李家樂, 王正平

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院, 陜西 西安 710072)

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基于Lagrange方法的單旋翼飛行器動力學(xué)建模

李家樂, 王正平

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院, 陜西 西安 710072)

為了進(jìn)行微小型單旋翼飛行器的動力學(xué)建模,通過建立多個(gè)坐標(biāo)系來反映各部分間的相對運(yùn)動。首先,利用坐標(biāo)變換得到位置、速度及加速度等向量,并代入拉格朗日方程得到運(yùn)動學(xué)模型;然后,對模型進(jìn)行數(shù)值求解,得到飛行器的姿態(tài)響應(yīng)。仿真結(jié)果表明,飛行器定點(diǎn)盤旋時(shí)合外力為零,能量保持不變;爬升或前飛時(shí)有非保守力做正功,能量增大。

Lagrange方程; 坐標(biāo)變換矩陣; 傳輸定理; 穩(wěn)定性分析

0　引言

對于微小型飛行器SAMARAI[1]的構(gòu)形,目前已有穩(wěn)定性分析[2]、翼型分析[3]以及運(yùn)動的數(shù)值仿真結(jié)果[1]，但是缺失了很重要的一部分,即如何推導(dǎo)運(yùn)動學(xué)方程。

對于常規(guī)布局飛機(jī),通常應(yīng)用飛行力學(xué)中的六自由度方程等方法進(jìn)行動力學(xué)建模和分析。本文將不采用六自由度方程來建立模型,而是采用Lagrange方程法,該方法能夠很好地仿真機(jī)體各部分間有相對轉(zhuǎn)動的飛行器。通過對機(jī)體不同部分建立不同的坐標(biāo)系,分析坐標(biāo)系間的變換矩陣和相對轉(zhuǎn)動角速度。利用動能和勢能表示出拉格朗日算子，并帶入拉格朗日方程從而得到運(yùn)動學(xué)方程。

本文按照該系統(tǒng)化的過程,分析了飛行器運(yùn)動的特點(diǎn)和穩(wěn)定性,進(jìn)而簡化了模型和推導(dǎo)過程。關(guān)鍵在于利用傳輸定理將速度、加速度變換至同一坐標(biāo)系下。最后編寫Matlab程序數(shù)值求解方程,得到不同輸入下的響應(yīng)。該模型能夠?qū)崿F(xiàn)飛行器的定點(diǎn)盤旋、爬升和前飛狀態(tài)的仿真,并且從能量的角度能夠驗(yàn)證建模、仿真的正確性。

1　外形尺寸、重量及坐標(biāo)系的建立

微小型飛行器SAMARAI的外形如圖1所示,簡化結(jié)構(gòu)及外形尺寸如圖2所示。

圖1　SAMARAI 外形圖Fig.1　The layout of SAMARAI

圖2　構(gòu)形、坐標(biāo)系及尺寸Fig.2　Configuration, coordinate systems and dimensions

該飛行器由一個(gè)直徑為7 cm、高度為2 cm的航電盤,展長為11 cm的機(jī)翼,以及1個(gè)拉力螺旋槳組成。前兩者分別記為B1和B2,整個(gè)機(jī)體記為B。機(jī)翼翼型為AG38[3],認(rèn)為該機(jī)翼上并無展向流動,在4°迎角時(shí),機(jī)翼的升力系數(shù)、阻力系數(shù)約為0.7和0.04。

對于同樣尺寸的單翼飛行器,質(zhì)量可以小于0.075 kg,旋轉(zhuǎn)速度可達(dá)80.5 rad/s。假設(shè)飛行器總重0.06 kg,航電盤質(zhì)量m1為0.037 kg,剩余部分質(zhì)量m2為0.023 kg。調(diào)整內(nèi)部部件的分布可保證飛行器的重心在盤和機(jī)翼相交處。

SAMARAI為一個(gè)被動的穩(wěn)定系統(tǒng),通過定性的穩(wěn)定性分析可知,SAMARAI能夠做到在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)[2],這樣可簡化坐標(biāo)系的建立。

