雷曉燕，吳神花，張　斌

（華東交通大學(xué) 鐵路環(huán)境振動(dòng)與噪聲教育部工程研究中心，南昌 330013）

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車輛-軌道非線性耦合系統(tǒng)交叉迭代算法及應(yīng)用

雷曉燕，吳神花，張斌

（華東交通大學(xué) 鐵路環(huán)境振動(dòng)與噪聲教育部工程研究中心，南昌 330013）

運(yùn)用有限元法建立車輛-軌道非線性耦合系統(tǒng)振動(dòng)分析模型，該模型包含車輛、軌道兩個(gè)子系統(tǒng)，其中車輛子系統(tǒng)為附有二系彈簧的整車模型，軌道結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)為離散的三層彈性梁模型。兩子系統(tǒng)通過輪軌非線性接觸力和位移協(xié)調(diào)條件實(shí)現(xiàn)耦合。針對車輛-軌道非線性耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程提出了交叉迭代算法。為加速迭代收斂速度，引入松弛法對輪軌接觸力進(jìn)行修正。為證明算法的正確性，進(jìn)行了算例驗(yàn)證。同時(shí)還給出了CRH3高速動(dòng)車在有砟軌道上運(yùn)行時(shí)引起車輛和軌道振動(dòng)的實(shí)例，分析中考慮了輪軌線性和非線性接觸及不同列車速度對車輛和軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響。計(jì)算結(jié)果表明交叉迭代算法具有程序編制簡單、收斂速度快、用時(shí)少、精度高的優(yōu)點(diǎn)；采用輪軌線性接觸模型得到的車輛和軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)比輪軌非線性接觸模型得到的結(jié)果要大，其中位移、加速度最大值和振幅增大范圍約在15%以內(nèi)，輪軌接觸力最大值和振幅增大范圍約在5%以內(nèi)。

振動(dòng)與波；車輛-軌道非線性耦合；交叉迭代算法；輪軌非線性接觸；輪軌線性接觸；松弛法

隨著客運(yùn)高速化、貨運(yùn)重載化和運(yùn)輸密度的大幅提高，車輛與軌道系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題更加突出，也日趨復(fù)雜。車輛-軌道動(dòng)力學(xué)理論研究也越來越深入，并取得了一系列的成果。例如翟婉明教授建立車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)統(tǒng)一模型［1］，并提出兩種新型數(shù)值積分方法［2］；向俊、曾慶元運(yùn)用矩陣的“對號入座”法則建立車輛-軌道系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程［3］；張格明等建立車輛、有碴軌道和無碴軌道、簡支箱梁橋垂向和橫向耦合系統(tǒng)動(dòng)力分析模型，系統(tǒng)分析我國鐵路干線主要形式的軌道不平順對中高速車輛走行性能的影響，得到了一般規(guī)律性的結(jié)論［4］；宣言等建立了高速鐵路曲線線路車線耦合系統(tǒng)有限元模型，對曲線線路在高速行車條件下的耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性能進(jìn)行仿真［5］。雷曉燕、張斌等建立列車-軌道-路基耦合系統(tǒng)動(dòng)力分析模型，提出車輛單元和軌道單元的概念［6］；馮青松、雷曉燕等為了分析不平順條件下高速鐵路軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)，推導(dǎo)移動(dòng)車輛在輪對處和軌道結(jié)構(gòu)在輪軌接觸點(diǎn)處的柔度矩陣，建立了移動(dòng)車輛-軌道垂向耦合振動(dòng)的解析模型［7］。夏禾、曹艷梅等利用解析的波數(shù)-頻域法建立列車-軌道-大地耦合模型［8］。馮牧、雷曉燕對列車引發(fā)建筑物振動(dòng)及隔振進(jìn)行試驗(yàn)與數(shù)值分析［9］。涂勤明和雷曉燕等研究地鐵產(chǎn)生的環(huán)境振動(dòng)及軌道結(jié)構(gòu)減振技術(shù)措施［10］。以上研究各有特色，但主要是針對車輛-軌道線性耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題，而對輪軌之間非線性接觸算法以及由此引起的車輛和軌道結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力響應(yīng)分析很少涉及。文中運(yùn)用有限元法建立車輛-軌道非線性耦合系統(tǒng)振動(dòng)分析模型，該模型包含車輛、軌道兩個(gè)子系統(tǒng)，其中車輛子系統(tǒng)為附有二系彈簧、阻尼的整車模型，下部軌道結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)為離散的三層彈性梁模型，兩子系統(tǒng)通過輪軌非線性接觸力和位移協(xié)調(diào)條件實(shí)現(xiàn)耦合。針對車輛-軌道非線性耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，提出了交叉迭代算法。為加速迭代收斂速度，引入松弛法對輪軌接觸力進(jìn)行修正。為證明算法的正確性，進(jìn)行了算例驗(yàn)證。同時(shí)還給出了CRH3高速動(dòng)車在有砟軌道上運(yùn)行時(shí)引起車輛和軌道振動(dòng)的實(shí)例，分析中考慮了輪軌線性和非線性接觸及不同列車速度對車輛和軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響。計(jì)算結(jié)果表明文中提出的交叉迭代算法具有程序編制簡單、收斂速度快、用時(shí)少、精度高的優(yōu)點(diǎn)。

