楊樟世，秦　營(yíng)，李映輝

（西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031）

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沖擊荷載作用下軸向運(yùn)動(dòng)層合板非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)

楊樟世，秦營(yíng)，李映輝

（西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031）

研究軸向運(yùn)動(dòng)層合板在沖擊荷載作用下的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。基于單層材料本構(gòu)關(guān)系及大變形理論，考慮幾何非線性得到?jīng)_擊荷載作用下的軸向運(yùn)動(dòng)層合板非線性動(dòng)力學(xué)控制方程；通過(guò)Galerkin法對(duì)控制方程進(jìn)行離散得到模態(tài)方程組，用Runge-Kutta法對(duì)模態(tài)方程組求解，得到?jīng)_擊荷載作用下軸向運(yùn)動(dòng)層合板的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。討論了軸向速度、沖擊波峰值和相位持續(xù)時(shí)間對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)層合板動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。

聲學(xué)；沖擊荷載；軸向運(yùn)動(dòng)；層合板；幾何非線性

層合結(jié)構(gòu)常應(yīng)用飛行器、空間站、汽車、潛艇等。這類結(jié)構(gòu)有時(shí)處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并受音爆、爆炸等沖擊荷載作用。因此研究這類運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)在沖擊荷載下的非線性動(dòng)力學(xué)行為具有學(xué)術(shù)理論和工程意義。

關(guān)于板在沖擊荷載下的力學(xué)行為，Aaron等研究了矩形板在沖擊荷載下的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)［1］。Zafer等研究了復(fù)合材料結(jié)構(gòu)在各種沖擊荷載下的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)［2-4］。Schiffer等基于實(shí)驗(yàn)和有限元法，討論了水下沖擊荷載下正交各向異性復(fù)合材料板的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)［5］。Demet等對(duì)沖擊荷載下黏彈性?shī)A層板的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行分析，并用有限元解和實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證［6］。曾誠(chéng)等考慮阻尼非線性特性，研究了非線性橡膠隔振器的沖擊響應(yīng)［7］。關(guān)于軸向運(yùn)動(dòng)板，劉金堂等研究了軸向運(yùn)動(dòng)板的非線性動(dòng)力學(xué)行為［8］。李映輝等研究了軸線運(yùn)動(dòng)下黏彈性?shī)A層板非線性動(dòng)力穩(wěn)定性［9］。李中華等討論了軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性?shī)A層板的多模態(tài)耦合橫向振動(dòng)［10］。而目前未見軸向運(yùn)動(dòng)板在沖擊荷載下的研究?jī)?nèi)容。

擬通過(guò)建立軸向運(yùn)動(dòng)層合板在沖擊荷載下的非線性動(dòng)力學(xué)方程，研究其非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，分析軸向運(yùn)動(dòng)速度、沖擊波峰值和相位持續(xù)時(shí)間等對(duì)其動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。

1　控制方程

如圖1、圖2所示，層合板等效密度為ρ，第k層厚度為zk-zk-1，總厚度為H，長(zhǎng)為a，寬為b，以速度νx沿x軸方向運(yùn)動(dòng)，受到?jīng)_擊荷載P（t）的作用，其平衡方程為［10］

其中zk為第k層厚度方向坐標(biāo)，Mx、My和Mxy為板內(nèi)截面彎矩（扭矩），Nx、Ny分別為板內(nèi)沿x方向、y方向的截面面力，F(xiàn)xy為面內(nèi)剪切力，w（x，y，t）為層合板的撓度，（·）x和（·）xx分別為對(duì)x的1階和2階偏導(dǎo)?？紤]幾何非線性，層合板幾何方程為［9-10］

圖1　層合板中面模型

圖2　層合板截面模型

其中

層合板本構(gòu)方程為［11］

式（4）中

A、B、D分別為拉伸、耦合和彎曲剛度矩陣，其元素為［11］

式（6）中

其中sn=sinq，cs=cosq，q為纖維方向角，Q11=E1/（1 -ν12ν21），Q22=E2/（1-ν12ν21），Q66=G12，Q12=ν12E1/（1-ν12ν21），其中E1和E2為主方向彈性模量，ν12和ν21為泊松比。

將式（4）代入式（1），得

式（9）中，沖擊荷載P（t）一般形式為［1］

其中Pm為沖擊荷載峰值，tp為相位持續(xù)時(shí)間，α=1.98為修正系數(shù)。

2　求解方法

假設(shè)式（9）的解為

其中Fmn（x，y）是滿足邊界條件的試函數(shù)；M、N為截?cái)嚯A數(shù)，代入方程（9），得到系統(tǒng)殘差R（x，y，t），使用Galerkin法，得

對(duì)四邊簡(jiǎn)支層合板，其邊界條件為

3　數(shù)值結(jié)果與討論

考慮兩種材料組成的層合板，第一種材料為玻璃鋼M300，各向同性，E1=9 140 MPa，ν12=0.326，單層厚度為0.01 m。第二種材料為玻璃鋼W600，E1= 21 000 MPa，E2=20 500 MPa，ν12=0.137，G12=2 320 MPa，單層厚度為0.01 m。板長(zhǎng)a=1 m，寬b=1 m，總厚度為0.04 m，等效密度ρ=1 680 kg/m3，鋪層方式為（M300/W600）s，鋪層角為（0°/90°）s，共4層。

