侯小秋

（黑龍江科技大學(xué)電氣與控制工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150022）

對稱雙線性系統(tǒng)的在線修正參數(shù)預(yù)測濾波PID控制

侯小秋

（黑龍江科技大學(xué)電氣與控制工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150022）

在雙線性系統(tǒng)中加入控制輸出的符號函數(shù)，建立了可描述對稱非線性系統(tǒng)的對稱雙線性系統(tǒng)。采用可克服算法病態(tài)的遺忘因子遞推最小二乘算法對被控對象進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，利用自校正預(yù)報(bào)顯式算法對系統(tǒng)輸出進(jìn)行預(yù)測，基于具有預(yù)測控制性能的增量型預(yù)測濾波PID控制算法，根據(jù)可克服算法病態(tài)的直接極小化指標(biāo)函數(shù)自適應(yīng)控制算法和Robbins-Monro算法，給出了具有在線修正PID控制參數(shù)和加快PID控制參數(shù)收斂性能的對稱雙線性系統(tǒng)的自適應(yīng)預(yù)測濾波PID控制算法。仿真結(jié)果表明改進(jìn)的PID控制算法具有預(yù)測控制性能和在線修正參數(shù)性能，系統(tǒng)具有較好的控制品質(zhì)。

自適應(yīng)控制；預(yù)測控制；PID控制；參數(shù)估計(jì)；自校正預(yù)報(bào)；雙線性系統(tǒng)

1 引言

PID控制是一種傳統(tǒng)而非常有效的控制算法，具有結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性好、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，結(jié)合現(xiàn)代先進(jìn)控制理論，如自適應(yīng)控制、智能控制、模糊控制等，至今已提出了一些具有預(yù)測控制性能的在線修正參數(shù)、整定參數(shù)的PID控制算法，這些算法結(jié)合了PID控制和先進(jìn)控制的優(yōu)異性能。文獻(xiàn)［1］研究了線性系統(tǒng)直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)PID控制，但所提出的算法沒有預(yù)測控制性能和濾波性能，并且不具有加快PID控制參數(shù)的收斂速度的性能，文獻(xiàn)［2］研究了具有預(yù)測控制性能和濾波性能，并且具有加快PID控制參數(shù)收斂速度的單變量CARMAX模型的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)PID控制。本文提出了一種具有預(yù)測控制性能和濾波性能，并且具有加快PID控制參數(shù)收斂速度的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的對稱雙線性系統(tǒng)的自適應(yīng)預(yù)測濾波PID控制。

2 對稱雙線性系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)和預(yù)測算法

2.1 對稱雙線性系統(tǒng)

雙線性系統(tǒng)為：

式中：y（t）為1維輸出；u（t）為1維輸入；e（t）為零均值，方差是σ2的白噪聲序列；t為離散時(shí)刻；d為系統(tǒng)的時(shí)滯；q為后移算子；A（q-1）、B（q-1）、D（q-1），C（q-1）為多項(xiàng)式。

由式（1）以d0y（t）u（t）項(xiàng)為例，當(dāng)系統(tǒng)d0＞0時(shí)（也可以設(shè)d0＜0），若y（t）＞0，則當(dāng)u（t）＞0時(shí)對式（1）的y（t+d）起增強(qiáng)的作用；而u（t）＜0時(shí)起減弱的作用，若y（t）＜0，則當(dāng)u（t）＞0時(shí)對y（t+d）起減弱的作用，而當(dāng)u（t）＜0時(shí)對系統(tǒng)起增強(qiáng)的作用，而系統(tǒng)的y（t）時(shí)而為正，時(shí)而為負(fù)，致使系統(tǒng)的u（t）＞0有時(shí)對系統(tǒng)起增強(qiáng)作用，有時(shí)對系統(tǒng)起減弱的作用，故式（1）不能描述“對稱非線性系統(tǒng)”，而對稱非線性系統(tǒng)要求系統(tǒng)在任何運(yùn)行狀態(tài)下u（t）＞0對系統(tǒng)起增強(qiáng)作用，u（t）＜0時(shí)對系統(tǒng)起減弱的作用。這里在式（1）中加入輸出y（t）的符號函數(shù)，提出一種可描述“對稱非線性系統(tǒng)”的雙線性系統(tǒng)為：

式中：

由式（2）可知δ［y（t）］y（t）≥0，則u（t）＞0對系統(tǒng)起增強(qiáng)的作用，u（t）＜0對系統(tǒng)起減弱的作用，故式（2）的雙線性系統(tǒng)對稱。

