李霏雯，張鶴揚(yáng)重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院；天津醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)院

關(guān)于提高投籃命中率問題的探討

李霏雯1，張鶴揚(yáng)2
1重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院；2天津醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)院

本文針對(duì)如何提高命中率對(duì)其影響因素進(jìn)行研究。首先通過籃球運(yùn)動(dòng)規(guī)律及力學(xué)原理建立運(yùn)動(dòng)員投籃的數(shù)學(xué)模型，通過定量分析為籃球訓(xùn)練以提高命中率提供理論方法依據(jù)。此外，建立正態(tài)云模型，通過大量隨機(jī)實(shí)驗(yàn)求得各種情境下不同投籃方式命中率的相對(duì)穩(wěn)態(tài)值，此模型主要通過MATLAB編程仿真模擬實(shí)現(xiàn)命中率的計(jì)算。

投籃命中率；出手點(diǎn)高度；投射速度；投射角度；正態(tài)云模型

1　引言

籃球比賽中投籃得分的多少?zèng)Q定了比賽的勝負(fù)，而投籃命中率是衡量一名籃球運(yùn)動(dòng)員得分能力的重要標(biāo)志，也是決定籃球比賽勝負(fù)的關(guān)鍵。因此，全面地探討影響投籃命中率的主客觀因素對(duì)提高籃球訓(xùn)練的可控程度具有十分重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

2　模型假設(shè)

①不考慮球的旋轉(zhuǎn)、空氣阻力，將籃球出手后的運(yùn)動(dòng)視為理想拋體運(yùn)動(dòng)；②假設(shè)球心的軌跡與籃框中心共面；③籃筐與籃板之間的距離忽略不計(jì)；④假設(shè)運(yùn)動(dòng)員受專業(yè)訓(xùn)練，投籃角度、投球力度不會(huì)出現(xiàn)較大偏差，且投射角度、速度、高度呈正態(tài)分布。

3　投籃數(shù)學(xué)模型

首先討論定點(diǎn)投籃模型，以出射角度、水平距離、出手高度為自變量?？紤]到出射角度易于訓(xùn)練，出手高度由球員的身體素質(zhì)確定，出手速度在不同狀態(tài)下變化較大?？蓪⑻岣呙新兽D(zhuǎn)化為根據(jù)球員身體素質(zhì)尋找最佳出射角度，使出手速度可變范圍較大。

本文主要抽象投籃復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)過程，將其簡(jiǎn)化為籃球直接入筐及經(jīng)籃板反彈后入筐兩種情況。具體分析定點(diǎn)投籃直接瞄準(zhǔn)籃筐與籃板反彈兩種情況的命中率，確定最佳投籃角度范圍，再將投球位置推廣至任意一點(diǎn)尋找該點(diǎn)最佳出射角。

設(shè)定點(diǎn)與籃筐左/右邊緣B水平距離為L(zhǎng)1/L2，籃筐直徑為d，籃筐垂直高度H，籃球半徑為r。球心軌跡方程由籃球初速度v0、v0與水平方向的夾角θ和籃球出手高度h確定。

3.1直接瞄準(zhǔn)籃筐

以籃球的出手點(diǎn)為原點(diǎn)，設(shè)球心為P，如圖1建立平面直角坐標(biāo)系。

圖1　籃球入籃示意圖

由拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律：

g為重力加速度，消去t得：

由圖1知，當(dāng)點(diǎn)P軌跡經(jīng)過AB時(shí)，籃球可視為入筐。設(shè)籃球恰好砸中籃筐左邊緣A，即軌跡過點(diǎn)(,h+r)，有：

其中v0min為臨界條件籃球最小初速度，整理得：

可確定v0min與θ、h的函數(shù)關(guān)系，實(shí)際情況中，球員根據(jù)習(xí)慣控制h為固定范圍，由于球員臨場(chǎng)發(fā)揮存在波動(dòng)，v0較難控制，但θ可通過訓(xùn)練把握，因此需確定θ是v0具有較大變化范圍，有效提高投籃命中率。即求一θ的值，使得對(duì)應(yīng)v0min最小即可。