1　基本假設(shè)

在用有限元法建立車輛-軌道非線性耦合系統(tǒng)豎向振動(dòng)模型時(shí)，采用以下基本假設(shè)：

（1）僅考慮車輛-軌道耦合系統(tǒng)豎向振動(dòng)效應(yīng)。

（2）車輛系統(tǒng)和軌道-路基系統(tǒng)沿線路方向左右對稱，可取一半結(jié)構(gòu)研究。

（3）上部車輛系統(tǒng)為附有二系彈簧阻尼的整車模型，車體和轉(zhuǎn)向架考慮沉浮振動(dòng)和點(diǎn)頭振動(dòng)。

（4）輪軌間為非線性彈性接觸。

（5）鋼軌被離散為二維梁單元，軌下墊板和扣件的彈性及阻尼分別用彈性系數(shù)ky1和阻尼系數(shù)cy1表示。

（6）軌枕質(zhì)量作為集中質(zhì)量處理并僅考慮豎向振動(dòng)效應(yīng)；枕下道床的支承彈性系數(shù)和阻尼系數(shù)分別用ky2和cy2表示。

（7）道砟質(zhì)量簡化為集中質(zhì)量并僅考慮豎向振動(dòng)效應(yīng)；道砟下路基的支承彈性系數(shù)和阻尼系數(shù)分別用ky3和Cy3表示。

2　車輛子系統(tǒng)

車輛子系統(tǒng)為附有二系彈簧阻尼的整車模型，如圖1所示。

圖1　上部車輛子系統(tǒng)模型

運(yùn)用Lagrange方程，可得到上部車輛子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

圖中Mc、Jc為1/2的車體質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Mt、Jt為1/2轉(zhuǎn)向架質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ks1、ks2為車輛一、二系懸掛剛度；cs1、cs2為車輛一、二系懸掛阻尼；Mwi（i=1，2，3，4）為第i個(gè)車輪的質(zhì)量；vc、φc為車體沉浮振動(dòng)的豎向位移、車體點(diǎn)頭振動(dòng)的角位移；vti、φti（i=1，2）為前、后轉(zhuǎn)向架沉浮振動(dòng)的豎向位移、點(diǎn)頭振動(dòng)的角位移；vwi（i=1，2，3，4）為第i個(gè)車輪的豎向位移?？紤]軌面隨機(jī)不平順，不平順幅值用η表示，與四個(gè)車輪接觸處的不平順幅值分別為η1、η2、η3、η4。

定義車輛單元節(jié)點(diǎn)位移向量

Pi=-Mwig+Fuli，F(xiàn)uli為第i個(gè)車輪的輪軌觸力，可根據(jù)輪軌相對接觸豎向位移由赫茲公式求得。

其中vwi、vlci分別為車輪、鋼軌在第i個(gè)輪軌接觸處的位移，ηi為鋼軌表面不平順，G為接觸撓度系數(shù)［11］。

3　有砟軌道子系統(tǒng)

有砟軌道子系統(tǒng)模型如圖2所示。

圖2有砟軌道子系統(tǒng)模型

圖3為有砟軌道單元模型，圖中v1、v4表示鋼軌的豎向位移；θ1、θ4表示鋼軌的轉(zhuǎn)角；v2、v5表示軌枕的豎向位移；v3、v6為道砟的豎向位移；mt、mb分別為四分之一的軌枕質(zhì)量和兩軌枕間道砟質(zhì)量；l為有砟軌道軌枕間距。

圖3　有砟軌道單元模型

定義有砟軌道單元的結(jié)點(diǎn)位移為

運(yùn)用有限元法，可得到下部有砟軌道子系統(tǒng)的有限元方程為

4　交叉迭代算法

采用Newmark數(shù)值積分法求解車輛-軌道非線性耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，下面給出了用交叉迭代算法求解車輛-軌道非線性耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的步驟。

