王詩兵　王興元（大連理工大學電子信息與電氣工程學部大連116024）（阜陽師范學院計算機與信息工程學院阜陽236041）

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超混沌復系統(tǒng)的自適應廣義組合復同步及參數(shù)辨識

王詩兵①②王興元*①①
①（大連理工大學電子信息與電氣工程學部大連116024）
②（阜陽師范學院計算機與信息工程學院阜陽236041）

該文針對含未知參數(shù)的異結(jié)構(gòu)超混沌復系統(tǒng)，基于自適應控制及Lyapunov穩(wěn)定性理論，提出一種新的自適應廣義組合復同步方法（GCCS）。首先給出廣義組合復同步的定義，將驅(qū)動-響應系統(tǒng)的同步問題轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性問題；然后從理論上設計了非線性反饋同步控制器及參數(shù)辨識更新律，并引入誤差反饋增益，以控制同步的收斂速度；最后以超混沌復Lorenz系統(tǒng)、超混沌復Chen系統(tǒng)、超混沌復Lü系統(tǒng)的廣義組合復同步與參數(shù)估計為例，從數(shù)值仿真角度驗證了所提方法的正確性和有效性。

超混沌復系統(tǒng)；廣義組合復同步；參數(shù)辨識；自適應控制

1　引言

自1990年P(guān)ecora和Carrol提出混沌同步概念以來［1］，混沌同步因其在保密通信、信號與信息處理、神經(jīng)網(wǎng)絡、生物工程等各領(lǐng)域具有廣泛的應用潛能，而受到持續(xù)關(guān)注并得到了廣泛深入的研究，從而成為自然科學、工程技術(shù)乃至社會科學等眾多學科相互交叉的研究前沿和熱點［26］-。與混沌實系統(tǒng)相比，混沌復系統(tǒng)具有更加復雜的動力學行為，將其運用于保密通信，既可以提高信息傳輸效率，又可以提高抗攻擊、抗破譯等安全性能。因此，近年來混沌復系統(tǒng)的同步研究備受關(guān)注，混沌復系統(tǒng)、超混沌復系統(tǒng)的完全同步［7］、反同步［8］、延遲同步［3，9］、相同步［10］、投影同步［11，12］、廣義同步［13］、組合同步［1416］-等相繼實現(xiàn)。

在上述同步類型中，與其他單驅(qū)動單響應系統(tǒng)同步不同，組合同步采用多個驅(qū)動系統(tǒng)驅(qū)動單個響應系統(tǒng)實現(xiàn)混沌同步，其優(yōu)點在于可以將傳輸信號進行分割后調(diào)制到不同的驅(qū)動系統(tǒng)，或分時采用不同的驅(qū)動系統(tǒng)進行信號傳輸，從而提高混沌保密通信的安全性和靈活性［17］。文獻［14］分別實現(xiàn)了3個同構(gòu)、異構(gòu)超混沌復系統(tǒng)的組合同步，同步比例因子為實對角矩陣；文獻［15］實現(xiàn)了3個同構(gòu)超混沌復系統(tǒng)的組合復同步，同步比例因子為復對角矩陣；文獻［16］實現(xiàn)了不同階非線性復系統(tǒng)、實系統(tǒng)間的組合復同步，同步比例因子為復矩陣。上述復系統(tǒng)組合同步、組合復同步中，復系統(tǒng)的參數(shù)均為已知，且同步比例因子均為不含時間和變量的系數(shù)矩陣，而目前鮮見文獻報道含未知參數(shù)復系統(tǒng)的廣義同步、自適應組合同步。因此，本文將針對一類含有未知參數(shù)的異結(jié)構(gòu)超混沌復系統(tǒng)，提出一種綜合廣義同步［18］與組合同步的自適應廣義組合復同步及參數(shù)估計方法，基于自適應控制和Lyapunov穩(wěn)定性理論設計非線性反饋控制器及參數(shù)辨識更新律，并以超混沌復Lorenz系統(tǒng)、超混沌復Chen系統(tǒng)、超混沌復Lü系統(tǒng)的廣義組合復同步及參數(shù)辨識為例，驗證所提方法的正確性和有效性。

