練秋生　趙曉蕊　石保順　陳書貞（燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院　秦皇島　066004）

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基于卡通-紋理模型的相位恢復(fù)算法

練秋生*趙曉蕊石保順陳書貞
（燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院秦皇島066004）

相位恢復(fù)是指僅利用圖像的傅里葉幅值對(duì)原始圖像進(jìn)行恢復(fù)。由于傅里葉幅值中包含的信息量較少，當(dāng)圖像的過(guò)采樣率相對(duì)較低時(shí)，傳統(tǒng)的相位恢復(fù)算法無(wú)法實(shí)現(xiàn)圖像的有效重構(gòu)。因此如何利用合適的先驗(yàn)知識(shí)來(lái)提高圖像重構(gòu)質(zhì)量是相位恢復(fù)的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。該文將卡通-紋理模型用于相位恢復(fù)，利用全變差（TV）和雙樹復(fù)數(shù)小波（DTCWT）兩種稀疏表示方法將圖像分解為卡通成分和紋理成分，并提出了基于交替方向乘子法（ADMM）的有效求解算法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法能有效提高圖像重構(gòu)質(zhì)量。

圖像處理；相位恢復(fù)；卡通-紋理模型；全變差；雙樹復(fù)數(shù)小波

1　　引言

相位恢復(fù)試圖僅從傅里葉幅值中恢復(fù)圖像，它是一個(gè)極具挑戰(zhàn)性的反問(wèn)題，在光學(xué)、X射線衍射成像、天文學(xué)、數(shù)字全息等科學(xué)領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用［14］-。由于相位信息的丟失，相位恢復(fù)問(wèn)題通常是不適定的，但當(dāng)圖像的過(guò)采樣率大于某一個(gè)特定值時(shí)，理論上能夠獲得準(zhǔn)確解，從而實(shí)現(xiàn)圖像重構(gòu)［5］。

針對(duì)相位恢復(fù)中相位信息的丟失問(wèn)題，文獻(xiàn)［6］提出了GS相位恢復(fù)算法，但該算法具有迭代次數(shù)多，收斂性差等缺點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上，人們提出了一系列基于交替投影相位恢復(fù)算法，如楊-顧算法［7］、誤差減少（Error Reduction， ER）算法、混合輸入輸出（Hybrid Input-Output， HIO）算法［8］、差值映射（D ifference M ap， DM）算法［9］等。文獻(xiàn)［10］在強(qiáng)度傳輸方程的基礎(chǔ)上提出了基于整體變分的相位恢復(fù)算法，并通過(guò)有限差分牛頓法求解對(duì)應(yīng)的優(yōu)化問(wèn)題。文獻(xiàn)［11］在HIO算法的基礎(chǔ)上將壓縮傳感技術(shù)用于相位恢復(fù)，將TV約束引入HIO算法中，提出了HIO+TV算法。該算法首先經(jīng)過(guò)HIO算法迭代過(guò)程，然后求解支撐域內(nèi)純相位圖像的相位全變差最小的優(yōu)化問(wèn)題［12］，這兩步交替迭代，結(jié)果將逐漸收斂至滿足所有約束和全變差最小的解。文獻(xiàn)［13］提出了適合稀疏信號(hào)的GESPAR （GrEedy Sparse PhAse Retrieval）算法，該算法是一種快速局部搜索方法，屬于貪婪類算法，能夠?qū)ο∈栊盘?hào)進(jìn)行有效重建。文獻(xiàn)［14］提出了基于GAMP（Generalized Approximate Message Passing）的PR_GAMP算法，該算法不僅適合大規(guī)模信號(hào)相位恢復(fù)問(wèn)題，而且對(duì)噪聲魯棒。

由于傅里葉幅值中包含的信息量相對(duì)較少，如何將合適的先驗(yàn)知識(shí)用于相位恢復(fù)，提高圖像的重構(gòu)質(zhì)量是關(guān)鍵問(wèn)題。在圖像處理中，通常將稀疏性先驗(yàn)用于圖像重建中。自然圖像具有梯度稀疏性，因此理論上利用TV［12］稀疏性進(jìn)行相位恢復(fù)能夠獲得滿意的結(jié)果。TV具有良好的保持邊緣特性，可以很好地表示圖像的邊緣部分，但當(dāng)圖像的過(guò)采樣率相對(duì)較低時(shí)，用它進(jìn)行相位恢復(fù)，只能重構(gòu)出圖像的輪廓部分，而無(wú)法很好地重構(gòu)出圖像的細(xì)節(jié)信息。DTCW T［15］較好的方向選擇性使其在圖像紋理表示中占有優(yōu)勢(shì)，因此如何對(duì)TV和DTCWT進(jìn)行有效結(jié)合，以此來(lái)增加TV缺失的細(xì)節(jié)信息，對(duì)于提高圖像的重構(gòu)質(zhì)量很重要。

