劉　靜　盛明星　宋大偉尚社　韓崇昭

①（西安交通大學(xué)電信學(xué)院西安710049）②（空間微波技術(shù)國家級重點實驗室西安710000）

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雷達高分辨率緊湊感知矩陣追蹤算法

劉靜*①盛明星①宋大偉②尚社②韓崇昭①

①（西安交通大學(xué)電信學(xué)院西安710049）
②（空間微波技術(shù)國家級重點實驗室西安710000）

針對壓縮感知雷達的感知矩陣相干系數(shù)隨分辨率增加而增大以致不能以大概率對稀疏向量進行完美重構(gòu)的問題，直接基于原始感知矩陣，提出緊湊感知矩陣追蹤（CSMP）算法。該文將CSMP算法應(yīng)用于十字陣雷達的2維波達方向（DOA）估計并進行了計算機仿真。仿真結(jié)果表明與多信號分類（MUSIC）算法，子空間追蹤（SP）算法，基追蹤（BP）算法和稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)（SBL）算法相比，基于CSMP算法的DOA估計分辨率得到了較大提高。

壓縮感知雷達系統(tǒng)；高分辨率；高相關(guān)性；緊湊感知矩陣追蹤算法

1　引言

壓縮感知［1，2］（Compressed Sensing，CS）理論指出只要信號是可壓縮的或在某個變換域是稀疏的，那么就可以用一個與變換基不相關(guān)的觀測矩陣將變換所得高維信號投影到一個低維空間上，然后通過求解一個優(yōu)化問題就可以從這些少量的投影中以高概率重構(gòu)出原信號，可以證明這樣的投影包含了重構(gòu)信號的足夠信息。在該理論框架下，采樣速率不決定于信號的帶寬，而決定于信息在信號中的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容。壓縮感知的突出優(yōu)點是可減少采樣數(shù)據(jù)，節(jié)省存儲空間。壓縮感知將傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)采集與數(shù)據(jù)壓縮合二為一，無需復(fù)雜的數(shù)據(jù)編碼算法。

壓縮感知技術(shù)被廣泛地應(yīng)用于雷達信號處理系統(tǒng)中。與傳統(tǒng)雷達相比，壓縮感知雷達具有以下優(yōu)點：（1）基于壓縮感知技術(shù)的雷達信號處理系統(tǒng)根據(jù)接收到的回波信號直接進行雷達稀疏場景重構(gòu)，在接收端免除了匹配濾波器［3］，從而最大限度的保持了最大原始量測信息；（2）壓縮感知技術(shù)采樣得到的數(shù)據(jù)維數(shù)遠遠低于遵循奈奎斯特采樣定理采樣得到的數(shù)據(jù)維數(shù)，而僅僅與數(shù)據(jù)稀疏度成正比，從而真正意義上實現(xiàn)了對信息的采集，可以有效減少雷達采樣速率和回波數(shù)據(jù)［4］；（3）增加雷達場景的分辨率僅會增加表征雷達場景的稀疏向量的維數(shù)，由于表征雷達場景的稀疏向量的維數(shù)遠遠高于雷達量測數(shù)量（收發(fā)天線數(shù)），在雷達收發(fā)天線數(shù)目固定的情況下，壓縮感知雷達系統(tǒng)具備提供高分辨率雷達場景的能力［5］。

雖然在收發(fā)天線數(shù)量一定的情況下，基于壓縮感知技術(shù)的雷達系統(tǒng)能獲取比普通雷達系統(tǒng)高的分辨率，但是若要進一步提高壓縮感知雷達的分辨率則需要解決感知矩陣的相干系數(shù)隨分辨率增加而增大以致不能以大概率對稀疏向量進行完美重構(gòu)的問題。目前國內(nèi)外已經(jīng)有一系列的工作針對減少雷達感知矩陣的相干性系數(shù)展開。大部分工作是通過優(yōu)化雷達發(fā)射波形以減少感知矩陣的相干性系數(shù)［6］。文獻［7］將壓縮感知技術(shù)應(yīng)用于M IMO雷達系統(tǒng)中，并提出一種感知矩陣相干系數(shù)極小化波形設(shè)計方法，改善了壓縮感知雷達目標(biāo)參數(shù)提取的能力。文獻［8］推導(dǎo)了相干系數(shù)與信號模糊函數(shù)的關(guān)系，指出針狀模糊函數(shù)的信號具有較小的感知系數(shù)和較高的多維參數(shù)聯(lián)合分辨能力。文獻［9］推導(dǎo)了最小化感知矩陣相干系數(shù)的波形優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，并通過模擬退火［10］（Sim u lated Annealing，SA）算法對以多相編碼信號作為發(fā)射波形的目標(biāo)函數(shù)進行優(yōu)化求解。但是這些工作都需要設(shè)計額外的硬件系統(tǒng)來產(chǎn)生特定的波形或?qū)崿F(xiàn)感知矩陣，而這些硬件系統(tǒng)的設(shè)計非常復(fù)雜，并在一定程度上增加了雷達的設(shè)計成本。