在車輛和軌道兩子系統(tǒng)中要求解的方程為二階常微分方程組。

對于車輛結(jié)構(gòu)，見圖1，式（2）可改寫為

若將Hertz非線性剛度線性化，則有

kw為輪軌線性化接觸剛度，p0為車輪靜荷載。式（7）經(jīng)剛度線性化后還可寫成

對于軌道結(jié)構(gòu)，如圖2所示，式（6）可寫成

其中ci（i=0，1，2，...，7）為Newmark算法系數(shù)［12］。

現(xiàn)給出主要計(jì)算步驟如下：

1）初始計(jì)算

（1）在起始第一時(shí)間步和首次迭代時(shí)，假設(shè)軌道結(jié)構(gòu)初始位移通常可取=），根據(jù)可得到第i個(gè)輪軌接觸處的初始鋼軌位移i=1，2，3，4），進(jìn)而得到。

2）對時(shí)間步長循環(huán)

設(shè)在時(shí)間步長t，已進(jìn)行了k-1次迭代，現(xiàn)考察第k次迭代：

（2）運(yùn)用松弛法對輪軌接觸力進(jìn)行修正，令

其中μ為松弛因子，一般取0＜μ＜1，根據(jù)時(shí)間步長選取μ的值，如時(shí)間步長為0.001 s時(shí)μ=0.3時(shí)可獲得很好的效果。

定義收斂準(zhǔn)則為

（6）計(jì)算軌道位移差值

其中

ε取1.0×10-8～1.0×10-5之間的數(shù)。

（7）對軌道位移進(jìn)行收斂性判別。

① 如果收斂性得到滿足，轉(zhuǎn)步驟II，進(jìn)入下一時(shí)間步長循環(huán)，令t=t+Δt，并取

繼續(xù)計(jì)算，直至整個(gè)計(jì)算時(shí)域T。

② 如果收斂性不滿足，轉(zhuǎn)步驟II，令k=k+1，進(jìn)入下一迭代步循環(huán)。

5　模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證模型和方法的正確性，采用文中提出的交叉迭代算法計(jì)算文獻(xiàn)［7］中的算例。分別用兩種方法分析整車通過時(shí)車輛和軌道的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，其中車輛為我國高速鐵道車輛，軌道為60 kg/m有砟軌道，列車速度為252 km/h，假設(shè)軌道為完全平順，其它參數(shù)見文獻(xiàn)［7］。參考文獻(xiàn)計(jì)算結(jié)果見圖4（a），本文計(jì)算結(jié)果見圖4（b），可見兩者吻合良好。

6　車輛-軌道非線性耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)分析

若不引入松弛因子，則算法對時(shí)間步長選取要求較高。當(dāng)時(shí)間步長超過某一限值時(shí)，迭代不收斂；當(dāng)時(shí)間步長選取過大時(shí)，即使引入松弛因子算法仍不收斂。當(dāng)算法收斂時(shí)，時(shí)間步長、松弛因子越大，收斂速度越快，程序運(yùn)行時(shí)間越短。但時(shí)間步長過大時(shí)，松弛因子須取較小數(shù)值才能保證算法收斂。所以為提高算法收斂速度，需要綜合考慮時(shí)間步長和松弛因子的影響。對一般工程問題，當(dāng)時(shí)間步長取為0.001 s，且松弛因子 μ=0.3時(shí)可獲得很好的效果。

作為車輛-軌道非線性耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)分析的實(shí)例，考慮高速整車CRH3通過時(shí)車輛和軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，列車參數(shù)見表文獻(xiàn)［13］，軌道結(jié)構(gòu)為60 kg/m有砟軌道，無縫線路，其參數(shù)見參考文獻(xiàn)［14］。采用美國六級不平順功率譜密度函數(shù)作為軌道不平順的激勵(lì)。分別考慮輪軌線性和非線性接觸以及不同列車速度（V=80 km/h、120 km/h、160 km/ h、200 km/h）對車輛和軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響。取軌道長度為200 m，時(shí)間積分步長取為0.001 s。

圖4　鋼軌撓度曲線

計(jì)算結(jié)果見表1至表10，它們分別代表考慮軌道不平順激勵(lì)和不同列車速度工況下，輪軌線性接觸和非線性接觸所對應(yīng)的鋼軌位移、軌枕位移和道床位移、鋼軌加速度、軌枕加速度和道床加速度、車輪加速度、轉(zhuǎn)向架加速度和車體加速度以及輪軌接觸力的最大值和振幅。