圖像分層定義為將圖像分解為多個(gè)不同成分的總和，根據(jù)Meyer［16］圖像模型，自然圖像可以分解為卡通成分和紋理成分。本文針對(duì)TV和DTCWT的互補(bǔ)性，將卡通-紋理模型用于相位恢復(fù)算法，利用TV和DTCW T分別表示卡通成分和紋理成分，從而達(dá)到提高圖像重構(gòu)質(zhì)量的目的。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法的重構(gòu)圖像在峰值信噪比和視覺(jué)效果兩個(gè)方面都有顯著提高。

2　　基本相位恢復(fù)算法

在相位恢復(fù)問(wèn)題中，除了已知的傅里葉幅值構(gòu)成的約束集M外，通常用到的先驗(yàn)知識(shí)包括非負(fù)性和支撐集，非負(fù)性與支撐集D相結(jié)合可以構(gòu)成非負(fù)支撐約束集S。用（）r x表示未知信號(hào)，幅值約束集M表示為

M集合對(duì)應(yīng)的投影運(yùn)算符MP定義為

人們通常采用尋找約束集合交點(diǎn)的方式求解相位恢復(fù)問(wèn)題：

對(duì)于式（5）描述的問(wèn)題通常采用交替投影算法進(jìn)行求解，例如ER算法，但M集合是非凸的，ER算法容易陷入停滯，無(wú)法實(shí)現(xiàn)圖像的有效重構(gòu)。針對(duì)ER算法存在的不足，F(xiàn)ienup提出了適合解決非凸問(wèn)題的HIO算法，該算法的迭代過(guò)程可概括為（對(duì)于第k次迭代）

式中，1β<為抑制系數(shù)。傳統(tǒng)的HIO算法并未引入非負(fù)約束，文獻(xiàn)［17］提出的HPR（Hybrid Projection-Refection）算法將非負(fù)約束引入到算法中，本文借鑒這種形式。HIO算法收斂性好，在實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛應(yīng)用，但當(dāng)圖像有噪聲干擾時(shí)，H IO算法容易陷入振蕩而無(wú)法收斂。

3　　卡通-紋理模型

近年來(lái)，圖像分層技術(shù)已經(jīng)成為了圖像處理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一，并在很多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用［18，19］。根據(jù)M eyer［16］圖像模型，自然圖像可以分解為卡通成分和紋理成分，其中卡通成分包括圖像中較平滑的成分和邊緣結(jié)構(gòu)，紋理成分包含大量的細(xì)節(jié)信息。根據(jù)卡通成分和紋理成分的不同特點(diǎn)，選取具有平滑特性和良好邊緣保持特性的TV表示卡通成分，具有較好方向選擇性的DTCWT表示紋理成分，將TV和DTCW T用于圖像分層，對(duì)圖像x進(jìn)行卡通-紋理模型分解，如式（7）所示。

采用交替優(yōu)化方式求解式（7）中描述的優(yōu)化問(wèn)題，具體步驟包括（對(duì)于第k次迭代）：

（1）當(dāng)紋理成分v固定時(shí)，更新卡通成分u的優(yōu)化問(wèn)題為

式（8）可以看作是一個(gè)關(guān)于卡通成分u的去噪問(wèn)題，可以采用文獻(xiàn)［20］提出的方法進(jìn)行求解。

（2）當(dāng)卡通成分u固定時(shí)，更新紋理成分v的優(yōu)化問(wèn)題為

采用軟閾值函數(shù)（soft thresholding）［21］對(duì)式（9）進(jìn)行求解，求得的結(jié)果為

本文將Lena標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像作為測(cè)試圖像進(jìn)行圖像分層實(shí)驗(yàn)，對(duì)其進(jìn)行卡通-紋理模型分解，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，將TV和DTCWT用于卡通-紋理模型能夠?qū)⒖ㄍǔ煞趾图y理成分有效分開。