針對感知矩陣的相干系數(shù)隨分辨率增加而增大以致不能以大概率對稀疏向量進行完美重構(gòu)的問題，本文基于原始感知矩陣，提出了緊湊感知矩陣追蹤（Com pact Sensing M atrix Pursuit，CSMP）算法。首先根據(jù)原始感知矩陣中列與列之間的相似距離構(gòu)造相干性系數(shù)較低的緊湊感知矩陣，其每一列對應(yīng)于原始感知矩陣中的一個相似列組。然后采用正交匹配追蹤（OrthogonalMatching Pursuit，OMP）算法基于緊湊感知矩陣得到一個粗略估計支撐集，此時回到原始感知矩陣，粗略估計支撐集對應(yīng)的若干相似列組中的所有列構(gòu)成一個候選列集。最后根據(jù)原始稀疏向量的稀疏度對候選列集中的列進行排列組合，找到使殘差最小的列組合，這個列組合對應(yīng)的支撐集即為真實的支撐集，從而以大概率實現(xiàn)對稀疏向量的完美重構(gòu)。與優(yōu)化雷達波形以減少感知矩陣相干系數(shù)的方法相比，本文方法不需要設(shè)計額外的硬件系統(tǒng)，算法的復(fù)雜度較低。

本文將CSMP算法應(yīng)用到十字陣雷達的2維波達方向（Direction O f Arrival，DOA）估計上。仿真結(jié)果表明，與多信號分類［11］（MUSIC）算法，貪婪重構(gòu)算法子空間追蹤［12］（Subspace Pursuit，SP）算法，基追蹤［13］（Basis Pursuit，BP）算法和基于壓縮感知的稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)［14］（Sparse Bayesian Learning，SBL）算法相比，基于CSMP算法的DOA估計分辨率得到了較大提高。

2　 CSMP算法

2.1緊湊感知矩陣的構(gòu)造

在壓縮感知中，重構(gòu)K稀疏度信號x的關(guān)鍵問題在于找到觀測向量y所在的子空間［12］。一旦找到正確的子空間，x中的非零值就可以通過求偽逆求得。貪婪算法最重要的是其找到正確子空間的方法，然而應(yīng)用貪婪算法找到正確子空間的前提條件是感知矩陣需要滿足約束等距性（Restricted Isometry Property，RIP）準(zhǔn)則或是其具有較低的相干性系數(shù)，但是依賴于實際感知硬件系統(tǒng)的感知矩陣一般具有較高的相干性系數(shù)，從而不能實現(xiàn)對稀疏向量的完美重構(gòu)。本文提出的CSMP算法通過根據(jù)原感知矩陣構(gòu)造具有較低相干性系數(shù)的緊湊感知矩陣很好地解決了這個問題。

將感知矩陣中所有列映射到一個基于相似度的相似性空間得到許多點，將這些點表示為其中Pφi表示列φi對應(yīng)的點。相似空間中任意兩個點的距離可以定義為

因此，相似距離的分布范圍為［0，1］，并且相似性空間中兩點的距離越小，這兩點表示的列的相似性越大。

根據(jù)相似距離，可以對感知矩陣A中的列應(yīng)用層次聚類法［15］（hierarchical clusteringm ethod）進行分層聚類，將其分為D個列集合：■設(shè)M?D

每個列集合中的列彼此之間非常相似，我們找到可以表示這個列集合的特征的一列，并把這一列稱為特征列。對列集合中所有列取平均值來得到特征列，即由這些特征列可以得到緊湊感知矩陣：

緊湊感知矩陣相干性系數(shù)討論：假設(shè)緊湊感知矩陣中特征列間最小相似距離為T，即對任意兩個特征列則任意兩個特征列相似度不大于如果T取較大值，則緊湊感知矩陣將具有低相干性系數(shù)。

2.2正確子空間的初始估計

在得到緊湊感知矩陣后，測量向量y可以通過緊湊感知矩陣中的壓縮列來表示，即其中是稀疏度為的稀疏向量，為等價測量噪聲向量。然后通過OMP算法對其進行粗略恢復(fù)，得到正確子空間的初始估計并且將重構(gòu)誤差限制在一定的范圍內(nèi)。其中定義為相似列組iΓ的代表列，i=具體分析過程如下。

對情況（1），ib根據(jù)相似列組iΓ獲得，1，i= 2，，K…。矢量集合分別對應(yīng)于列群集合的代表列。的差定義為根據(jù)矢量集合的定義，我們可以得到

