功與人對(duì)船做的功之和，人對(duì)球做的功即為球的動(dòng)能變化，而向前拋球時(shí)船對(duì)球間接做的功為W0=muv0，則人對(duì)船做的功為負(fù)值，可知人做的功為

可見(jiàn)在兩種情況下人做的功相同.

【例4】有一輛正在向東以5 m/s的速度勻速行駛的大平板車(chē)，車(chē)上固定一張桌子，桌面上固定一個(gè)彈射器，使其方向正對(duì)向西，將彈簧壓縮后鎖定，彈性勢(shì)能為Ep=5 J，把一個(gè)質(zhì)量為0.1 kg的彈丸裝入其中，解鎖后，彈丸被彈出彈射器，求其彈出瞬間對(duì)地的速度為多少？

解法1:以車(chē)為參考系，由機(jī)械能守恒定律有

可得v1=10 m/s.這是彈丸相對(duì)車(chē)的速度，可知彈丸相對(duì)地的速度大小為v2=v1-v0=5 m/s，方向向西.

1李高斌.對(duì)功、能問(wèn)題幾個(gè)易混淆概念的討論.物理教學(xué)，2007(4)：10

2李敬華.功和能的相對(duì)性.數(shù)理天地，2008(11)：27

3袁芳，朱炯明.功、動(dòng)能和機(jī)械能.物理教學(xué)，2012(7)：6

4尚俊明.關(guān)于“兩次投球做功是否相同”的討論.物理教學(xué)，2006(3)：36

5喬美玉，劉海.也談發(fā)射衛(wèi)星至少需要多少燃料問(wèn)題.物理教學(xué)，2009(6)：58

6王宗昌.再談“兩次投球做功是否相同”的問(wèn)題.物理教學(xué)，2006(8)：43

7張瑋.再談衛(wèi)星發(fā)射需要多少燃料.物理教學(xué)，2007(11)：52

2015-10-12)