馬振新,王海鳳,劉仲之,朱厚飛（上海理工大學光電信息與計算機工程學院,上海 200093）

艾里光束的產(chǎn)生及對微小粒子的操作

馬振新,王海鳳,劉仲之,朱厚飛
（上海理工大學光電信息與計算機工程學院,上海 200093）

近年來,艾里光束因具有橫向加速、無衍射以及自愈等獨特性質引起了人們的廣泛關注。該光束的光場振幅分布遵從艾里函數(shù),并滿足類似薛定諤型的波動方程。從理論和實驗、線性和非線性、應用等多個方面對它進行研究。從理論上闡述了艾里光束產(chǎn)生的原理,用相位空間光調制器從實驗上產(chǎn)生了艾里光束。在此基礎上,采用瑞利近似方法,重點分析了在一維艾里光束作用下,粒子所受的光學散射力、梯度力以及粒子所受的光學散射力和梯度力與粒子半徑、折射率的關系。

艾里光束；橫向加速；瑞利近似；散射力和梯度力

引 言

1979年Berry與Balazs在量子力學領域有重大發(fā)現(xiàn):描述自由粒子的薛定諤方程具有無衍射艾里光束解［1-3］。其中,艾里光束最顯著的特點是其在沒有任何外力作用下具有自加速特性［4］。

同其它無衍射光束一樣,艾里光束是一種在傳播過程中強度空間分布保持不變的光束。當然在實際操作中由于空間距離和光束能量的限制,無衍射艾里光束一般都通過孔徑光闌進行“截趾”,從而使得它在傳播過程中逐漸趨向于衍射。如果“截趾”孔徑超過理想艾里光束的時空特征值,在一定傳播距離內艾里光束強度會衰減,因此從實際情況考慮,認為有限能量艾里光束為無衍射光束［5］。

艾里光束和另一類“無衍射”的貝塞爾光束相比,它除了同樣具有無衍射和自愈合性質之外,艾里光束還經(jīng)歷一個橫向的自加速過程,在自由空間傳播過程中能夠發(fā)生自彎曲［6］,這是由于艾里光束的非對稱場分布特點決定的。國外一個研究小組利用艾里光束把二氧化硅粒子從一個容器運輸?shù)搅肆硗庖粋€容器中,它僅僅依靠光學手段,就可以將粒子進行運輸,這一點將會成為光學微操控的一個有力工具。

本文首先從實驗上產(chǎn)生了艾里光束,在理論和實驗兩方面證明了在自由空間傳播的艾里光束將沿拋物線軌跡傳播。重點對艾里光束操控微粒進行深入的理論模擬,分析了粒子所受的的光學梯度力和散射力,同時還分析了粒子的半徑、折射率對光學梯度力和散射力的影響。這些分析將會更好地指導實驗研究,為了研究的簡單性,在這只考慮粒子半徑遠小于波長的情況,即瑞利近似方法。

1　理論基礎

為了研究艾里光束的傳播特性,引入歸一化傍軸情況下（1+1）維的衍射方程［7］

式中:s=x/x 0為無量綱橫坐標,x 0為任意橫向尺度；為歸一化傳輸距離（與瑞利長度有關）；k=2πn/λ0表示波數(shù)；φ為電場包絡。

方程對應的非色散艾里光束解為

我們研究指數(shù)“截趾”的有限能量艾里光束,在初試位置（ξ=0）的波包分布為

式中:Ai表示艾里函數(shù)；衰減系數(shù)a＞0表示對無限能量艾里光束的抑制,且能在實際中產(chǎn)生。式（2）說明光束在加速過程中其強度保持不變,s—（ξ/2）2反映了光束傳播的拋物線軌道。這種光束可以繞過障礙物,到達直射光束所不能到達的區(qū)域。艾里光束的橫向加速特性無疑是艾里光束最重要的光束傳輸特性。引入衰減系數(shù)a以后,由式（1）得到有限能量艾里光束為

根據(jù)帕塞法爾定理,可以直接得到艾里光束的能量為

上面討論的均是一維艾里函數(shù)解。

2　艾里光束的產(chǎn)生

首先從實驗上產(chǎn)生艾里光束,實驗裝置如圖1［3］。氦氖激光器發(fā)出一束高斯光束,入射激光經(jīng)過空間光調制器的反射即可完成對其相位的立方調制,再經(jīng)過傅里葉透鏡即可在透鏡焦點處觀察到艾里光束的強度輪廓分布。透鏡的焦平面為艾里光束的初始位置,通過CCD的位置可以采集到不同傳輸距離處艾里光束的橫向光場分布和坐標信息,從而可以驗證艾里光束的橫向自加速特性。為產(chǎn)生艾里光束,空間光調制器需加載如圖2所示的相位灰度圖,相位灰度圖的設計對產(chǎn)生艾里光束是至關重要的［8］。另外,實驗中,在相機之前放置一個5倍的顯微物鏡是用來放大光斑,以便觀察艾里光束能量分布變化的細節(jié)。