3.1收斂性驗(yàn)證

取軸向運(yùn)動(dòng)速度νx=200 m/s，沖擊荷載峰Pm= 3.447 MPa，相位持續(xù)時(shí)間tp=0.1 s，試函數(shù)［2-4］

取M=1，2，4，8，16，N=1，用Runge-Kutta法對(duì)式（12）進(jìn)行求解，驗(yàn)證M變化時(shí)結(jié)果的收斂性，圖3給出了板在（0.25 a，0.25 b）處的橫向位移的峰值隨M變化的規(guī)律。

圖3　橫向位移的峰值隨M變化的規(guī)律（νx=200 m/s， tp=0.1s， Pm=3.447 MPa）

取M=1，N=1，2，4，8，16，驗(yàn)證N變化時(shí)結(jié)果的收斂性，圖4給出了板在（0.25 a，0.25 b）處的橫向位移的峰值隨M變化的規(guī)律。

圖4　橫向位移的峰值隨M變化的規(guī)律（νx=200 m/s， tp=0.1s， Pm=3.447 MPa）

圖3中M=1時(shí)的峰值與M=16時(shí)的峰值相差16%，圖4中N=1時(shí)的峰值與N=16時(shí)的峰值相差0.04%，可認(rèn)為沒(méi)有變化，故M可取16，N取1。有理由推出，不考慮速度項(xiàng)，由圖4，可取M=N=1，這與文獻(xiàn)［2-4］M和N的取值相同，故無(wú)需驗(yàn)證M=2時(shí)，N= 1，2，4，8，16和其他類似情況的峰值變化規(guī)律。

3.2有限元驗(yàn)證

將M=16、N=1的結(jié)果與有限元軟件LS-DYNA的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。圖5給出了板在（0.25a，0.25b）處的橫向位移隨時(shí)間變化的規(guī)律，可見二者結(jié)果基本一致，說(shuō)明本方法有效。

3.3軸向速度vx的影響

圖6為軸向速度為νx、2νx、4νx時(shí)層合板動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。可見，因陀螺效應(yīng)，產(chǎn)生速度阻尼，所以速度越大，響應(yīng)的幅值越小。

3.4沖擊荷載峰值Pm的影響

圖7為沖擊荷載峰值為Pm、2Pm、Pm時(shí)層合板動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。顯而易見，增加峰值使幅值和頻率變大。

圖5　橫向位移的峰值隨M變化的規(guī)律（νx=200 m/s， tp=0.1s， Pm=3.447 MPa）

圖6　軸向運(yùn)動(dòng)速度對(duì)板橫向位移影響（tp=0.1 s， Pm=3.447 MPa， νx=50 m/s）

圖7　沖擊荷載峰值對(duì)板橫向位移的影響（νx=200 m/s， tp=0.1 s， Pm=3.447 MPa）

3.5相位持續(xù)時(shí)間tp的影響

圖8為相位持續(xù)時(shí)間分別為tp、2tp、4tp時(shí)層合板的響應(yīng)?？梢?，相位持續(xù)時(shí)間tp越長(zhǎng)，沖擊荷載作用的時(shí)間越長(zhǎng)，從而使幅值越大。

4　結(jié)語(yǔ)

基于單層材料本構(gòu)關(guān)系及大變形理論，得到軸向運(yùn)動(dòng)層合板非線性動(dòng)力學(xué)方程。用Galerkin法得到層合板動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，結(jié)論如下：

因陀螺效應(yīng)，產(chǎn)生速度阻尼，幅值隨著速度增大而增大；沖擊荷載峰值越大，響應(yīng)頻率越大，幅值越大；相位持續(xù)時(shí)間tp越長(zhǎng)，沖擊荷載作用的時(shí)間越長(zhǎng)，幅值越大。

圖8　相位持續(xù)時(shí)間對(duì)板橫向位移的影響（νx=200 m/s， Pm=3.447 MPa， tp=0.005 s）

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Nonlinear Dynamic Response of Laminated Plates with Axial Motion Subjected to Impact Load

YANG Zhang-shi，QINYing，LI Ying-hui

（School of Mechanics and Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

The nonlinear dynamic response of laminated plates with axial motion subjected to impact load is studied.Firstly，based on the constitutive relation of the material of each layer and large deformation theory，the nonlinear dynamical equation of the plates is obtained.Then，the modal equations are gained through Galerkin method and solved by Runge-Kutta method.Finally，the effects of axial motion velocity，the peak reflection pressure，the positive pressure phase duration of the impulse on the nonlinear dynamic response are investigated.

acoustics；impact load；axial motion；laminated plate；geometric nonlinearity

O422.6

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.04.004

1006-1355（2016）04-0021-03+37

2016-01-04

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11372257）

楊樟世（1990-），男，浙江省湖州市人，碩士研究生，研究方向?yàn)閯?dòng)力學(xué)與控制。E-mail:yinghui.li@swjtu.edu.cn