張　巍，應(yīng)祖光

（1.浙江理工大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院實(shí)驗(yàn)中心，杭州 310018；2.浙江大學(xué) 航空航天學(xué)院力學(xué)系，杭州 310027）

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有限長(zhǎng)周期參數(shù)梁的動(dòng)力學(xué)特性

張巍1，應(yīng)祖光2

（1.浙江理工大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院實(shí)驗(yàn)中心，杭州 310018；2.浙江大學(xué) 航空航天學(xué)院力學(xué)系，杭州 310027）

研究有限長(zhǎng)周期參數(shù)梁的動(dòng)力學(xué)特性。建立周期參數(shù)梁的運(yùn)動(dòng)微分方程，得到梁高度周期性的參變方程，運(yùn)用伽遼金法轉(zhuǎn)化為多自由度狀態(tài)方程，然后得到周期參數(shù)梁的固有頻率方程。最后通過(guò)數(shù)值結(jié)果說(shuō)明梁位移展開(kāi)項(xiàng)數(shù)對(duì)于固有頻率與動(dòng)力學(xué)特性的影響，特別是周期參數(shù)為低周期或高頻率情況時(shí)，固有頻率隨周期參數(shù)頻率與幅度的變化及頻帶間隙（固有頻率隨周期參數(shù)頻率變化的空隙）的退化與梁彎曲波的彌散等。

振動(dòng)與波；動(dòng)力學(xué)特性；有限長(zhǎng)梁；周期參數(shù)

周期結(jié)構(gòu)具有特殊的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，例如波動(dòng)空間或振動(dòng)模態(tài)的局部化，它對(duì)于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的優(yōu)化具有重要作用。90年代前后，關(guān)于周期結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了廣泛研究，主要工作集中于無(wú)限尺寸周期結(jié)構(gòu)的周期波動(dòng)特性（包括特征波數(shù)與頻率），它基于一個(gè)周期單元結(jié)構(gòu)受兩端周期性約束的特性分析，周期性導(dǎo)致特征頻率的帶隙，即“band gap”［1-6］。然而，實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的尺寸是有限的，邊界約束使結(jié)構(gòu)固有頻率離散化，而且低階固有模態(tài)的空間分布是跨越整個(gè)結(jié)構(gòu)的（該模態(tài)不具有周期性），因此有限尺寸周期參數(shù)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性將不同于上述周期結(jié)構(gòu)［7］。此外，由彈性動(dòng)力學(xué)理論［8］知梁與板等結(jié)構(gòu)的彎曲波具有彌散性（不能保持周期性），其動(dòng)力學(xué)特性不同于傳統(tǒng)的達(dá)朗貝爾波（例如弦與桿的波）。而高頻波的波長(zhǎng)短，空間離散分析時(shí)需要?jiǎng)澐肿銐蚣?xì)單元或考慮足夠多高階模態(tài)，否則將導(dǎo)致偽特性。關(guān)于這些有限尺寸周期參數(shù)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性尚需進(jìn)一步研究。

文中將研究有限長(zhǎng)周期參數(shù)梁的動(dòng)力學(xué)特性。先建立周期參數(shù)梁的運(yùn)動(dòng)微分方程，考慮梁高度的周期性得到參變方程；再用空間諧波函數(shù)離散梁位移，按伽遼金法推導(dǎo)梁的多自由度狀態(tài)方程，進(jìn)一步得到固有頻率方程；最后通過(guò)數(shù)值結(jié)果說(shuō)明梁位移展開(kāi)項(xiàng)數(shù)對(duì)于固有頻率的影響，特別是周期參數(shù)為低周期或高頻率情況下的影響，固有頻率隨周期參數(shù)頻率與幅度的變化，頻帶間隙（固有頻率隨周期參數(shù)頻率變化的空隙）的退化，及彎曲波的彌散（特征頻率與波數(shù)的非線性關(guān)系，導(dǎo)致波隨傳播而變形）等。

1　有限長(zhǎng)周期參數(shù)梁的動(dòng)力學(xué)方程

考慮具有周期參數(shù)的有限長(zhǎng)水平簡(jiǎn)支梁（圖1），按照歐拉-伯努利模型，其運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中w是垂直位移，x是水平坐標(biāo)，f是激勵(lì)，ρ是質(zhì)量密度，E是彈性模量，A是橫截面面積，I是慣性矩，cd是阻尼系數(shù)。其中，ρA與EI是x的周期（T0）函數(shù)。展開(kāi)式（1）的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)得

對(duì)位移與坐標(biāo)無(wú)量綱化，式（2）成為

式中ν是無(wú)量綱位移，坐標(biāo)y=x/L，L是梁長(zhǎng)度，對(duì)于高h(yuǎn)寬b的矩形截面梁，系數(shù)D1、D2、D3分別為

圖1　有限長(zhǎng)周期參數(shù)簡(jiǎn)支梁

若考慮周期變化的高度h=h0（1+λssinωhy），其中h0是平均高度，λs是周期高度比或周期參數(shù)幅度，ωh（2πL/T0）是周期參數(shù)變化頻率。則系數(shù)D1、D2、D3是式（3）的周期參數(shù)，導(dǎo)致空間參變，成為非線性問(wèn)題。簡(jiǎn)支梁的邊界條件為

式（3）與式（5）組成有限長(zhǎng)周期參數(shù)簡(jiǎn)支梁的基本方程，邊界約束使固有頻率離散化，而參數(shù)周期性又將改變其動(dòng)力學(xué)特性。

