陳子明　黃　坤　張　揚(yáng)　丁華鋒　黃　真

1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實驗室,秦皇島,0660042.燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點實驗室，秦皇島，0660043.中國地質(zhì)大學(xué),武漢,430074

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一種無匯交軸線對稱三轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動分析

陳子明1,2黃坤1,2張揚(yáng)1,2丁華鋒3黃真1,2

1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實驗室,秦皇島,0660042.燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點實驗室，秦皇島，0660043.中國地質(zhì)大學(xué),武漢,430074

傳統(tǒng)的三自由度轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)(又稱球面并聯(lián)機(jī)構(gòu))一般都有一個轉(zhuǎn)動中心，且這個中心點往往是分支間多個運(yùn)動副軸線的匯交點，這種嚴(yán)格的幾何條件給機(jī)構(gòu)的加工制造帶來很大的難度，制約了這類機(jī)構(gòu)的應(yīng)用。針對此，提出了一種無匯交軸線的對稱三轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其三個分支對稱布置，分支內(nèi)及分支間均無匯交軸線。對機(jī)構(gòu)進(jìn)行了位置反解，得到了機(jī)構(gòu)四種對稱的裝配構(gòu)型；從分支運(yùn)動奇異、平臺約束奇異和驅(qū)動奇異三個方面對機(jī)構(gòu)進(jìn)行了奇異分析；最后給定了一組尺寸參數(shù)，采用數(shù)值搜索的方法得到了機(jī)構(gòu)的姿態(tài)工作空間。通過結(jié)果可以看出,該機(jī)構(gòu)可以實現(xiàn)三維轉(zhuǎn)動，具有較大的姿態(tài)工作空間，而且制造裝配相對容易，具有很好的應(yīng)用前景。

三自由度轉(zhuǎn)動;并聯(lián)機(jī)構(gòu);匯交軸線;奇異;姿態(tài)工作空間

0　引言

三自由度轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)是十分重要的一類少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，在衛(wèi)星跟蹤隨動裝置、數(shù)控回轉(zhuǎn)臺等需要變換姿態(tài)的場合中具有廣泛的應(yīng)用前景。

傳統(tǒng)的三自由度轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)又稱為球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)。最典型的球面機(jī)構(gòu)是Cox[1]在1981 年提出的3-RRR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)，很多學(xué)者針對這種機(jī)構(gòu)作了進(jìn)一步的研究[2-5]。

近年來，各種不同的球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)相繼被提出。例如，Karouia等[6]設(shè)計的3-UPU球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，李秦川等[7]提出的3-PC(RR)N球面三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，Di Gregorio[8-10]設(shè)計的一類單環(huán)手腕機(jī)構(gòu)，Valasek等[11]設(shè)計的含冗余約束的球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，趙云峰等[12]設(shè)計的含中間約束分支的3-UPS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)。一些學(xué)者對球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的型綜合進(jìn)行了相關(guān)研究[13-14]，并用不同的方法對球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)作了深入的分析[15-21]。

然而，傳統(tǒng)的三轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)中往往含有多個空間匯交的運(yùn)動副軸線，這種嚴(yán)格的幾何條件給機(jī)構(gòu)的加工制造帶來很大的困難。一旦這種匯交關(guān)系沒有得到滿足，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動性質(zhì)就會發(fā)生改變。

Huang等[22]在1995年曾提出一種無匯交軸線的3-RPS并聯(lián)角臺機(jī)構(gòu)，并在之后運(yùn)用螺旋理論分析了各種角臺式并聯(lián)機(jī)構(gòu)[23-24]。陳子明等[25]分析了兩種三自由度并聯(lián)角臺機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動空間，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出了這類無匯交軸線的三轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)的型綜合方法[26]。

本文介紹了一種無匯交軸線的三轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并對其進(jìn)行了運(yùn)動學(xué)求解、轉(zhuǎn)動空間計算以及奇異位形分析。

1　自由度分析

3-[RPR]RR三自由度轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖1所示，機(jī)構(gòu)由定平臺、動平臺以及三個相同的[RPR]RR分支構(gòu)成。每個分支由轉(zhuǎn)動副R1、移動副P2以及轉(zhuǎn)動副R3、R4、R5依次連接構(gòu)成。R1、R3相互平行，P2與R1、R3垂直，這三個運(yùn)動副構(gòu)成一個三自由度的平面子鏈[RPR]。轉(zhuǎn)動副R4與R3相互垂直，轉(zhuǎn)動副R5與R4相互垂直。R1與定平臺傾斜連接，R5與動平臺垂直連接。