Oxyz坐標(biāo)系為地面坐標(biāo)系;Axayaza坐標(biāo)系的原點(diǎn)A在飛行器重心處,隨著航電盤一起運(yùn)動,由Oxyz坐標(biāo)系繞Oy軸旋轉(zhuǎn)角度φ得到;Bxbybzb坐標(biāo)系的原點(diǎn)B在機(jī)翼重心處,隨機(jī)翼一起運(yùn)動,由Axayaza坐標(biāo)系繞Axa軸旋轉(zhuǎn)角度α得到,反映了機(jī)翼的迎角;Cxcyczc坐標(biāo)系的原點(diǎn)C在拉力螺旋槳重心處,由Bxbybzb坐標(biāo)系繞Bzb軸旋轉(zhuǎn)角度θ得到。

2　動力學(xué)分析

2.1坐標(biāo)系間的變換矩陣

由于機(jī)體各部分間有相對轉(zhuǎn)動,需要坐標(biāo)變換矩陣來實(shí)現(xiàn)同一向量在不同坐標(biāo)系下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。由上文可知,將Oxyz坐標(biāo)系繞Oy軸旋轉(zhuǎn)角度φ得到Axayaza坐標(biāo)系,則從坐標(biāo)系Oxyz到Axayaza的坐標(biāo)變換矩陣CAO為:

(1)

式中:cφ,sφ分別表示cosφ和sinφ。

同理便可以得到坐標(biāo)變換矩陣:

又因?yàn)檫B續(xù)的坐標(biāo)變化可以通過左乘一系列的坐標(biāo)變換矩陣得到,所以:

(2)

綜上所述，CAO可將向量在Oxyz坐標(biāo)系下的坐標(biāo)變換至Axayaza。同理可得CCO為:

坐標(biāo)系間相對轉(zhuǎn)動角速度為:

(3)

2.2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)向量

認(rèn)為p是機(jī)翼上一質(zhì)點(diǎn),q是螺旋槳尖上一質(zhì)點(diǎn),它們在各坐標(biāo)系中的位置為:

(4)

質(zhì)點(diǎn)p和q相對于地面的速度即為位置向量在地面坐標(biāo)系下的導(dǎo)數(shù),可以將位置向量寫為兩個(gè)向量之和,再進(jìn)行求導(dǎo),分別為:

(5)

(6)

加速度為:

(7)

3　動力學(xué)模型及拉格朗日方程

3.1動力學(xué)模型

拉格朗日方程將所有非保守力納入計(jì)算中,重力、升力、阻力及推力分別為:

G=[0-mBg0]FA

(8)

=[-LsαsφLcαLsαcφ]FO

(9)

=[DcαsφDsαDcαcφ]FO

(10)

式中:L為升力;CL為機(jī)翼的升力系數(shù);CD為阻力系數(shù);c為機(jī)翼的弦長;b為機(jī)翼展長;ds為翼段展向微元。

假設(shè)推力的大小為T,始終指向-zc方向,有:

(11)

如果推力和阻力平衡,則轉(zhuǎn)動角速度為64.37 rad/s。

分別將航電盤和剩余部分的重心記為C1和C2,則:

(12)

(13)

式中:d1和d2分別為B1和B2的重心到坐標(biāo)系A(chǔ)xayaza原點(diǎn)A的x向距離。

慣性靜矩I、轉(zhuǎn)動慣量J分別為:

(14)

(15)

可以驗(yàn)證,整個(gè)飛行器的轉(zhuǎn)動慣量滿足穩(wěn)定性的要求[4]。

3.2建立拉格朗日運(yùn)動方程

定義系統(tǒng)廣義坐標(biāo)為q=[xb,yb,zb,ε]T,從而廣義坐標(biāo)及其時(shí)間導(dǎo)數(shù)能夠完全描述飛行器的運(yùn)動狀態(tài)。B1的動能為:

式中:V為速度;dm1為航電盤質(zhì)量微元。將式(3)和式(6)帶入上式,并寫作矩陣形式為:

(16)

B2的動能為:

(17)

機(jī)體的總動能和總勢能為:

(18)

(19)

將拉格朗日算子定義為:

(20)

考慮功、虛功、廣義力和廣義力矩,虛功、虛位移分別為δW和δr,虛功為力通過虛位移作用在剛體上的功,所以有:

(21)

帶入無約束的拉格朗日方程:

(22)

于是方程變?yōu)?