2　廣義組合復同步定義

考慮如下的非線性復系統(tǒng)分別作為驅(qū)動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)：

定義對驅(qū)動系統(tǒng)式（1），驅(qū)動系統(tǒng)式（2）及響應系統(tǒng)式（3），如果存在復矢量映射及復控制器使得

成立，則稱系統(tǒng)式（1），系統(tǒng)式（2）和系統(tǒng)式（3）實現(xiàn)了廣義組合復同步。

值得一提的是，廣義組合復同步是許多同步類型的推廣，如當（）0=xφ或（）0=yψ時，為廣義復同步；當（）0=xφ，（）0=yψ時，為系統(tǒng)式（3）的混沌控制；當時，為函數(shù)投影組合復同步，若1（）0t=Λ或2（）0t=Λ，為函數(shù)投影復同步；當為組合復同步等。

其中，（）Jφ，（）Jψ分別表示（）xφ，（）yψ的雅可比矩陣。據(jù)此，系統(tǒng)式（1），系統(tǒng)式（2），系統(tǒng)式（3）的廣義組合同步問題轉(zhuǎn)化為誤差動力系統(tǒng)式（5）的零解穩(wěn)定性問題。

3　自適應廣義組合復同步設計

定理如果復控制器及未知參數(shù)更新律為則響應系統(tǒng)式（3）和驅(qū)動系統(tǒng)式（1），驅(qū)動系統(tǒng)式（2）間實現(xiàn)了廣義組合復同步，同時未知參數(shù)得以成功辨識。其中為未知參數(shù)向量，，A B C的估計值向量為參數(shù)估計誤差向量；為同步誤差及參數(shù)誤差反饋增益矩陣，其元素均取正值。

證明選取式（8）所示的Lyapunov函數(shù)：

對式（8）關(guān)于時間求導，并將式（5）代入其中，可得

將式（6）和式（7）代入式（9），可得

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，當0>V且0

4　數(shù)值仿真與分析

為了驗證上述廣義組合復同步及參數(shù)辨識方法的正確性，在此選擇式（11），式（12）和式（13）所示的超混沌復Lorenz系統(tǒng)、超混沌復Chen系統(tǒng)、超混沌復Lü系統(tǒng)分別作為驅(qū)動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)［12］。由于已有文獻對此3個超混沌復系統(tǒng)的動力學行為進行分析，在此不再贅述。

為了應用文中第3節(jié)所提控制器、參數(shù)辨識的設計方法，可將系統(tǒng)式（11），系統(tǒng)式（12）和系統(tǒng)式（13）表示成式（1），式（2）和式（3）的形式，其中

為不失一般性，選取式（14）所示的復映射向量

其對應的雅可比矩陣為

則根據(jù)式（6）和式（7），可設計同步控制器如式（16），3個系統(tǒng)未知參數(shù)更新律如式（17），式（18）和式（19）。

其中，

為了得到同步及參數(shù)辨識結(jié)果，我們基于Matlab進行數(shù)值模擬，并按文獻［12］將未知參數(shù)的真實值設定為以確保系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)；3個系統(tǒng)初始狀態(tài)分別設置為未知參數(shù)估計值的初值均設為0；同步誤差及參數(shù)誤差反饋增益則仿真結(jié)果如圖1-圖3所示。圖1給出了響應系統(tǒng)狀態(tài)廣義組合復同步于驅(qū)動系統(tǒng)狀態(tài)的過程，圖2刻畫了廣義組合復同步誤差漸近趨于0的過程，圖1和圖2一致表明廣義組合復同步能在極短的時間內(nèi)成功實現(xiàn)；而圖3（a），圖3（b）和圖3（c）分別給出了對系統(tǒng)式（11），系統(tǒng)式（12）和系統(tǒng)式（13）未知參數(shù)的辨識過程，結(jié)果表明未知參數(shù)的估計值漸近趨于其真實值，成功實現(xiàn)了未知參數(shù)的準確辨識。

