黃永平， 于　含， 李　輝

(1. 河北大學(xué) 電子信息工程學(xué)院, 河北 保定　071002； 2. 石家莊郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 河北 石家莊　050021)

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基于Matlab的線性調(diào)頻Z變換算法仿真

黃永平1， 于含2， 李輝2

(1. 河北大學(xué) 電子信息工程學(xué)院, 河北 保定071002； 2. 石家莊郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 河北 石家莊050021)

線性調(diào)頻Z變換(CZT)是一種比快速傅里葉變換(FFT)更有效計算信號頻譜的算法。針對CZT理論性強(qiáng),不易理解和掌握的特點(diǎn),基于Matlab GUI功能設(shè)計了線性調(diào)頻Z變換算法仿真界面,包括算法的計算路徑、3種典型序列的線性調(diào)頻Z變換、線性調(diào)頻Z變換算法中涉及的中間序列,以及3種典型序列的快速傅里葉變換。通過對CZT和FFT仿真結(jié)果的對比,可以直觀理解CZT更加靈活的特點(diǎn)；通過對算法計算路徑的仿真和算法中涉及的中間序列的仿真,使學(xué)生更容易理解和掌握CZT算法原理,進(jìn)而提高教學(xué)效果。

線性調(diào)頻Z變換； Matlab； 快速傅里葉變換

作為數(shù)字信號處理的一種算法,線性調(diào)頻Z變換(CZT)是一種比快速傅里葉變換(FFT)更有效計算離散傅里葉變換(DFT)的算法[1],適用于一般情況下沿螺旋曲線作等角度取樣計算有限時寬Z變換的快速變換算法,它使得DFT的運(yùn)算變得相當(dāng)靈活,為數(shù)字信號處理技術(shù)應(yīng)用于各種高速信號的快速處理創(chuàng)造了良好的條件,從而大大推動了數(shù)字信號處理技術(shù)的發(fā)展[2],廣泛應(yīng)用于雷達(dá)信號檢測、雷達(dá)測距、電力系統(tǒng)間諧波檢測、電力預(yù)測等各個領(lǐng)域[3-4]。但是,該算法理論性較強(qiáng),學(xué)生不易理解和掌握,為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高教學(xué)效果,基于Matlab GUI功能設(shè)計制作了CZT算法仿真界面。

Matlab是由美國Mathworks公司發(fā)布的主要面對科學(xué)計算、算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化以及交互式程序設(shè)計的高科技計算語言和交互式環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計算、數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多功能集中在一個易于使用的視窗環(huán)境中,為科學(xué)研究、工程設(shè)計以及必須進(jìn)行有效數(shù)值計算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案[5]。其中包含的各種函數(shù)可以為數(shù)字信號處理的各項(xiàng)內(nèi)容快捷、方便地提供正確的答案和直觀的圖形顯示[6],可以化抽象為具體,將課本上枯燥、難以理解的知識具體、形象化,加深學(xué)生對理論知識的理解和掌握,大大改進(jìn)課程的教學(xué)方法,從而提高教學(xué)質(zhì)量[7]。

1　CZT算法原理

1.1CZT算法原理

列長為N的有限長序列x(n)的Z變換[8]為:

(1)

在z平面一段螺旋線上等角度采樣,采樣點(diǎn)為

(2)

其中,M為要分析的復(fù)頻譜的點(diǎn)數(shù),M不一定等于N。A和W可以是任意復(fù)數(shù),分別表示為：

(3)

因此,

(4)

CZT計算路徑如圖1所示,沿路徑式(2),(1)式變?yōu)?/p>

(5)

圖1　CZT的計算路徑

(6)

定義新的序列：

(7)

(8)

則

(9)

因此X(zk)的計算流程如圖2所示。

圖2　CZT計算流程

根據(jù)圖2,CZT的實(shí)現(xiàn)步驟主要包括以下幾部分:

(1) 定圓周卷積周期L,L=2m且L≥N+M-1。

(2) 根據(jù)x(n)定義L點(diǎn)序列f(n)為

(10)

利用FFT計算f(n)的離散傅里葉變換F(k)：

(3) 定義L點(diǎn)序列h(n)：

(11)

或

(12)

利用FFT計算h(n)的離散傅里葉變換H(k)；

(4) G(k)=F(k)H(k),利用IFFT計算G(k)的離散傅里葉反變換g(n)；

1.2圓周卷積周期L的選取

CZT的實(shí)現(xiàn)步驟中的L=2m且L≥N+M-1,其中L=2m是因?yàn)橐脠A周卷積計算f(n)與h(n)兩序列的線性卷積,而計算圓周卷積時利用圓周卷積定理用基2-FFT計算。

L取值為L≥N+M-1,可以根據(jù)圖3通過以下證明得到:

因?yàn)閒(n)中n的取值范圍為0≤n≤N-1,h(n)中n的取值范圍為-(N-1)≤n≤M-1;所以序列g(shù)(n)=f(n)*h(n)中n的取值范圍為-(N-1)≤n≤N+M-2。

圖3　線性卷積及其以L為圓周的周期卷積

而圓周卷積是線性卷積周期延拓后的主值序列,假設(shè)圓周卷積的周期為L,又因?yàn)榍骕(zk)時只用到了g(n)的前M個點(diǎn)g(k)。所以,線性卷積周期延拓時只要能保證n從0到M-1不混疊就可以。為此,g(n)左移1個周期時最右邊一個點(diǎn)的n值要滿足:N+M-2-L≤-1?L≥N+M-1；g(n)右移1個周期時最左邊一個點(diǎn)的n值要滿足:-(N-)+L≥M?L≥N+M-1。