4　　基于卡通-紋理模型的相位恢復(fù)算法

由于相位信息的丟失，相位恢復(fù)是一個(gè)欠定問(wèn)題，利用先驗(yàn)知識(shí)是解決欠定問(wèn)題的常用方法。將稀疏性先驗(yàn)用于相位恢復(fù)，得到相位恢復(fù)問(wèn)題的框架：

為了使算法對(duì)噪聲魯棒，在式（11）的基礎(chǔ)上添加誤差項(xiàng)，得

圖1　卡通-紋理模型下圖像分解結(jié)果

在圖像處理中，通常利用梯度稀疏性作為先驗(yàn)。令式（12）中的（）R z為TV正則項(xiàng)，將求解此優(yōu)化問(wèn)題的方法稱為PR_TV算法。TV對(duì)應(yīng)圖像邊緣的稀疏性，具有良好的保持邊緣特性，但當(dāng)圖像的過(guò)采樣率相對(duì)較低時(shí)，用它進(jìn)行相位恢復(fù)，只能重構(gòu)出圖像的輪廓，從而導(dǎo)致細(xì)節(jié)信息大量丟失。DTCWT是紋理圖像稀疏表示的常用方法，令式（12）中的R（z）為雙樹復(fù)數(shù)小波系數(shù)矩陣的l1范數(shù)，將求解此優(yōu)化問(wèn)題的方法稱為PR_DTCWT算法。DTCW T具有較好的方向選擇性，可以更好地保留各個(gè)方向的細(xì)節(jié)信息。根據(jù)TV和DTCWT的不同特點(diǎn)，本文受卡通-紋理模型的啟發(fā)，利用TV表示圖像的卡通成分，利用DTCWT表示圖像的紋理成分，提出了基于卡通-紋理模型的相位恢復(fù)算法（為后文描述方便，本文將該算法稱為PR_TV_DTCW T）：

將式中的TV（）u替換為全變差的離散形式，式（13）可改寫為

本文采用交替方向乘子法［22］對(duì)式（14）描述的優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，通過(guò)變量替換，令并將式（14）改寫為可利用ADMM求解的拉格朗日形式：

式中，u為圖像的卡通成分，v為圖像的紋理成分，h1，h2， h均為尺度對(duì)偶變量（scaled dual variable），λ1，λ2為數(shù)值保真項(xiàng)與各正則項(xiàng)之間的權(quán)衡因子。求解的具體步驟包括（對(duì)于第k次迭代）：

（1）當(dāng)圖像u， v，x，y以及尺度對(duì)偶變量h1，h2，h固定時(shí)，更新u1，u2的優(yōu)化問(wèn)題為

利用廣義收縮模型［23］對(duì)式（16）中的最小化問(wèn)題進(jìn)行求解，求得的結(jié)果為

（2）當(dāng)圖像x， v， y，尺度對(duì)偶變量1h，2h， h以及1u，2u固定時(shí)，更新卡通成分u的優(yōu)化問(wèn)題為

對(duì)u求偏導(dǎo)數(shù)并令其為0，從而求得u的最優(yōu)解為

（3）當(dāng)圖像u， x， y，尺度對(duì)偶變量1h，2h， h以及1u，2u固定時(shí)，更新紋理成分v的優(yōu)化問(wèn)題為

采用軟閾值函數(shù)對(duì)式（21）進(jìn)行求解，求得的結(jié)果為

（4）當(dāng)圖像u， v， y，尺度對(duì)偶變量1h，2h， h以及1u，2u固定時(shí)，更新圖像x的優(yōu)化問(wèn)題為

求解式（23）得到圖像x的最優(yōu)解為

（5）當(dāng)圖像u， v， x，尺度對(duì)偶變量1h，2h， h以及1u，2u固定時(shí)，更新圖像y的優(yōu)化問(wèn)題為

求解式（25）得到圖像y的最優(yōu)解為

（6）更新變量1h，2h， h為

表1　 本文算法的基本步驟

5　　實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，分別利用HIO算法、HIO+TV算法以及本文提出的PR_TV算法、PR_DTCW T算法、PR_TV_DTCW T算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)采用Lena標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像作為測(cè)試圖像，圖像大小為512 512×，測(cè)試圖像和支撐如圖2所示。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)為Intel Core i3-3220四核CPU，主頻3.30 GHz，內(nèi)存4 GB，軟件平臺(tái)為M atlab 2012 a。本文通過(guò)峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）和結(jié)構(gòu)相似度（Structural SIM ilarity，SSIM）［25］兩個(gè)指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)圖像的重構(gòu)質(zhì)量，PSNR值和SSIM值越高，說(shuō)明圖像的重構(gòu)質(zhì)量越好。