圖1　3-[RPR]RR并聯(lián)機(jī)構(gòu)

如圖2所示，在分支中建立一個局部坐標(biāo)系oiuiviwi，坐標(biāo)系的原點位于轉(zhuǎn)動副R4的中心點，坐標(biāo)軸ui沿分支轉(zhuǎn)動副R4的軸線方向，坐標(biāo)軸wi與分支第一個轉(zhuǎn)動副R1的軸線平行，坐標(biāo)軸vi的方向由右手定則確定。分支的運(yùn)動螺旋系可以表示為

(1)

其中，d1、e1、d2、e2、d3、e3、b5、c5是與各轉(zhuǎn)動副的方向和位置相關(guān)的量。

圖2　[RPR]RR分支

根據(jù)分支運(yùn)動螺旋系與約束螺旋系的關(guān)系可以求出分支的約束螺旋為

(2)

這個約束螺旋表示的是一個經(jīng)過分支坐標(biāo)系原點且平行于分支第一個轉(zhuǎn)動副軸線的約束力。對于整個機(jī)構(gòu)來說，三個分支一共對動平臺施加了三個約束力。

利用修正的G-K公式，可以求得機(jī)構(gòu)的自由度M=6(14-15-1)+15+0=3。

由于每個分支中的第一個轉(zhuǎn)動副固連于定平臺上，其軸線方向不會隨機(jī)構(gòu)的運(yùn)動而發(fā)生變化,于是，各分支約束力的方向相對于定平臺始終保持不變。對于整個機(jī)構(gòu)，根據(jù)分支布置的對稱性可知，動平臺上一共施加有三個約束力,這三個約束力的方向均沿各分支的定平臺轉(zhuǎn)動副軸線方向。機(jī)構(gòu)動平臺始終受到空間交錯的三個約束力，限制了動平臺的三個移動自由度，動平臺剩下三個轉(zhuǎn)動自由度。

根據(jù)螺旋互逆原理，可以求得3-[RPR]RR機(jī)構(gòu)動平臺在這三個約束力作用下的運(yùn)動螺旋系為一個一般的三階螺旋系，其中既包含節(jié)距為零的純轉(zhuǎn)動,又包含節(jié)距為有限值的一般螺旋運(yùn)動。這與傳統(tǒng)的球面三自由度轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)是不同的，球面三自由度轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)繞定點的轉(zhuǎn)動，而3-[RPR]RR機(jī)構(gòu)動平臺在轉(zhuǎn)動過程中沒有固定的轉(zhuǎn)動中心。由于3-[RPR]RR機(jī)構(gòu)動平臺能夠?qū)崿F(xiàn)空間任意三維姿態(tài)，因而還是將其稱作為三自由度轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

2　位置反解及裝配構(gòu)型

2.1位置反解

機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系的建立如圖 3所示。定坐標(biāo)系{B}與動坐標(biāo)系{M}的原點分別設(shè)在定平臺、動平臺的中心點。定坐標(biāo)系的X軸沿OA1方向，Z軸垂直于定平臺。動坐標(biāo)系的x軸沿PD1方向，z軸垂直于動平臺。定平臺、動平臺的邊長分別為la和lb。圖3中，l34、l45分別為對應(yīng)轉(zhuǎn)動副間的連桿長度。

圖3　機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系的建立

在對機(jī)構(gòu)進(jìn)行反解時，機(jī)構(gòu)動平臺的姿態(tài)是已知的，其姿態(tài)矩陣可表示為

假設(shè)動平臺中心點坐標(biāo)為

P=[PXPYPZ]T

則動平臺三個頂點在{M}中的坐標(biāo)為

利用坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換公式，可得D1、D2、D3在{B}中的坐標(biāo)為

(3)

(4)

(5)

定平臺三個頂點在{B}中的坐標(biāo)為

(6)

機(jī)構(gòu)第i個分支中的5個運(yùn)動副的螺旋可以分別表示為

(7)

其中,sij和rij分別為分支i中第j個運(yùn)動副的軸線方向向量和空間位置向量，且

(8)

由于$i5的方向與動坐標(biāo)系的z軸同向，因此其方向向量為

si5=(ax,ay,az)T

(9)

每個分支的第一個轉(zhuǎn)動副固定在定平臺上，且與定平臺的夾角為α，如圖4所示。以第一個分支為例，s11可以看作由一條與Y軸平行的直線繞X軸旋轉(zhuǎn)α角而得到，即