從表1至表3可見在線性接觸時(shí)速度對軌道結(jié)構(gòu)位移影響較大，當(dāng)列車速度從80 km/h增加到200 km/h，在線性接觸時(shí)鋼軌、軌枕、道床的振幅分別從1.15 mm、0.745 mm、0.556 mm增加到1.38 mm、0.96 mm、0.729 mm，增幅為20%、28.8%、31.1%。在非線性接觸時(shí)，道床位移振幅隨速度增大而增大，鋼軌、軌枕位移振幅在速度為200 km/h時(shí)最大，在速度為160 km/h時(shí)和120 km/h時(shí)的結(jié)果接近相等，但在速度為80 km/h時(shí)比速度為160 km/h時(shí)的結(jié)果大。

鋼軌、軌枕和道床最大豎向撓度和振幅在線性接觸時(shí)比非線性接觸時(shí)大，其增大范圍在15%以內(nèi)。

從表4至表6可見鋼軌、軌枕和道床加速度最大值和振幅也增加隨著速度的增加而增大，在線性接觸時(shí)其振幅從速度為80 km/h時(shí)的115.8 m/s2、41.4 m/s2、33.4 m/s2增加到速度為200 km/h時(shí)的515.4 m/ s2、108 m/s2、121 m/s2，增幅分別為345.1%、160.9%、 262.3%，非線性接觸時(shí)其振幅增加的幅度分別為349.8%、172.8%、258.2%。

線性接觸時(shí)鋼軌、軌枕和道床加速度最大值和振幅比非線性接觸時(shí)大，其增大范圍在10%以內(nèi)。

從表7至表9可以看出：轉(zhuǎn)向架和車體的加速度振幅隨著速度的增加而增加，線性接觸時(shí)其加速度從速度為80 km/h時(shí)的8.27 m/s2、0.451 m/s2增加到11.70 m/s2、0.784 m/s2，增幅分別為41.5%、73.8%；非線性接觸時(shí)增幅分別為50.6%、51.1%。而車輪加速度隨著速度的增加基本增大，但是車輪的加速度振幅在車速為80 km/h時(shí)比120 km/h時(shí)大，這可能與軌道個(gè)別點(diǎn)不平順幅值過大有關(guān)。

考慮輪軌線性接觸時(shí)的轉(zhuǎn)向架和車輪的加速度振幅比非線性接觸時(shí)略大，其增大范圍在5%以內(nèi)；車體加速度振幅在200 km/h時(shí)線性接觸比非線性接觸時(shí)略大，其它速度下則基本相等，但無論是最大值還是振幅都在1 m/s2范圍內(nèi)，說明車輛的一、二系彈簧阻尼系統(tǒng)具有良好的隔振作用。

從表10可以看出：輪軌力最大值和振幅基本隨速度增加而增大，但速度為80 km/h時(shí)的輪軌力最大值和振幅比120 km/h時(shí)的略大些；當(dāng)速度從120 km/ h增加到200 km/h，線性接觸時(shí)輪軌力最大值和振幅分別從97.3 kN、51.9 kN增加到112 kN、84.2 kN，增幅為15.1%、62.2%；非線性接觸時(shí)輪軌力最大值和振幅分別從93.4 kN、51.3 kN增加到113 kN、86.6 kN，增幅為20.9%、68.8%。

表1　鋼軌位移最大值和振幅

表2　軌枕位移最大值和振幅

表3　道床位移最大值和振幅

輪軌力最大值在線性接觸時(shí)比非線性時(shí)略大些，輪軌力振幅差別較小。

7　結(jié)語

文中運(yùn)用有限元法建立了車輛-軌道非線性耦合系統(tǒng)振動(dòng)分析模型，該模型包含車輛、軌道兩個(gè)子系統(tǒng)，其中車輛子系統(tǒng)為附有二系彈簧、阻尼的整車模型，軌道結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)為離散的三層彈性梁模型，兩子系統(tǒng)通過輪軌非線性接觸力和位移協(xié)調(diào)條件實(shí)現(xiàn)耦合。針對車輛-軌道非線性耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，提出了交叉迭代算法。為加速迭代收斂速度，引入了松弛法對輪軌接觸力進(jìn)行修正。通過對車輛-軌道非線性耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的實(shí)例分析，得到下列結(jié)論：