等效測量噪聲的幅度滿足

分析完成。

2.3正確支撐集的確定

2.4 CSMP算法的具體步驟

由上述分析，CSMP算法可分為5個主要步驟來描述：

步驟2對緊湊感知矩陣ψ與觀測值y應(yīng)用OMP算法得到正確子空間的初始估計?iniS；

步驟3由正確子空間的初始估計?iniS找到原始感知矩陣中的候選列集f?；

步驟4由候選列集f?與稀疏度K找出所有的候選子空間；

3　基于壓縮感知的十字陣雷達2維DOA估計模型

3.1十字陣列及信號模型

本文采用非均勻十字陣列模型，如圖1所示。

圖1　十字陣列模型

此十字型陣列由子陣X和子陣Y構(gòu)成，分別位于x軸和y軸上。子陣X和子陣Y互成90°，陣元關(guān)于原點對稱，兩條陣列均為均勻線陣，每條線陣上有26個陣元，共有52個陣元，陣元間隔為5mm。

其中s（t）=［s，s，…，s ］T表示K個信源t時刻信號矢1 2 K量；導(dǎo)向矢量矩陣分別為為子陣X和子陣Y的導(dǎo)向矢量，為正或負半軸上第i個陣元的坐標(biāo)為子陣X和子陣Y接收到的噪聲。

3.2感知矩陣的構(gòu)造

DOA估計中，通常把陣列流型矩陣A進行擴展，形成感知矩陣，使其包含所有可能的空間角度，通常的構(gòu)造方法為量化法。本文采用空間等網(wǎng)格角度劃分法［17］構(gòu)造感知矩陣，得到式（12），式（13）：

4　仿真結(jié)果與分析

本文使用十字陣模型中的感知矩陣，對CSMP，MUSIC，SP，BP和SBL的DOA估計性能進行比較。由于隨著空間等網(wǎng)格角度的細化，感知矩陣的相干性系數(shù)相應(yīng)得到提高，因此模型中的感知矩陣具有較高的相干性系數(shù)。仿真中的信號源互不相關(guān)，且參與比較的算法除了MUSIC算法，都使用單快拍數(shù)據(jù)，而MUSIC算法使用快拍數(shù)為200的陣列輸出數(shù)據(jù)，并找出使譜函數(shù)取目標(biāo)個數(shù)的極大值對應(yīng)的俯仰角與方位角即可。俯仰角和方位角的DOA平面范圍分別為

4.1具體場景的重構(gòu)情況比較

本場景考慮了相距較近的5個目標(biāo)，分別位于（68°，31°），（62°，36°），（66°，33°），（67°，34°）和（68°，34°）處，信噪比為15 dB，分別應(yīng)用CSMP，SBL，SP，BP和MUSIC算法對場景進行重構(gòu)，重構(gòu)圖如圖2～圖6所示。

從仿真結(jié)果我們可以看出，當(dāng)目標(biāo)數(shù)較多，且其中一些目標(biāo)相隔較近時，只有CSMP算法能夠完全分辨出5個目標(biāo)，而MUSIC和SP算法分別只能分辨出位于（68°，34°）和（62°，36°）的一個目標(biāo)，其他4個目標(biāo)位置均估算錯誤，BP和SBL算法將5個目標(biāo)位置全部估算錯誤，且SBL算法估計出的部分目標(biāo)信號能量微弱。

4.2不同劃分角度間隔的重構(gòu)成功率比較

使感知矩陣中的方位角與俯仰角角度劃分間隔相等，且分別取為1°，2°，3°，4°，每種場景中的信噪比均為15 dB，且都對隨機的兩個目標(biāo)進行檢測，兩個目標(biāo)的角度最小間隔隨著感知矩陣中方位角與俯仰角角度劃分間隔的改變進行變化，為1°，2°，3°，4°。分別應(yīng)用CSMP，SBL，SP，BP和MUSIC算法重構(gòu)出目標(biāo)場景，所得的仿真結(jié)果如圖7所示。

圖2　 CSMP重構(gòu)結(jié)果的3D效果圖

圖3　 SBL重構(gòu)結(jié)果的3D效果圖

圖4　 SP重構(gòu)結(jié)果的3D效果圖

圖5　 BP重構(gòu)結(jié)果的3D效果圖

圖6　 MUSIC重構(gòu)結(jié)果的3D效果圖

從仿真結(jié)果我們可以看出CSMP算法在不同的角度劃分間隔下的重構(gòu)成功率都優(yōu)于其它4種算法。隨著角度劃分間隔的不斷增大，5種算法的重構(gòu)成功率也逐漸變大。這是因為隨著劃分角度的增大，感知矩陣的相干性系數(shù)相應(yīng)減小，從而增大了各算法的重構(gòu)成功率。