所以,L的取值范圍為L≥N+M-1。

2　CZT算法界面設(shè)計與仿真

根據(jù)CZT算法原理,利用Matlab GUI功能設(shè)計的CZT算法仿真[10-11]界面,主要包括CZT的計算路徑和序列的CZT及FFT仿真兩部分。

2.1CZT的計算路徑

根據(jù)公式(2),設(shè)計了CZT的計算路徑仿真界面,如圖4中左上角部分,包括參數(shù)輸入部分和路徑仿真結(jié)果兩部分,其中仿真結(jié)果包括計算數(shù)據(jù)和仿真圖形兩部分。輸入?yún)?shù)以后,點(diǎn)擊“確定”按鈕,得到相應(yīng)的仿真結(jié)果,不同類型的參數(shù)其仿真結(jié)果見圖4。

圖4　CZT的計算路徑仿真結(jié)果

主要的程序如下:

A=a*exp(1i*c*pi);

W=b*exp(-1i*d*pi);%compute A and W

Zk=A.*W.^(-k); %computeZk

Rezk=real(Zk);

Imzk=imag(Zk);

plot(Zk,′r.′); grid on;

title(′The computational path of CZT′);% draw the path of CZT

通過仿真,驗(yàn)證了參數(shù)對計算路徑的影響:A0和θ0控制著路徑的起始位置,W0控制著路徑的盤旋趨勢,φ0控制著相鄰取樣點(diǎn)的角度差。

2.2序列CZT的仿真設(shè)計

根據(jù)CZT的計算流程圖和實(shí)現(xiàn)步驟,設(shè)計制作了3種序列的CZT的及FFT仿真部分,如圖5所示。這部分主要包括3種序列x(n)的參數(shù)輸入、計算過程中產(chǎn)生的序列f(n)、h(n)以及兩序列的卷積結(jié)果、序列的CZT和FFT仿真結(jié)果3部分。其中序列h(n)給出了根據(jù)式(11)和式(12)兩種定義形式產(chǎn)生的仿真結(jié)果,相應(yīng)的f(n)和h(n)的卷積也給出了兩種仿真結(jié)果。通過對兩種仿真結(jié)果圖的對比,可以驗(yàn)證根據(jù)公式(11)和(12)兩種定義形式產(chǎn)生的序列g(shù)(n)的前M個點(diǎn)g(k)完全相同。

主要程序如下:

L = 2^nextpow2(M+N-1);

sita0=pi*1/3;fai0=pi*0.1;

A=a*exp(j*sita0); w=b*exp(-j*fai0);

n1=0.5.*n.^2; w1=w.^n1;A1=A.^(-n);

fn1=x1.*A1.*w1; fn=[fn1,zeros(1,L-N)];

n2=-0.5.*k.^2; hn1=w.^n2;n3=-0.5.*(L-k1).^2; hn2=w.^n3;

n31=-0.5.*(L-k11).^2; hn21=w.^n31;

h1=[hn1,ones(1,L-N-M+1),hn21]; h2=[hn1,hn2];

y=conv(fn,h1);%The convolution of f(n) and h(n) in (10) and (11)

y=conv(fn,h2);% The convolution of f(n) and h(n) in (10) and (12)

y=czt(x1,M,W,A);%compute CZT ofx(n)

XK=fft(x1,N); %compute FFT ofx(n)

圖5(a)中x(n)是正弦序列,通過對比序列的CZT和FFT仿真結(jié)果得出結(jié)論:CZT較FFT更靈活,可以在某一頻段上取更多點(diǎn)來改善分辨率,達(dá)到頻域“細(xì)化”的目的,可以更好地分析窄帶信號[12]。

3　結(jié)論

線性調(diào)頻Z變換算法使得DFT的運(yùn)算變得相當(dāng)靈活,理論性較強(qiáng)。本文從理論和實(shí)驗(yàn)仿真兩方面對該算法中的難點(diǎn)進(jìn)行了證明和驗(yàn)證；利用Matlab GUI功能設(shè)計制作的算法仿真界面形象直觀,有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性,進(jìn)而更好地理解和掌握基本理論,達(dá)到提高教學(xué)效果的目的。

圖5　序列的CZT及FFT仿真結(jié)果

References)

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Simulation of chirp-z transform based on Matlab

Huang Yongping1， Yu Han2， Li Hui2

(1. College of Electronics and Information Engineering, Hebei University, Baoding, 071002, China；2. Shijiazhuang Posts and Telecommunications Technical College, Shijiazhuang 050021, China)

The CZT is more flexible than the Fast Fourier Transform(FFT) in calculating the frequency spectrum. Aiming at the algorithm being strongly theoretical and difficult to understand and master, this paper designs the simulation interface of CZT based on Matlab GUI, including the computational path of CZT, realizing process, the intermediate sequences involved in the algorithm, three sequences and their simulation of CZT and FFT. The simulation will help students to understand and grasp the algorithm which can improve the teaching quality.

CZT; Matlab; FFT(Fast Fourier Transform)

DOI:10.16791/j.cnki.sjg.2016.04.017

2015- 09- 17修改日期：2016- 01- 19

河北大學(xué)第八批教學(xué)改革研究課題(JX08-YB-32)；河北省科技計劃自籌經(jīng)費(fèi)項(xiàng)目(15210409)；河北大學(xué)青年基金項(xiàng)目(2011Q01)

黃永平(1977— )，女， 河北定州，碩士，講師，主要研究方向?yàn)樾盘柵c信息處理.

E-mail：hyp2013@163.com

TN911.72; G423.07

A

1002-4956(2016)4- 0057- 04