圖2　 測(cè)試圖像和支撐

本文對(duì)每個(gè)過(guò)采樣率進(jìn)行16次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，從16次實(shí)驗(yàn)結(jié)果中選取FR［26］最小的結(jié)果，F(xiàn)R計(jì)算公式為

式中，F(xiàn) x?為估計(jì)圖像x?的傅里葉變換，α為比例因子。

表2　 不同過(guò)采樣率下圖像重構(gòu)結(jié)果PSNR（dB）和SSIM比較

圖3　 過(guò)采樣率為2.29時(shí)Lena圖像的重構(gòu)結(jié)果

表2中列出了過(guò)采樣率［5］為2.35和2.29兩種情況下，不同算法對(duì)Lena圖像重構(gòu)結(jié)果比較，其中過(guò)采樣率定義為全部像素值與未知像素值數(shù)量的比值。從表2可以看出，PR_TV算法和PR_DTCWT算法的性能較HIO算法和HIO+TV算法有明顯提高，PR_TV_DTCW T算法在PSNR值和SSIM值上均優(yōu)于其他對(duì)比算法。圖3給出無(wú)噪情況下，過(guò)采樣率為2.29時(shí)，不同算法對(duì)Lena圖像的重構(gòu)結(jié)果。從圖3可以看出，HIO算法與HIO+TV算法均無(wú)法對(duì)圖像進(jìn)行有效重構(gòu)，PR_TV算法重構(gòu)效果明顯優(yōu)于前兩種算法，具有了清晰的輪廓，但紋理信息大量丟失，PR_DTCWT算法與PR_TV算法相比，增加了大量紋理信息，但臉部有斜紋，PR_TV_DTCWT算法保留了更多的細(xì)節(jié)信息，邊緣與紋理更清晰，較其他幾種對(duì)比算法具有明顯優(yōu)勢(shì)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了卡通-紋理模型應(yīng)用于相位恢復(fù)算法的有效性。

表3　 不同算法運(yùn)行時(shí)間比較（s）

圖4　 過(guò)采樣率為2.29，噪聲強(qiáng)度為10%時(shí)Lena圖像的重構(gòu)結(jié)果

為了體現(xiàn)各個(gè)算法的計(jì)算復(fù)雜度，表3給出了迭代次數(shù)為4000次時(shí)運(yùn)行時(shí)間比較。從表3可以看出，HIO算法用時(shí)最少，PR_TV_DTCWT算法用時(shí)最多。HIO算法僅利用了集合投影，計(jì)算復(fù)雜度最低。由于需要求解TV最小化問(wèn)題，HIO+TV算法計(jì)算復(fù)雜度高于HIO算法。PR_TV算法和PR_DTCWT算法利用ADMM算法分別求解引入TV正則項(xiàng)和雙樹復(fù)數(shù)小波稀疏正則項(xiàng)的相位恢復(fù)問(wèn)題，計(jì)算復(fù)雜度高于HIO+TV算法。PR_TV_ DTCWT算法通過(guò)卡通-紋理模型將TV和DTCWT進(jìn)行結(jié)合，同樣利用ADMM算法求解對(duì)應(yīng)的優(yōu)化問(wèn)題，因此計(jì)算復(fù)雜度最高。雖然PR_ TV_DTCWT算法的計(jì)算復(fù)雜度相對(duì)較高，但在低采樣率下，圖像的重構(gòu)質(zhì)量明顯優(yōu)于其他幾種算法。

為了探求不同噪聲強(qiáng)度對(duì)本文算法重建結(jié)果的影響，本文在真實(shí)測(cè)量值上施加噪聲強(qiáng)度為5%～20%的高斯白噪聲，其中噪聲強(qiáng)度［26］定義為