4.3不同目標(biāo)數(shù)的重構(gòu)成功率比較

將隨機分布的目標(biāo)個數(shù)分別設(shè)置為1，2，3，4個。方位角與俯仰角的角度劃分間隔取固定值3°，信噪比為15 dB。分別應(yīng)用CSMP，SBL，SP，BP和MUSIC算法重構(gòu)出目標(biāo)場景，所得的仿真結(jié)果圖8所示。

從仿真結(jié)果我們可以看出CSMP算法在不同目標(biāo)數(shù)情況下的重構(gòu)成功率都大致優(yōu)于其它兩種算法，且隨著目標(biāo)數(shù)的增加，場景的重構(gòu)成功率相應(yīng)降低。

4.4不同信噪比環(huán)境下的重構(gòu)成功率比較

將隨機分布的目標(biāo)個數(shù)設(shè)置為2個。令方位角，俯仰角的等角度劃分間隔取固定值3°，信噪比設(shè)置為0～30 dB，每次變化5 dB。分別應(yīng)用CSMP，SBL，SP，BP和MUSIC算法重構(gòu)出目標(biāo)場景，所得仿真結(jié)果如圖9所示。

從仿真結(jié)果我們可以看出CSMP算法在不同的信噪比環(huán)境下的重構(gòu)成功率都優(yōu)于其它4種算法，且隨著信噪比的不斷增大，5種算法的重構(gòu)成功率也逐漸變大。CSMP算法的抗噪能力之所以較強是因為應(yīng)用OMP算法對緊湊感知矩陣和觀測向量進行處理得到的粗略估計支撐集這一過程的容錯率較高，在一定程度上降低了噪聲對其的影響。

圖7　不同角度劃分間隔的場景重構(gòu)成功率比較

圖8　不同目標(biāo)數(shù)的重構(gòu)成功率比較

圖9　不同信噪比環(huán)境下的場景重構(gòu)成功率比較

5　結(jié)束語

針對感知矩陣的相干系數(shù)隨分辨率增加而增大以致不能以大概率對稀疏向量進行完美重構(gòu)的問題，本文基于原始感知矩陣，提出了CSMP重構(gòu)算法。仿真結(jié)果表明與傳統(tǒng)DOA估計算法MUSIC和基于壓縮感知的SP，BP，SBL算法相比，基于CSMP算法的DOA估計的角度分辨率更高。我們未來的工作將致力于改進這種算法，找出使分類最準(zhǔn)確的最小相似距離的選取原則以及使其能夠處理稀疏度未知的情況。

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劉靜：女，1975年生，副教授，博士生導(dǎo)師，從事壓縮感知、雷達信號處理方面的研究.

盛明星：男，1991年生，碩士生，研究方向為陣列信號處理、壓縮感知.

宋大偉：男，1982年，高級工程師，從事雷達信號處理、微波遙感方面的研究.

尚社：男，1964年生，研究員，從事微波遙感方面的研究.

韓崇昭：男，1943年生，教授，博士生導(dǎo)師，從事多源信息融合方面的研究.

Compact Sensing Matrix Pursuit Algorithm for Radars with High Resolution

LIU Jing①SHENG M ingxing①SONG Dawei②SHANG She②HAN Chongzhao①①（School ofElectronics and Information Engineering，Xi’an Jiaotong University，Xi’an 710049，China）
②（National Key Laboratory ofScience and Technology on Space Microwave，Xi’an 710000，China）

In this paper，a novel algorithm named Com pact Sensing Matrix Pursuit（CSMP）is p roposed to deal with the high coherence problem encountered in the com pressed sensing based radar system with high resolution. The CSMP algorithm is app lied to the two dimensional Direction O f Arrival（DOA）estimation of cross-array.The simulation resu lts show that the resolution can be increased largely com pared w ith the MUltip le SIgnal Classification（MUSIC）algorithm，Subspace Pursuit（SP），Basis Pursuit（BP），and the Sparse Bayesian Learning（SBL）algorithm s.

Com pressive sensing based radar system；High resolution；High coherence；Compact Sensing Matrix Pursuit（CSMP）algorithm

s:The Innovation Foundation of CAST（J20141110），The National Natural Science Foundation of China（61573276），The National 973 Program of Ch ina（2013CB 329405）

TN957.51

A

1009-5896（2016）08-1950-06

10.11999/JEIT 151135

2015-10-10；改回日期：2016-04-22；網(wǎng)絡(luò)出版：2016-06-03

劉靜elej20080730@gm ail.com

CAST創(chuàng)新基金（J20141110），國家自然科學(xué)基金（61573276），國家973計劃（2013CB 329405）