圖1　艾里光束實驗裝置圖Fig.1　Experiment setup for generating Airy beams

圖2　艾里光束的相位掩模板Fig.2　Cubic phase mask of Airy beam

圖3　產(chǎn)生的二維艾里光束截面圖Fig.3　Profile of two-dimensional Airy beam

圖4　一維艾里光束光強分布Fig.4　Intensity distribution of one-dimensional Airy beam

基于上述光路,我們采用焦距為f=500 mm的傅里葉變換透鏡產(chǎn)生艾里光束,實驗產(chǎn)生的艾里光束二維截面圖如圖3所示。艾里光束的產(chǎn)生主要取決于相位掩膜板的設計,確定的相位掩膜板只能產(chǎn)生特定傳輸特性的艾里光束,這時艾里光束的傳輸特性是確定的,因此它的橫向加速度也是確定的。圖4給出了這個艾里光束在一定傳播距離內的光強分布（其中,z為光軸方向,x為光偏轉方向）?？梢钥闯?艾里光束經(jīng)歷了一個橫向自加速的過程,光強在起初的距離范圍內保持不變,近似無衍射,該區(qū)域即為無衍射區(qū)域。對于艾里光束,主錘是它能量最集中的點。因此,在實際的科學研究中,人們最為關注的是主錘的橫向加速度。

3　艾里光束對粒子的作用

3.1艾里光束性質

根據(jù)瑞利散射理論,當介質微粒的尺寸遠遠小于光波的波長時a＜＜λ（其中λ是真空中的波長,a為粒子的半徑。一般認為a≤λ/20的粒子稱為瑞利粒子）,可以用電磁場模型來解釋介質微粒的受力原理。這時散射粒子內和附近的電場呈現(xiàn)靜電場特征,可以用靜電場方程來近似描述,且粒子內外的相位差s也相當小。在這種情況下,粒子可以當作點偶極子來處理?；谑剑?）,假設電場為沿x方向偏振的線偏光,那么艾里光束的電磁場可以解析表示為［9］

式中:n為介質折射率；ε0為真空中的介電常數(shù)；c為真空中的光速。

3.2粒子所受的梯度力和散射力

因為在這假設電場為沿x方向偏振的線偏光,則粒子所受的梯度力可進一步表示為［10］

另一類電場力是粒子散射光子引起光子動量的改變,從而產(chǎn)生散射力,方向為沿光傳播的方向。其計算公式為

3.3數(shù)值模擬與結果討論

采用瑞利近似法,考慮粒子半徑遠遠小于波長（a≤λ/20）情況,討論梯度力和散射力受哪些因素的影響。在實驗產(chǎn)生艾里光束的前提下,輸入的艾里光束強度的峰值I0為定值。如圖5,圖6所示,圖5是當n1=1.8,n2=1.33,λ=1 064 nm時,半徑a分別為31 nm、40 nm、53.2 nm的粒子所受梯度力隨距離r的變化關系。圖6是n2=1.33,λ=1 064 nm,a=40 nm時,折射率n1分別為1.8,1.56,1.4的粒子所受梯度力隨距離r的變化關系。

圖5　不同半徑粒子所受的梯度力與距離r的關系Fig.5　The relationship between gradient force of different radius particle and distance

圖6　不同折射率粒子所受的梯度力與距離r的關系Fig.6　The relationship between gradient force of different refractive index particle and distance

對于折射率一定的粒子,考慮不同半徑的粒子所受的梯度力和散射力,從圖5可知,半徑越大,粒子所受的梯度力和散射力越大,散射力比梯度力隨半徑增大而增大的幅度要大,因為梯度力和半徑的3次方成正比,散射力和半徑的6次方成正比。另外,粒子所受的梯度力和散射力還和粒子本身的折射率有關。由圖6分析知,在粒子半徑一定的情況下,不同折射率的粒子所受的梯度力和散射力不同,折射率越大的粒子,所受的光學梯度力和散射力也越大,同樣,散射力增大的幅度比梯度力增大的幅度要大。

4　結 論

本文在實驗產(chǎn)生艾里光束的基礎上,探討了艾里光束的橫向加速性質,重點探究了艾里光束對粒子的作用。在一維艾里光束的作用下,粒子所受的梯度力和散射力沿x、z兩個方向,光學梯度力和散射力隨著粒子的折射率和半徑增大而增大,并且散射力增大的幅度比梯度力增大的幅度要大,這為艾里光束應用在粒子捕獲和運輸這一領域提供了基礎。

［1］ YE Z Y,LIU S,ZHANG P,et al.Acceleration control of Airy beams with optically induced refractive-index gradient［J］.Optic Letters,2011,36（16）:3230-3232.

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［5］ DURNIN J,MICELI J J,EBERLY J H.Durnin,miceli,and eberlyreply［J］.Physical Review Letters,1991,66（6）:838.

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（編輯:張 磊）

Generation and operation of small particles by Airy beams

MA Zhenxin,WANG Haifeng,LIU Zhongzhi,ZHU Houfei
（School of Optical-Electrical and Computer Engineering,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China）

Recently,Airy beams have attracted wide interests due to its unique properties of transverse self-accelerating,diffraction-free and self-healing.The amplitude distribution of light field of Airy beams follows the Airy function,satisfying the similar Schrodinger equation. Researchers have conducted the researches about the Airy beam including theory,experiment, linearity and nonlinearity,application,and other aspects.In this paper,we investigate theoretical principle of generation Airy beams,using a spatial light modulator to experimentally generate Airy beams array.On the basis of it,we use Rayleigh approximation method to investigate the gradient and scattering forces of one-dimensional Airy beams.The impact of particle radius and refractive index on the gradient and scattering forces were discussed.

Airy beams；acceleration；Rayleigh approximation；gradient and scattering forces

O 436

A

10.3969/j.issn.1005-5630.2016.02.008

1005-5630（2016）02-0134-05

2015-04-27

國家重點基礎研究發(fā)展計劃（2015CB352001）

馬振新（1990—）,男,碩士研究生,主要從事光束調制與測量方面的研究。E-mail:497383957@qq.com

王海鳳（1971—）,男,教授,主要從事理論光學方面的研究。E-mail:wanghaifeng@usst.edu.cn