2　空間展開(kāi)與特征值解

空間離散化是解上述問(wèn)題的有效分析方法，但參數(shù)周期性將使各個(gè)分量相互耦合，從而導(dǎo)致高階分量對(duì)低階分量產(chǎn)生影響，特別是周期參數(shù)變化頻率較高時(shí)，需要考慮足夠的高階分量。梁無(wú)量綱位移可展開(kāi)為

式中Ri是時(shí)間函數(shù)，N是項(xiàng)數(shù)。將式（6）代入式（3），按伽遼金法得多自由度系統(tǒng)方程

式中廣義位移向量R=［R1，R2，…，RN］T，Cu是阻尼陣，Ku是剛度陣，F(xiàn)u是激勵(lì)向量，其中元素

式（7）可表示為狀態(tài)方程

式中

周期參數(shù)與展開(kāi)模態(tài)的耦合作用在剛度Ku中，因此參數(shù)周期性通過(guò)調(diào)制系統(tǒng)剛度改變動(dòng)力學(xué)特性及響應(yīng)。由式（9）解得狀態(tài)向量，代入式（6）即得梁位移。而系數(shù)陣A的特征值確定了梁固有頻率，固有頻率即為特征值的正的虛部。由此可分析參數(shù)周期性對(duì)于固有頻率的調(diào)制與影響。

3　數(shù)值結(jié)果

設(shè)周期性梁的基本參數(shù)ωh=10p，λs=0.2，N= 50，模態(tài)阻尼比ζ=0.005，無(wú)量綱化頻率常數(shù)ω0=p2（h0/L2）（E/12ρ）1/2（除了圖2的指定值）。由系數(shù)陣A計(jì)算固有頻率（用MATLAB函數(shù)），式（9）與式（6）用龍格-庫(kù)塔法計(jì)算響應(yīng)，結(jié)果如圖2—圖5所示。圖2表明周期性梁位移展開(kāi)項(xiàng)數(shù)N對(duì)前8階固有頻率的影響，當(dāng)N350時(shí)結(jié)果才收斂，否則將導(dǎo)致偽特性。

圖3展示前4階固有頻率隨周期參數(shù)頻率（ωh/ p）的變化，參數(shù)變化頻率對(duì)高階固有頻率的影響較大，低參數(shù)頻率時(shí)影響較顯著，各階固有頻率隨參數(shù)頻率增加而降低，可跨越低參數(shù)頻率時(shí)的低階固有頻率，即頻帶間隙（固有頻率隨周期參數(shù)頻率變化的空隙）退化。

圖2　固有頻率隨項(xiàng)數(shù)（N）的變化（ωh=20π，λs=0.3）

圖3　固有頻率隨參數(shù)頻率（ωh）的變化

圖4　固有頻率隨參數(shù)幅度（λS）的變化

圖5　彎曲波的彌散

圖4展示前4階固有頻率隨周期參數(shù)幅度λs的變化，各階固有頻率隨參數(shù)幅度增加而降低，可跨越低參數(shù)幅度時(shí)的低階固有頻率。

圖5展示梁在左端附近初始單位脈沖波（寬Dy= 0.01）作用下兩個(gè)時(shí)刻的響應(yīng)，波往右端傳播時(shí)幅度降低、寬度增大，即為波的彌散。因此，不存在理想的單頻波或達(dá)朗貝爾波［8］。

4　結(jié)語(yǔ)

研究了有限長(zhǎng)周期參數(shù)梁的動(dòng)力學(xué)特性，建立周期參數(shù)梁的運(yùn)動(dòng)微分方程，得到梁高度周期性的參變方程，并按伽遼金法進(jìn)一步得到多自由度狀態(tài)方程，及固有頻率方程。數(shù)值結(jié)果表明，位移展開(kāi)項(xiàng)數(shù)對(duì)于梁固有頻率與動(dòng)力學(xué)特性有重要影響，特別是周期參數(shù)為低周期或高頻率情況時(shí)，固有頻率隨周期參數(shù)頻率與幅度增加而降低，超過(guò)一定界限時(shí)頻帶間隙（固有頻率隨周期參數(shù)頻率變化的空隙）將退化，梁彎曲波具有彌散性。

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［8］ MIKLOWITZ J.The theory of elastic waves and waveguides［M］.New York:Elsevier North-Holland，1978.

Dynamic Characteristics of Finite-length Periodic Parameter Beams

ZHANG Wei1，YING Zu-guang2

（1.Laboratory Center，School of Economics and Management，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China；
2.Department of Mechanics，School ofAeronautics andAstronautics，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China）

The dynamic characteristics of finite-length periodic parameter beams are studied.The differential equation of motion of the periodic parameter beams is presented，and the partial differential equation with spatial varying parameters for the periodic-height beam is obtained.Then，the equation is converted into a multi-DOF state equation using Galerkin method，and a set of algebraic equations for natural frequencies of the periodic beam is obtained.Numerical results are given.The influence of the number of series expansion terms of the displacement on the natural frequencies and dynamic characteristics of the beam is analyzed.Variation of the natural frequencies with the change of the frequency and amplitude of the periodic parameter，degeneration of the band gaps among the natural frequencies，and the bending waves scattering are analyzed in the case of large periodic parameter frequencies.

vibration and wave；dynamic characteristics；finite-length beam；periodic parameter

O32；TB53

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.04.005

1006-1355（2016）04-0024-03

2016-01-13

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11572279）；浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（LY15A020001）

張?。?965-），女，江蘇南通人，高級(jí)工程師，學(xué)士，主要從事信息系統(tǒng)與控制研究。E-mail:zhweihz@zstu.edu.cn