式中，F(xiàn)x為無(wú)噪圖像x的傅里葉變換。

在過(guò)采樣率為2.29時(shí)，表4給出了不同算法在不同噪聲強(qiáng)度下重構(gòu)圖像的PSNR和SSIM。從表4可以看出，PR_TV_DTCW T算法在不同噪聲強(qiáng)度下，重構(gòu)結(jié)果均優(yōu)于其他算法。在4種噪聲強(qiáng)度下，重構(gòu)圖像的平均PSNR值比HIO算法、HIO+TV算法、PR_TV算法、PR_DTCWT算法分別提高了18.17 dB， 15.98 dB， 2.62 dB， 11.07 dB，平均SSIM值分別提高了0.6176， 0.5633， 0.0975， 0.2680。圖4給出了噪聲強(qiáng)度為10%時(shí)，不同算法對(duì)Lena圖像的重構(gòu)結(jié)果。從圖4可以看出，PR_TV_ DTCWT算法的視覺(jué)效果明顯優(yōu)于其他對(duì)比算法，HIO算法與HIO+TV算法均無(wú)法有效重構(gòu)圖像，PR_TV_DTCWT算法與PR_TV算法相比，紋理信息更豐富，與PR_DTCW T算法相比，重構(gòu)結(jié)果更清晰，臉部無(wú)額外斜紋存在。

表4　 不同噪聲強(qiáng)度下圖像重構(gòu)結(jié)果PSNR（dB）和SSIM比較

6結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)全變差和雙樹復(fù)數(shù)小波的互補(bǔ)性，將卡通-紋理模型引入到相位恢復(fù)問(wèn)題中，并利用ADMM算法對(duì)所對(duì)應(yīng)的優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了求解。仿真實(shí)驗(yàn)表明，PR_TV_DTCW T算法與HIO算法、HIO+TV算法、PR_TV算法以及PR_DTCWT算法相比，重構(gòu)圖像具有更清晰的邊緣與紋理信息，重構(gòu)質(zhì)量具有明顯優(yōu)勢(shì)。在真實(shí)測(cè)量值上施加不同噪聲強(qiáng)度高斯白噪聲的實(shí)驗(yàn)表明，PR_TV_ DTCWT算法對(duì)噪聲魯棒。如何將本文中模型應(yīng)用到其他圖像反問(wèn)題是將來(lái)的研究方向。

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練秋生：男，1969年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)閳D像處理、稀疏表示、壓縮感知及相位恢復(fù).

趙曉蕊：女，1989年生，碩士生，研究方向?yàn)橄辔换謴?fù).

石保順：男，1989年生，博士生，研究方向?yàn)槊嚎s感知、字典學(xué)習(xí)、相位恢復(fù).

陳書貞：女，1968年生，副教授，研究方向?yàn)閳D像處理、壓縮感知、生物識(shí)別、相位恢復(fù).

Phase Retrieval Algorithm Based on Cartoon-texture Model

LIAN QiushengZHAO XiaoruiSHI BaoshunCHEN Shuzhen
（Institute of Information Science and Technology， Yanshan University， Qinhuangdao 066004， China）

Phase retrieval is an issue that tries to recover an image from its Fourier magnitude measurements. Since the Fourier magnitude measurements contain less inform ation， the traditional phase retrieval algorithm s can not reconstruct the image efficiently under the scenario that the oversam pling ratio is relatively low. Therefore， how to use the suitab le image p riors to im prove the reconstruction quality of the image is the key issue. In this paper， the cartoon-texture model is utilized for phase retrieval algorithm. Two sparse representation methods including both Total Variation （TV） and Dual-Tree Com p lex W avelet Transform （DTCW T） are exp loited to decom pose the image into two parts， namely the cartoon com ponent and the texture component. Moreover， A lternating Direction Method of Mu ltipliers （ADMM） is exp loited to solve the corresponding p roblem. The experimental results show that the proposed algorithm can effectively imp rove the quality of image reconstruction.

Image processing； Phase retrieval； Cartoon-texture model； Total Variation （TV）； Dual-Tree Com plex Wavelet Transform （DTCWT）

s: The National Natural Science Foundation of China （61471313）， The Natural Science Foundation of Hebei Province （F2014203076）

TN911.73

A

1009-5896（2016）08-1991-08

10.11999/JEIT151156

2015-10-16；改回日期：2016-02-25；網(wǎng)絡(luò)出版：2016-04-24

練秋生lianqs@ysu.edu.cn

國(guó)家自然科學(xué)基金（61471313），河北省自然科學(xué)基金（F2014203076）