其中，RX(α)表示繞X軸轉(zhuǎn)動α角的旋轉(zhuǎn)矩陣。

圖4　定平臺轉(zhuǎn)動副

由于三個分支的第一個轉(zhuǎn)動副關(guān)于Z軸對稱分布，因此另外兩個分支的$21和$31可以通過對$11進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換得到：

s21=RZ(120°)·s11

s31=RZ(-120°)·s11

每個分支中，$i1和$i3相互平行，有

si1=si3

由于$i4始終與$i3、$i5都保持垂直，因此

$i5已知，而$i4與$i5垂直，距離為桿長l45，可推導(dǎo)出$i4的位置向量為

(10)

同理，$i3始終與$i4垂直，距離為桿長l34，可推導(dǎo)出$i3的位置向量為

(11)

如圖3所示，機(jī)構(gòu)運(yùn)動過程中，連桿l34始終垂直于$i1，所以有

(ri4-ri1)·si1=0

(12)

式中，ri1、si1為對應(yīng)定平臺轉(zhuǎn)動副的位置向量和方向向量，為已知量。

聯(lián)立式(5)～式(10)，可以得到ri4關(guān)于PX、PY、PZ的表達(dá)式。當(dāng)i取1、2、3時，由式(12)可得到三個關(guān)于PX、PY、PZ的方程，從而得到P點絕對坐標(biāo)。將PX、PY、PZ代入(10)、式(11)，即可求出ri4及ri3。

分支中移動副的方向矢量為

si2=ri3-ri1

至此，三個分支中的所有運(yùn)動副的方向和位置都已經(jīng)得到。

選取每個分支的移動副作為驅(qū)動副，則可以求得驅(qū)動桿的長度為

di=|ri3-ri1|

至此，就完成了機(jī)構(gòu)的反解。根據(jù)式(10)、式(11)可知，每個分支在反解時都有四組解。

2.2裝配構(gòu)型

根據(jù)機(jī)構(gòu)分支的四組反解，可以得到機(jī)構(gòu)對應(yīng)的四種對稱的裝配構(gòu)型，如圖5所示。

(a)裝配構(gòu)型1 　　　　 　　 (b)裝配構(gòu)型2

(c)裝配構(gòu)型3 　　　　 　　 (d)裝配構(gòu)型4圖5　機(jī)構(gòu)的四種裝配構(gòu)型

3　奇異分析

本文中對機(jī)構(gòu)的奇異分析采用Fang等[27]的分類方法，并運(yùn)用螺旋理論和線幾何來判別機(jī)構(gòu)的奇異位形。根據(jù)上述分類方法，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異可以分為三種：分支運(yùn)動奇異(limb singularity)、平臺約束奇異(platform singularity)和驅(qū)動奇異(actuation singularity)。

3.1分支運(yùn)動奇異

在某些位形下，分支運(yùn)動螺旋系產(chǎn)生線性相關(guān)時，機(jī)構(gòu)輸出構(gòu)件自由度減少，稱之為分支運(yùn)動奇異。

觀察式(1)，可以看到分支的運(yùn)動螺旋系最后一列元素均為0，所以矩陣的秩僅取決于其前五列。取螺旋系前五列得到方陣A：

A=001d1e1000d2e2001d3e3100000b5c511é?êêêêêêù?úúúúúú

對方陣A進(jìn)行分塊，可以很容易得到A的行列式值為

(1)當(dāng)b5=0時，分支運(yùn)動螺旋系可表示如下：

$i1=(001;d1e10)

$i2=(000;d2e20)

$i3=(001;d3e30)

$i4=(100; 000)

$i5=(00c5; 100)

通過觀察，容易得到其約束螺旋系為

對比式(2)可以看出，此時分支約束螺旋系增加了一個約束力偶，所以發(fā)生這種奇異時，該分支會額外限制動平臺的一個轉(zhuǎn)動自由度。

b5=0時，$i5的方向向量變?yōu)?0,0,c5)，即與si1、si3平行。如圖6所示，分支中后兩個連桿間夾角γi=0°或者γi=180°時，分支中轉(zhuǎn)動副R3與R5軸線平行，機(jī)構(gòu)就會產(chǎn)生這種奇異。