(23)

式中：f[q(t)]中的分項(xiàng)為廣義力和廣義力矩,與升力、阻力和推力相關(guān)。將迎角和推力認(rèn)為是兩個(gè)輸入[5],改變輸入,能實(shí)現(xiàn)不同的運(yùn)動。

4　數(shù)值仿真及結(jié)果分析

4.14°迎角下的穩(wěn)定盤旋

從直觀角度來看,穩(wěn)定盤旋意味著機(jī)體受力平衡,f[q(t)]=0,能夠求解出轉(zhuǎn)動角速度為64.37 rad/s。迎角和推力兩個(gè)輸入都不發(fā)生變化,如果模型正確,能量應(yīng)該保持不變。飛行器在4°迎角下的穩(wěn)定盤旋時(shí)的狀態(tài)如圖3所示。

圖3　穩(wěn)定盤旋時(shí)的狀態(tài)和能量變化Fig.3　Variation of states and energy in steady hover

由圖3可知,飛行器的位置和自轉(zhuǎn)角速度基本保持不變,表示飛行器能夠在空中某一位置穩(wěn)定盤旋。能量基本不變,說明只有保守力做功,符合實(shí)際情況,驗(yàn)證了數(shù)值仿真的正確性。

4.2爬升和前飛

保持推力不變,迎角隨轉(zhuǎn)動角速度變化從而實(shí)現(xiàn)爬升和前飛。在這種情況下,推力對飛行器做功,能量應(yīng)不斷增大。計(jì)算虛功為:

(24)

仿真結(jié)果如圖4所示。由圖4可以看出,x基本不變;y正向增大,表示飛行器爬升;z負(fù)向增大,表示飛行器前飛。能量的不斷增大是由于非保守力做功。仿真結(jié)果符合前文的理論分析結(jié)果。

圖4　爬升和前飛時(shí)的狀態(tài)和能量變化Fig.4　Variation of state and energy in climbing and flying forward

5　結(jié)束語

針對單旋翼飛行器,利用Lagrange方法能夠比較容易地推導(dǎo)出運(yùn)動模型,而且推導(dǎo)過程系統(tǒng)化,容易準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)。本文方法可以推廣到其他飛行器,如四旋翼飛行器等;對于柔性體,可以將飛行器看作多個(gè)質(zhì)點(diǎn),對拉格朗日算子求和,同樣具有實(shí)用性;對于更為復(fù)雜的運(yùn)動體系,可以將體系看作幾個(gè)相互約束的部分。這些將作為下一步研究的內(nèi)容。

[1]Jameson S,Fregene K,Chang M,et al.Lockheed martin’s SAMARAI nano air vehicle:challenges,research,and realization[R].AIAA-2012-0584,2012.

[2]Ulrich E R,Humbert J S,Pines D J.Pitch and heave control of robotic samara micro air vehicles[J].Journal of Aircraft,2010,47(4):1290-1299.

[3]Youngren H,Kroninger C,Chang M,et al.Low reynolds number testing of the AG38 airfoil for the SAMARAI nano air vehicle[R].AIAA-2008-417,2008.

[4]Youngren H,Jameson S,Satterfield B.Design of the SAMARAI monowing rotorcraft nano air vehicle[C]∥Proceedings of the American Helicopter Society AHS 65th Annual Forum and Technology Display.Fort Worth,Texas:Americom Helicopter Society,Inc,2009.

[5]Fregene K,Bolden C L.Dynamics and control of a biomimetic single-wing nano air vehicle[C]∥American Control Conference (ACC),2010.Baltimore,MD:IEEE,2010:51-56.

(編輯：李怡)

Dynamics modeling for monowing rotorcraft using Lagrange method

LI Jia-le, WANG Zheng-ping

(School of Aeronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

For the dynamics modeling for the microminiature monowing rotorcraft, several coordinate systems for different parts of the vehicle were set up to reflect the relative movements. Firstly, vectors such as position, velocity and acceleration were obtained by transformation of coordinates, and substituted into Lagrange equation to get dynamic model. Then, attitude responses were obtained by numerical calculation of the model. Simulation results show that the force is zero and the energy remains constant when the rotorcraft is hovering; non-conservative force works and the energy increase when the rotorcraft is climbing or flying forward.

Lagrange equation; direction cosine matrix; transport theorem; stability analysis

2015-08-24;

2016-02-20; 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:2016-02-29 16:37

李家樂(1991-)，女，陜西渭南人，碩士研究生，研究方向?yàn)轱w行器動力學(xué)和控制；

王正平(1964-)，男，陜西西安人，教授，研究方向?yàn)轱w行器設(shè)計(jì)。

V212; V275.1

A

1002-0853(2016)04-0015-04