（1）采用交叉迭代算法和引入松弛因子對輪軌接觸力進(jìn)行修正能加快算法收斂速度，在每一時(shí)步中只要經(jīng)過3～8次迭代即可收斂。

（2）將車輛-軌道非線性耦合系統(tǒng)分解為車輛子系統(tǒng)和軌道子系統(tǒng)，可分別獨(dú)立求解，既降低了分析問題的規(guī)模，又減小了程序設(shè)計(jì)的難度。同時(shí)，由于兩個(gè)子系統(tǒng)有限元方程的系數(shù)矩陣全部為定值，且為對稱矩陣，只須對方程的系數(shù)矩陣一次求逆，在每一時(shí)步的迭代中只須進(jìn)行回代計(jì)算，因而極大地提高了計(jì)算速度。目前已有的基于“對號入座”求解車輛-軌道耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的算法，隨著車輛在軌道上的位置不斷改變，有限元耦合方程的系數(shù)矩陣也在不斷變化，因此在每一時(shí)步的計(jì)算中，需要進(jìn)行求逆運(yùn)算，大大降低了計(jì)算效率。通過對列車在200 m長軌道上運(yùn)行引起車輛和軌道動(dòng)力響應(yīng)實(shí)例的仿真分析，得到結(jié)論：采用文中提出的“交叉迭代算法”在普通計(jì)算機(jī)工作站上運(yùn)行用時(shí)只須5 min，而基于“對號入座”算法用時(shí)則需要60 min，一般情況下，前者的計(jì)算效率是后者的4～6倍，求解問題的規(guī)模越大則計(jì)算效率越高。

表4　鋼軌加速度最大值和振幅

表5　軌枕加速度最大值和振幅

表6　道床加速度最大值和振幅

表7　車輪加速度最大值和振幅

表8　轉(zhuǎn)向架加速度最大值和振幅

表9　車體加速度最大值和振幅

表10　輪軌接觸力最大值和振幅

（3）列車速度對車輛和軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)有顯著影響，無論是輪軌線性接觸模型還是非線性接觸模型，鋼軌、軌枕和道床的位移，鋼軌、軌枕、道床、轉(zhuǎn)向架和車體的加速度以及輪軌接觸力均隨著列車速度的提高而增加；采用輪軌線性接觸模型得到的車輛和軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)比輪軌非線性接觸模型得到的結(jié)果要大，其中位移、加速度最大值和振幅增大范圍約在15%以內(nèi)，輪軌接觸力最大值和振幅增大范圍約在5%以內(nèi)。因此，在按輪軌線性接觸模型進(jìn)行車輛、軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析，并根據(jù)分析結(jié)果進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)是偏保守和偏安全的。

最后指出，文中提出的算法具有普遍適用性，可推廣應(yīng)用于移動(dòng)荷載作用下的各類線性和非線性問題的分析中。

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Cross-iterativeAlgorithm and ItsApplication to theAnalysis of Vehicle-track Nonlinear Coupling Systems

LEI Xiao-yan，WU Shen-hua，ZHANGBin

（Engineering Research Center of Railway Environment Vibration and Noise，Ministry of Education，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，China）

A model for dynamic analysis of a vehicle-track nonlinear coupling system is established by finite element method.The system is divided into two subsystems，i.e.the vehicle subsystem considered as the secondary spring vehicle model and the track subsystem regarded as the model of three discrete elastic beams.Coupling of the two systems is achieved by equilibrium conditions of wheel-rail nonlinear contact forces and geometrical compatibility conditions.A crossiterative algorithm is presented to solve the dynamics equations of the vehicles-track nonlinear coupling system.In order to accelerate the iterative convergence rate，the relaxation technique is employed to correct the wheel-rail contact force. Comparing with the example in a reference，the correctness of the algorithm is verified.Examples of the vehicle and track vibration induced by the high-speed CRH3 train traveling on ballasted track are given，in which the influences of linear and nonlinear contact and different train speed on the vibration of vehicles and track structure are considered.The results demonstrate that the cross-iterative algorithm has the advantages of simple programming，fast convergence rate，less computation time and high accuracy.The dynamic response obtained by the wheel-rail linear contact model is larger than that by the wheel-rail nonlinear contact model.The increases of the maximum displacement，the maximum acceleration，the displacement amplitude and the maximum acceleration are all within 15%.The increases of the maximum wheel-rail contact force and the wheel-rail contact force amplitude are all within 5%.

vibration and wave；vehicle-track nonlinear coupling；cross-iterative algorithm；wheel-rail nonlinear contact；wheel-rail linear contact；relaxation technique

U213.2+12

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.04.024

1006-1355（2016）04-0113-07

2015-12-25

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51478184）

雷曉燕（1956-）男，教授，研究方向?yàn)楦咚勹F路軌道動(dòng)力學(xué)。E-mail:xiaoyanlei2013@163.com

，吳神花（1989-）女，碩士研究生，研究方向?yàn)楦咚勹F路軌道動(dòng)力學(xué)。Email:466980214qq.com