3.2籃板反彈入筐

如圖2，經(jīng)籃板反彈后由對(duì)稱性，將籃球經(jīng)過A點(diǎn)等效為經(jīng)過A’點(diǎn)。

圖2　籃球經(jīng)籃板反彈后入筐

只需確定θ的值，使對(duì)應(yīng)v0max最大即可。

因此可通過v0min，v0max確定θ的波動(dòng)范圍，訓(xùn)練時(shí)可針對(duì)球員習(xí)慣的出手高度h設(shè)定合理的出手角度θ范圍，以提高命中率。

3.3任意位置投籃模型

將定點(diǎn)投籃模型推廣至任意位置的投籃，距離籃筐水平距離L1、L2?？赏ㄟ^控制變量L1、L2的取值區(qū)間，利用多變量分析將模型進(jìn)一步推廣。

實(shí)際上，投籃過程會(huì)受防守隊(duì)員干擾；出手時(shí)球的旋轉(zhuǎn)影響球的運(yùn)動(dòng)軌跡；碰撞時(shí)能量損失速度減小；球員狀態(tài)起伏等多眾多因素的影響。由于數(shù)據(jù)處理復(fù)雜，難以定量分析，在此不對(duì)其深入討論。

4　基于正態(tài)云模型仿真計(jì)算不同投籃方式的命中率

不同運(yùn)動(dòng)員采用不同投籃方式對(duì)應(yīng)于不同的位置L1、L2、籃球的出手高度h、籃球的初速度v0、初速度與水平方向的夾角θ。由于運(yùn)動(dòng)員的現(xiàn)場(chǎng)水平發(fā)揮具有隨機(jī)性，引入正態(tài)云模型研究各種不確定因素影響下籃球的運(yùn)動(dòng)軌跡及命中率。

云模型主要由3個(gè)數(shù)字特征描述：期望值Ex，熵En，超熵He。

通過仿真實(shí)驗(yàn)研究出手高度h、出手速度v0、出手角度θ對(duì)投籃命中率的影響規(guī)律。

圖3　仿真實(shí)驗(yàn)流程

4.1投籃影響因素的數(shù)學(xué)模型

將上文籃球球心軌跡方程式（2）移項(xiàng)整理得：

對(duì)（4）（5）式求導(dǎo)并求極值，θ需滿足以下兩式：

4.2云模型參數(shù)的選取

4.3仿真實(shí)驗(yàn)流程

確定投球姿勢(shì)以及投球距離，計(jì)算出此時(shí)最佳的v0和θ的正態(tài)分布均值后，用正態(tài)云模型產(chǎn)生?h、v0、θ的隨機(jī)數(shù)據(jù)，按圖3的流程進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，計(jì)算命中率。

利用正態(tài)云模型建立數(shù)學(xué)模型，可通過仿真實(shí)驗(yàn)找出最佳投籃角度、投籃高度、投籃速度對(duì)運(yùn)動(dòng)員投籃命中率的影響規(guī)律。這些參數(shù)的熵、超熵減小，命中率提高。在進(jìn)行投籃仿真時(shí)，需考慮精度及難度的設(shè)計(jì)，可適當(dāng)取舍投籃角度、投籃高度和投籃速度的參數(shù)選擇及取值范圍，以取得最接近實(shí)際的結(jié)果。

5　結(jié)語

本文數(shù)學(xué)模型可用于籃球運(yùn)動(dòng)員日常訓(xùn)練、提高投籃命中率的理論指導(dǎo)，通過正態(tài)云模型可將球員實(shí)際訓(xùn)練統(tǒng)計(jì)值與理論仿真值對(duì)比分析，更科學(xué)、準(zhǔn)確捕獲球員的優(yōu)劣勢(shì)，進(jìn)行針對(duì)性的訓(xùn)練。

[1]李洪強(qiáng).籃球投籃命中率的主要影響因素分析，科技信息，2012，第29期，256～274

[2]段然.籃球投籃運(yùn)動(dòng)軌跡與命中率的物理模型，科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2009，No.20，242～243

[3]戴震.影響投籃命中率的運(yùn)動(dòng)生物力學(xué)因素分析與探討，太原理工大學(xué)，碩士論文，2008