圖1　廣義組合復同步過程（kl=kA，l=kB，l=kC，l=10（l =1，2，3，4））

圖2　廣義組合復同步誤差（kl=kA，l=kB，l=kC，l=10（l =1，2，3，4））

圖3　未知參數(shù)辨識過程（kl=kA，l=kB，l=kC，l=10（l =1，2，3，4））

為了分析誤差反饋增益對同步收斂速度的影響，將各反饋增益修改為而保持其他參數(shù)和初始條件不變，再次進行仿真，得到圖4所示的廣義組合復同步誤差圖。通過對圖2和圖4的比較，容易得出：反饋增益減小，即控制強度減弱時，自適應廣義組合復同步速度減慢，系統(tǒng)需要經(jīng)歷更長的時間才能達成同步。因此，通過調(diào)節(jié)誤差反饋增益，可以有效控制同步速度。

5　結(jié)束語

本文針對一類含有未知參數(shù)的異結(jié)構(gòu)超混沌復系統(tǒng)，提出了一種自適應廣義組合復同步及參數(shù)辨識方法。首先，基于自適應控制和Lyapunov穩(wěn)定性理論，從理論上設計了非線性反饋控制器及參數(shù)估計更新律，并給予了證明。然后，將所提方法應用于超混沌復Lorenz系統(tǒng)、超混沌復Chen系統(tǒng)、超混沌復Lü系統(tǒng)的廣義組合復同步及參數(shù)估計，從數(shù)值仿真角度驗證了該方法的正確性和有效性，并表明誤差反饋增益能有效調(diào)控同步的收斂速度。將來，還會從電路仿真、電路實驗的角度實現(xiàn)該方法，以推動其在信號加密、混沌保密通信等領(lǐng)域的應用。

圖4　廣義組合復同步誤差（kl=kA，l=kB，l=kC，l=1（l =1，2，3，4））

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王詩兵：男，1976年生，博士，副教授，研究方向為非線性電路與系統(tǒng)、混沌信號與信息處理研究.

王興元：男，1963年生，教授，博士生導師，研究方向為混沌控制、同步及其在混沌保密通信中的應用、混沌密碼學、復雜網(wǎng)絡理論及應用研究.

Adaptive Generalized Combination Complex Synchronization and Parameter Identification of Hyperchaotic Complex Systems

WANG Shibing①②WANG Xingyuan①①
①（Faculty ofElectronic Information and Electrical Engineering，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China）
②（School ofComputer and Information Engineering，F(xiàn)uyang Normal University，F(xiàn)uyang 236041，China）

Based on adaptive control and Lyapunov stability theory，a novel adaptive Generalized Combination Com p lex Synch ronization（GCCS）scheme is p roposed for nonidentical hyperchaotic com p lex system s w ith unknow n param eters.Firstly，the definition of GCCS is presented，and synchronization of drive-response system s is transformed to the zero solution analysis of theerror dynam icalsystem.Second ly，a nonlinear feedback controller and parameter update laws are theoretically designed，wherein error feedback gains are introduced to control synchronization speed.Finally，GCCSamong thehyperchaotic com plex Lorenz system，com plex Chen system，and com p lex Lüsystem is carried out to verify the correctness and effectiveness of the proposed scheme by numerical sim ulation.

Hyperchaotic com p lex system s；Generalized Combination Com p lex Synchronization（GCCS）；Parameter identification；Adaptive control

s:The National Natural Science Foundation of China（61370145，61173183），The Natural Science Foundation of Anhui Provincial Universities（KJ2012A 214）

TP273

A

1009-5896（2016）08-2062-06

10.11999/JEIT 160101

2016-01-21；改回日期：2016-06-08；網(wǎng)絡出版：2016-07-04

王興元wangxy@d lu t.edu.cn

國家自然科學基金（61370145，61173183），安徽省高校省級自然科學基金（KJ2012A 214）