張子珍

(山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院　山西 大同　037009)

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光波的多普勒效應(yīng)*

張子珍①

(山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院山西 大同037009)

光波的多普勒效應(yīng)屬狹義相對(duì)論的范疇，本文用幾何語(yǔ)言和非幾何語(yǔ)言的狹義相對(duì)論知識(shí)推導(dǎo)了光波的多普勒效應(yīng)公式，并且將兩種方法作了比較分析.

狹義相對(duì)論幾何語(yǔ)言多普勒效應(yīng)

1　非幾何語(yǔ)言中狹義相對(duì)論的多普勒效應(yīng)

1.14波矢的引入

按照洛倫茲變換下的變換性質(zhì)，物理量分為3類：洛倫茲標(biāo)量、矢量、張量[1].電磁波的相位因子φ是洛倫茲標(biāo)量，即由∑系變到∑′系時(shí)

φ=φ′

(1)

電磁波傳播因子為eiφ,其中φ在∑系的表達(dá)式為

φ=k·x-ωt

在∑′系的表達(dá)式為

φ′=k′·x′-ω′t′

因相位是洛倫茲標(biāo)量，故

k·x-ωt=k′·x′-ω′t′

(2)

(3)

且

1.2kμ在洛倫茲變換下的變換關(guān)系

(4)

其中aμν為洛倫茲變換矩陣.

(5)

(6)

其中ω′為光源的靜止參考系∑′測(cè)得的光源的頻率，即固有頻率ω0，k1為∑系的波矢量k的1分量，設(shè)k與x軸夾角為θ，則k1=kcosθ，在∑系測(cè)得光源的頻率ω為

(7)

式(7)即為多普勒效應(yīng).

當(dāng)θ=0時(shí)，得

當(dāng)θ=π時(shí)，得

2　幾何語(yǔ)言中狹義相對(duì)論的多普勒效應(yīng)

2.14勢(shì)Aa的引入

在四維幾何語(yǔ)言中，電磁場(chǎng)張量Fab是2形式場(chǎng)，由麥克斯韋方程組?[aFbc]=0，可知Fab是閉的，又因?yàn)楸尘傲餍螢镮R4,IR4是單連通流形，單連通流形上閉的微分形式必是恰當(dāng)?shù)?，故F是恰當(dāng)?shù)?即IR4存在1形式場(chǎng)Aa,使F=dA, 或Fab=?aAb-?bAa,Aa就是電磁場(chǎng)的4勢(shì)[2].

2.2 4勢(shì)的微分方程及洛倫茲規(guī)范條件

四維幾何語(yǔ)言中的麥克斯韋方程組

?aFab=-4πJb

(8)

用4勢(shì)表達(dá)為

?a?aAb-?a?bAa=

?a?aAb-?b?aAa=-4πJb

(9)

洛倫茲規(guī)范條件

?aAa=0

(10)

將式(10)代入式(9)，得

?a?aAb=-4πJb

(11)

式(11) 就是4勢(shì)滿足的微分方程，即達(dá)朗貝爾方程.

無(wú)源電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程

?a?aAb=0

(12)

2.3波動(dòng)方程的解及光子的4波矢Ka

對(duì)波動(dòng)方程式(12)取形式為

Ab=Cbcosθ

(13)

的解，將式(13)代入到式(12)中，得

?a?aAb=?a?a(Cbcosθ)=Cb?a(sinθ?aθ)=

-Cb(cosθ)?aθ?aθ-Cbsinθ?a?aθ=0

故滿足

?aθ?aθ=0

(14)

?a?aθ=0

(15)

的式(13)則為式(12)的解.令Ka=?aθ,由式(14)，有

KaKa=0

(16)

又根據(jù)式(16)

?b(KaKa)=2Ka?bKa=2Ka?b?aθ=

2Ka?a?bθ=2Ka?aKb=0

Ka是躺在類光超曲面上的類光測(cè)地線，由Ka=?aθ，得

(dθ)a=Ka=Kμ(dxμ)a

(17)

由式(15)得?aKa=0,Ka是常矢量，積分式(17)，得

θ=Kμxμ+θ0

(18)

將式(18)代入式(13)，得

Ab=Cbcos(Kμxμ+θ0)

(19)

Ka在慣性系{t,xi} 中的3+1分解：取K0=ω，得

(20)

取θ0=0，得

Ab=Cbcos(-ωt+kixi)

Ka就是光子的4波矢.