則式（2）的對稱非線性系統(tǒng)的雙線性系統(tǒng)可采用PID控制的約束條件為：

2.2 可克服病態(tài)的遞推最小二乘算法

采用文獻(xiàn)［2］的可克服病態(tài)的遺忘因子遞推最小二乘算法應(yīng)用于本文進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

2.3 自校正預(yù)報(bào)顯示算法

式（4）中Gj（q-1）和Fj（q-1）由遞推Diophantine方程確定

其中：

式中：ng j為階數(shù)。

3 可克服病態(tài)的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)控制算法

文獻(xiàn)［2］在指標(biāo)函數(shù)［4］中加入控制器可調(diào)參數(shù)向量的增量約束項(xiàng)，提出一種可克服病態(tài)的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)控制算法，算法如下。

設(shè)控制器的形式為

式中：η為控制器可調(diào)參數(shù)向量；φ（t）為系統(tǒng)輸出和輸入構(gòu)成的集合；φr（t）為系統(tǒng)輸入?yún)⒖夹盘枺鹯（t）｝所形成的序列向量；η（…）為控制函數(shù)。

系統(tǒng)的輸入和輸出是隨η的改變而改變，以y （t，η）和u（t，η）表示系統(tǒng)式（2）受式（6）控制時(shí)的輸出和輸入，要求選擇向量η使如下指標(biāo)函數(shù)達(dá)到極小化。

式中：V（η）為指標(biāo)函數(shù)；E（…）為求均值；g（…）為函數(shù)；r（t）為輸入?yún)⒖夹盘?；η（t）為t時(shí)刻的η；η?（t-1）為參數(shù)修正值。

式（7）中：式中：g（…）為函數(shù)；λ（t）為控制器可調(diào)參數(shù)向量增量約束項(xiàng)的權(quán)重對角矩陣。

式中：n為η的維數(shù)。

則上述問題可結(jié)合Robbins-Monro算法［5］，給出如下可克服病態(tài)的自適應(yīng)算法。式中：ρ（t）為收斂因子；Q（t）為Hessian矩陣。

4 增量型預(yù)測濾波的PID控制

文獻(xiàn)［2］在傳統(tǒng)的增量型濾波PID控制中，采用系統(tǒng)輸出y（t）的預(yù)測值y?（t+d-1/t）代替y（t），給出增量型預(yù)測濾波PID控制。式中：H（q-1）、Δ、S（q-1）為多項(xiàng)式。