(a)γi=0°　　　　　　(b)γi=180°圖6　分支運(yùn)動奇異

如圖5所示，該機(jī)構(gòu)四種裝配構(gòu)型中，構(gòu)型1和構(gòu)型2以及構(gòu)型3和構(gòu)型4的區(qū)別均在于轉(zhuǎn)動副R4兩端連桿的相對位置不同。當(dāng)R4的轉(zhuǎn)角為0°或180°時，R3和R5的軸線平行，轉(zhuǎn)動副R5與平面子鏈中兩個轉(zhuǎn)動副產(chǎn)生線性相關(guān)，即發(fā)生圖6所示的分支運(yùn)動奇異。其中構(gòu)型1和構(gòu)型4較容易發(fā)生γi=180°的這種奇異，而構(gòu)型2和構(gòu)型3則較容易發(fā)生γi=0°的這種奇異。

3.2平臺約束奇異

當(dāng)機(jī)構(gòu)的約束螺旋系發(fā)生線性相關(guān)時，動平臺受到的約束減少，自由度增加，這種奇異稱之為平臺約束奇異。

對于3-[RPR]RR機(jī)構(gòu)，每個分支對動平臺施加一個約束力。由螺旋理論，只有當(dāng)共面匯交于一點、共面平行或共軸時，這三個力線矢才會線性相關(guān)，如圖7所示。

(a)共面匯交 　 (b) 共面平行　　 (c) 共軸圖7　三個約束力線矢線性相關(guān)的條件

而對于本文分析的這個機(jī)構(gòu)，其動平臺受到的三個約束力分別與各分支的第一個轉(zhuǎn)動副相平行，而每個分支的第一個轉(zhuǎn)動副固連在定平臺上且與定平臺傾斜布置，所以這三個約束力在空間相互交錯，不會發(fā)生圖7所示的線性相關(guān)。也就是說，機(jī)構(gòu)不存在這種奇異。

3.3驅(qū)動奇異

驅(qū)動奇異是指當(dāng)所有驅(qū)動副鎖住后，動平臺仍保留未被約束掉的自由度。

如圖8所示，當(dāng)鎖住3-[RPR]RR機(jī)構(gòu)三個分支中的移動副后，機(jī)構(gòu)分支可看作是一個4R支鏈。建立與圖2中相同的分支坐標(biāo)系oiuiviwi，則分支的運(yùn)動螺旋系可以表示為

圖8　[RR]RR分支約束力

由螺旋互易原理可知，一定存在兩個線性無關(guān)且與這四個運(yùn)動螺旋都相逆的反螺旋。

如圖8所示，能夠找到兩條直線與分支中所有轉(zhuǎn)動副軸線共面，其中一條與wi軸重合，另一條在平面P1內(nèi)且過點E和點F。圖8中，P1是$i1、$i3所在平面，E和F分別是$i4、$i5與平面P1的交點。根據(jù)螺旋理論，任意兩個共面的線矢量一定互逆，所以，這兩條直線所決定的兩個線矢量一定與運(yùn)動螺旋系中四個線矢量互逆，構(gòu)成分支的約束螺旋系,可以表示為

由于每個線矢量表示一個約束力，所以三個分支對動平臺一共施加六個約束力，則動平臺的約束螺旋系可以表示為

如圖9所示，六個約束力分別由六個矢量表示，它們分布在圖9所示這六個不同的平面內(nèi)。在一般位形下，這六個約束力線性無關(guān)，動平臺能夠由所選定的三個驅(qū)動完全控制，不發(fā)生奇異。

圖9　動平臺所受約束力

4　工作空間分析

對于三自由度轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間，主要研究的是其轉(zhuǎn)動能力，為了能夠直觀地描述機(jī)構(gòu)的運(yùn)動姿態(tài)，這里采用Bonev等[28]提出的一種修正的歐拉角，即Tilt-and-Torsion(T&T)歐拉角。相比傳統(tǒng)歐拉角，這種T&T歐拉角對機(jī)構(gòu)三維轉(zhuǎn)動的描述更加直觀。

如圖10所示，動平臺由初始位形運(yùn)動到圖10所示位置的轉(zhuǎn)動過程可以用三個歐拉角來描述：φ指示偏轉(zhuǎn)軸線位置，θ表示偏轉(zhuǎn)角大小，ψ表示自轉(zhuǎn)角大小。