2.4多普勒效應(yīng)

如圖1，設(shè)光源和觀者有任意的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其世界線為任意的類時(shí)線，4速分別為Va，Ua.設(shè)光子的4波矢為Ka

θ=-ωt+kixiKa=ωZa+ka

圖1　光波的多普勒效應(yīng)

光源在p點(diǎn)發(fā)出的光線被觀者在q點(diǎn)接收.發(fā)光時(shí)Va測(cè)得的角頻率為

接收光時(shí)Ua測(cè)得的角頻率為

Ka=ωVa+ka

γ=-VaUa

Ua=γVa+γua

則

-(ωVa+ka)(γVa+γua)=

γ(ω-kaua)

設(shè)空間矢量ka和ua的夾角為θ，則

ω′=γω(1-ucosθ)

若θ=0,則

紅移.

若θ=π，則

藍(lán)移.

ω′=γω

即橫向多普勒效應(yīng).

3　兩種方法的比較

通過(guò)非幾何語(yǔ)言與幾何語(yǔ)言狹義相對(duì)論對(duì)多普勒效應(yīng)的推導(dǎo)，可以看出：非幾何語(yǔ)言簡(jiǎn)單、明了，僅通過(guò)四維矢量的洛倫茲變換關(guān)系就可推出多普勒效應(yīng)[3,4].但不足之處是人為地引入了相位不變性，即設(shè)定相位是洛倫茲標(biāo)量.在幾何語(yǔ)言的狹義相對(duì)論中，從微分幾何的二形式場(chǎng)出發(fā)，引入4 勢(shì)Aa，代入麥克斯韋方程組，得出4 勢(shì)Aa的波動(dòng)方程，解無(wú)源電磁波的波動(dòng)方程，自然地引入4波矢Ka，并且Ka的物理意義非常明確，它是類光矢量，而且是由θ=c給出類光超曲面的法矢量，Ka是躺在類光超曲面上的類光測(cè)地線.通過(guò)Ka在慣性系{t,xi}的3+1分解，很自然得出多普勒效應(yīng).但幾何語(yǔ)言所用的數(shù)學(xué)知識(shí)深?yuàn)W，理論性強(qiáng)，比較難懂，對(duì)狹義相對(duì)論的理解可以上一個(gè)很高的臺(tái)階，而且為后續(xù)廣義相對(duì)論的學(xué)習(xí)打下了扎實(shí)的基礎(chǔ).但對(duì)沒(méi)有接觸微分幾何的學(xué)者來(lái)說(shuō)，普通電動(dòng)力學(xué)教材狹義相對(duì)論的講法不失為一種通俗、易懂的方法.

1郭碩鴻.電動(dòng)力學(xué)(第3版)．北京：高等教育出版社,2008.06

2梁燦彬.微分幾何入門與廣義相對(duì)論(上冊(cè)). 北京：北京師范大學(xué)出版社,2002.06

3章敏. 大學(xué)物理中多普勒效應(yīng)的教學(xué)體會(huì).數(shù)理與化學(xué)研究,2013(06)

4姚曉玲,宋世軍.多普勒效應(yīng)及其應(yīng)用探討. 漯河職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2014,13(5):87～88

The Doppler Effect of Light Wave

Zhang Zizhen

(College of Physics and Electric Science, Datong University, Datong, Shanxi037009)

The doppler effect of light belong to the category of special relativity. We derived the formula for light wave doppler effect using geometry and non-geometry languages of special relativity , and made a comparative analysis of two kinds of methods.

special relativity; geometry language ; doppler effect

張子珍(1965-)，女，教授，研究方向?yàn)槲锢斫虒W(xué)與理論物理.

2016-02-03)

①*高等學(xué)校數(shù)學(xué)物理方法課程教學(xué)研究項(xiàng)目,項(xiàng)目編號(hào)：JZW-14-SL-14