其中h1，s0，s1，s2為可調(diào)參數(shù)。

則η為：

5 y（t）、u（t）、?（t+d/t）關(guān)于η的梯度和二階導(dǎo)數(shù)矩陣

5.1 梯度表達(dá)式

式（2）兩邊對ηi（i=1，2，3，4）求偏導(dǎo)：

式（5）兩邊對ηi（i=1，2，3，4）求偏導(dǎo)：

式（12）兩邊對h1求偏導(dǎo)：

式（12）兩邊對si（i=0，1，2）求偏導(dǎo)：

5.2 二階導(dǎo)數(shù)矩陣表達(dá)式

式（13）兩邊對ηp（p=1，2，3，4）求偏導(dǎo)：

式（14）兩邊對ηp（p=1，2，3，4）求偏導(dǎo)：

式（15）兩邊對h1求偏導(dǎo)：

式（15）兩邊對si（i=0，1，2）求偏導(dǎo)：

式（16）兩邊對h1求偏導(dǎo)：

式（16）兩邊對sp（p=0，1，2）求偏導(dǎo)：

6 在線修正參數(shù)的預(yù)測濾波PID控制

為加快PID參數(shù)收斂的速度，選?。?/p>

式中：λ為加權(quán)因子；g1（…）為函數(shù)。

由式（5）參考文獻(xiàn)［6］的機(jī)理，式（23）的指標(biāo)函數(shù)等價(jià)于如下指標(biāo)函數(shù)：

式中：g2（…）為函數(shù)。

將式（24）代入式（10）、式（11）可得如下自適應(yīng)預(yù)測濾波PID控制：

7 仿真研究

被控對象為：

式中參數(shù)a1、b1、d1、c1的形式為：

隨機(jī)干擾e（t）～N（0.1/10），

輸入的飽和限幅為Umax=0.4，

PID控制的初始參數(shù)為：

直接極小化算法中的Q（0）=100I，λ=5收斂因子：

參數(shù)估計(jì)的遺忘因子：

待估參數(shù)的初始參數(shù)為：

采用Matlab7.0語言編程仿真，圖1所示為系統(tǒng)響應(yīng)曲線，圖2所示為PID控制參數(shù)的修正曲線。由圖1（a）可知，采用無修正的初始參數(shù)控制的響應(yīng)曲線超調(diào)大，調(diào)節(jié)時(shí)間長，并且產(chǎn)生振蕩。由圖1（b）可知，在0≤t＜200時(shí)，因PID控制參數(shù)還沒有收斂到有效值，故響應(yīng)的超調(diào)大，調(diào)節(jié)時(shí)間長，在200≤t≤400時(shí)，因PID控制參數(shù)已修正到有效值，故響應(yīng)的超調(diào)小，調(diào)節(jié)時(shí)間短。由圖2可知，參數(shù)在動(dòng)態(tài)時(shí)進(jìn)行修正，在穩(wěn)態(tài)時(shí)停止修正，符合算法的物理性。

圖1 系統(tǒng)響應(yīng)曲線

圖2 PID控制參數(shù)的修正曲線

8 結(jié)論

（1）分析了雙線性系統(tǒng)不能描述“對稱非線性系統(tǒng)”的問題，在其中加入控制輸出的符號函數(shù)，提出一種可描述“對稱非線性系統(tǒng)”的對稱雙線性系統(tǒng)；

（2）給出對稱雙線性系統(tǒng)可采用PID控制的約束條件；

（3）基于可克服病態(tài)的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)控制算法和Robbins-Monro算法及增量型預(yù)測濾波PID控制，給出了對稱雙線性系統(tǒng)的自適應(yīng)預(yù)測濾波PID控制算法，算法的指標(biāo)函數(shù)中含有系統(tǒng)的輸出預(yù)測值，使算法具有加快PID控制參數(shù)收斂到有效值速度的性能；

（4）仿真研究表明：所提出的算法具有預(yù)測控制性能和在線修正參數(shù)性能，故具有較好的控制品質(zhì)，且具有柔化控制量變化減少對系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)沖擊的性能；

（5）缺點(diǎn)是較比文獻(xiàn)［1］的算法對隨機(jī)干擾的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)要求高，要求隨機(jī)干擾為零均平穩(wěn)具有有理譜密度的隨機(jī)干擾，適用范圍較文獻(xiàn)［1］的算法窄；

（6）需進(jìn)一步研究算法的穩(wěn)定性和算法的收斂性，推廣到多變量及其他非線性系統(tǒng)（Hammerstein模型，NARMAX模型等）上。

［1］侯曉秋.直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)PID控制［J］.黑龍江科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，18（1）：47-50.

［2］侯小秋.CARMAX模型的在線修正參數(shù)預(yù)測濾波PID控制［J］.黑龍江科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，25（6）：686-691.

［3］席裕庚.預(yù)測控制［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2013.

［4］Ljung，L.andE.Trulsson.Adaptive control based on explicit crirerion minimization［J］.IFAC 81 World Congress，Preprints，1981，VII：1-6.

［5］蕭德云.系統(tǒng)辨識理論及應(yīng)用［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2014.

［6］韓正之，陳彭年，陳樹中.自適應(yīng)控制［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2014.

Prognosis filtering PID control with on-line modifying parameter for symmetric bilinear system

HOU Xiao-qiu
（College of Electric and Control Engineering，Heilongjiang University of Science and Technology，Harbin 150022，China）

A symmetric bilinear system is developed，which can be used to describe the symmetric nonlinear system by adding a sign function into the bilinear system.The parameters of the controlled model are estimated by employing the multi-variable ill-solvable forgetting factor recursive least squares algorithm.The system output is predicted by using the self-tuning prediction explicit algorithm.Based on the gain prognosis-control prognosis-filtering PID algorithm，the self-adaptive ill-solvable control algorithm and the Robbins-Monro algorithm，the self-adaptive prognosis-filtering fast-convergence PID control algorithm with on-line modifying parameter for symmetric bilinear system is presented.The simulative results show that the modified PID control algorithm has the properties of predicting-controlling and on-line modifying parameters and the system has superior control characteristics.

self-adaptive control；predictive control；PID control；parameter estimation；self-tuning prediction；bilinear system

TP273

A

1005—7277（2016）03—0027—05

侯小秋（1965-），男，黑龍江省雙城人，副教授，碩士，主要研究方向?yàn)榉蔷€性控制，預(yù)測控制，自適應(yīng)控制。

2016-03-28