圖10　T&T歐拉角

任意給定一組歐拉角，就可以得到機(jī)構(gòu)此時的姿態(tài)矩陣。然后代入前面的反解計算，并按照所給定的約束條件進(jìn)行判別，即可判斷出所給的一組歐拉角是否在機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動空間內(nèi)。在此基礎(chǔ)上，按一定的規(guī)律搜索出三個歐拉角的變化范圍，并將其范圍在三維空間中表示出來，即得到機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動空間。這里采用圓柱坐標(biāo)系來描述機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動空間，三個歐拉角(φ,θ,ψ)分別為圓柱坐標(biāo)系的角度坐標(biāo)、徑坐標(biāo)和豎坐標(biāo)[25]。

圖11　機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動空間

圖12　轉(zhuǎn)動空間的最大內(nèi)切子空間

由圖11可以看出：①機(jī)構(gòu)的自轉(zhuǎn)范圍可達(dá)(-44°,58°)。②ψ在0°左右時，機(jī)構(gòu)的偏轉(zhuǎn)能力較大，動平臺朝各個方向的最大偏轉(zhuǎn)角約為θ=50°。

5　數(shù)值算例

這里給出機(jī)構(gòu)工作空間內(nèi)兩個極限位置的算例，如表1所示，并通過三維模型進(jìn)行了驗證，如圖13、圖14所示。

表1　數(shù)值算例

圖13　最大偏轉(zhuǎn)狀態(tài)(φ=0°，θ=54°，ψ=-8°)

圖14　最大自轉(zhuǎn)狀態(tài)(φ=0°，θ=0°，ψ=58°)

6　結(jié)論

(1)提出了一種3-[RPR]RR對稱三自由度轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)不存在空間匯交的運(yùn)動副軸線，制造工藝相對簡單。

(2)機(jī)構(gòu)的動平臺能夠?qū)崿F(xiàn)空間任意三維轉(zhuǎn)動，但其自由度性質(zhì)不同于傳統(tǒng)的三自由度轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其轉(zhuǎn)動過程不存在固定的轉(zhuǎn)動中心。

(3)機(jī)構(gòu)的每個分支對應(yīng)有四組反解，可以得到機(jī)構(gòu)四種對稱的裝配構(gòu)型。

(4)對機(jī)構(gòu)進(jìn)行了奇異性分析，結(jié)果表明,3-[RPR]RR機(jī)構(gòu)不存在平臺約束奇異，但存在分支運(yùn)動奇異，當(dāng)分支運(yùn)動奇異發(fā)生時，機(jī)構(gòu)的自由度會減少。

(5)由機(jī)構(gòu)的工作空間分析可以看出，這種并聯(lián)機(jī)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)三維轉(zhuǎn)動并具有較大的轉(zhuǎn)動空間，在需要進(jìn)行姿態(tài)控制的場合具有很好的應(yīng)用前景。

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(編輯蘇衛(wèi)國)

Kinematics Analysis of a 3-DOF Symmetrical Rotational Parallel Mechanism without Intersecting Axes

Chen Ziming1,2Huang Kun1,2Zhang Yang1,2Ding Huafeng3Huang Zhen1,2

1.Hebei Provincial Key Laboratory of Parallel Robot and Mechatronic System, Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004 2.Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science of Ministry of Education, Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei, 066004 3.China University of Geosciences, Wuhan, 430074

The traditional 3-DOF rotational PMs also called as spherical parallel mechanisms(SPMs) usually had a rotation center which was the intersecting point of multiple revolute joint axes. This strict geometric conditions were very hard to fulfill in the manufacture processes and would restrict further applications of this kind of mechanisms. Thus, a PM with three rotational DOF and no intersecting axes was designed herein. It consisted of three identical limbs distributed symmetrically without intersecting axes in or between limbs. The inverse kinematics was solved and four symmetrical assembly modes were obtained. Then the singularity of the mechanism was analyzed and classified into three types: limb singularity, platform singularity and actuation singularity. At last, its orientation workspace was studied. This mechanism can realize three dimensional rotations with large workspace and is easier for manufacturing and assembly, so it has broad application prospects.

3-DOF rotation; parallel mechanism(PM); intersecting axes; singularity; orientation workspace

2015-07-07

國家自然科學(xué)基金資助項目(51305381)；高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金資助項目(20131333120006)

TH112

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.09.013

陳子明，男，1984年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院講師、博士。主要研究方向為少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計和分析。發(fā)表論文20余篇。黃坤，男，1992年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。張揚(yáng)，男，1988年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。丁華鋒，男，1977年生。中國地質(zhì)大學(xué)機(jī)械與電子信息學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。黃真，男，1936 年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。