何軍，范子菲，趙倫，宋珩，李孔綢，吳學(xué)林（中國石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083）

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基于偏心井反演理論的壓裂水平井產(chǎn)能計(jì)算方法

何軍，范子菲，趙倫，宋珩，李孔綢，吳學(xué)林
（中國石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083）

基于垂直裂縫穩(wěn)態(tài)滲流等效井徑模型、圓形供給邊界偏心井反演理論和壓降疊加原理，建立了考慮油藏及裂縫滲流的耦合模型，推導(dǎo)了圓形供給邊界壓裂水平井產(chǎn)能計(jì)算新公式，分析了裂縫半長、裂縫條數(shù)、裂縫導(dǎo)流能力、裂縫布縫方式對(duì)壓裂水平井產(chǎn)能的影響。結(jié)果表明：壓裂水平井裂縫產(chǎn)量是非均勻的，具有邊部裂縫產(chǎn)量高，中間裂縫產(chǎn)量低的特點(diǎn)；壓裂水平井裂縫存在最優(yōu)條數(shù)，當(dāng)裂縫條數(shù)大于最優(yōu)條數(shù)，水平井產(chǎn)量增加緩慢；裂縫半長增加，水平井產(chǎn)量增加，其中邊部裂縫產(chǎn)量增加最顯著，中間裂縫產(chǎn)量略有增加；裂縫無因次導(dǎo)流能力增加，水平井產(chǎn)量增加，且很快趨于平穩(wěn)，在壓裂設(shè)計(jì)中，應(yīng)避免裂縫導(dǎo)流能力小于曲線的拐點(diǎn)值，引起壓裂水平井產(chǎn)能快速下降。最后，通過分析4種布縫方式發(fā)現(xiàn)，壓裂水平井宜采用交錯(cuò)布縫，同時(shí)延長邊部裂縫的縫長，適當(dāng)減小中間裂縫縫長，降低裂縫間的干擾，提高水平井產(chǎn)量。

壓裂水平井；等效井徑；偏心井反演；壓降疊加原理；圓形供給邊界

0　引言

壓裂水平井技術(shù)是實(shí)現(xiàn)各種邊際油藏有效開發(fā)的重要手段，然而壓裂水平井的產(chǎn)能計(jì)算是滲流力學(xué)中的一大難題［1-3］。壓裂水平井產(chǎn)能評(píng)價(jià)方法較多，主要采用保角變換理論、等值滲流阻力法、水電模擬實(shí)驗(yàn)、復(fù)勢(shì)理論及數(shù)值模擬等方法［4］。郎兆新［5］應(yīng)用位勢(shì)理論和疊加原理，得到了壓裂水平井產(chǎn)能公式，分析了產(chǎn)量與生產(chǎn)壓差、裂縫長度及裂縫條數(shù)的關(guān)系；范子菲［6］在垂直裂縫穩(wěn)態(tài)解的基礎(chǔ)上，利用疊加原理及鏡像反演推導(dǎo)出了裂縫性油藏水平井穩(wěn)態(tài)解公式；李廷禮［7］應(yīng)用復(fù)位勢(shì)理論和疊加原理推導(dǎo)出了考慮地層、裂縫、井筒滲流的穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能解；牟寶珍［8］根據(jù)水電相似原理，利用等值滲流阻力法建立了考慮啟動(dòng)壓力梯度和壓敏效應(yīng)的壓裂水平井產(chǎn)能公式；張建軍［9］利用保角變換推導(dǎo)出了縱向裂縫內(nèi)變質(zhì)量流動(dòng)時(shí)壓裂水平氣井的產(chǎn)能公式；徐嚴(yán)波等［10-13］將裂縫分成若干微元段，把每個(gè)微元段看作點(diǎn)匯，利用疊加原理或積分變換，給出了多裂縫壓裂水平井半解析產(chǎn)能模型；吳曉東等［14-15］根據(jù)水電相似原理，設(shè)計(jì)了壓裂水平井的電模擬實(shí)驗(yàn)，研究了單井狀態(tài)下和井網(wǎng)條件下裂縫參數(shù)對(duì)壓裂水平井產(chǎn)能的影響；曲占慶等［16-17］分別建立了氣藏、油藏壓裂水平井滲流模型，對(duì)裂縫參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)；張學(xué)文等［18-19］利用數(shù)值模擬方法研究了壓裂水平井的滲流規(guī)律，分析了地層及裂縫參數(shù)對(duì)壓裂水平井產(chǎn)能的影響。

以往的壓裂水平井模型大多基于無限大地層或矩形邊界油藏，而本文應(yīng)用垂直裂縫等效井徑模型，偏心井反演理論和壓降疊加原理，建立了考慮油藏及裂縫滲流的耦合模型，推導(dǎo)了圓形供給邊界壓裂水平井產(chǎn)能預(yù)測(cè)新公式，并分析了壓裂水平井產(chǎn)能影響因素。

1　數(shù)學(xué)模型的建立

假設(shè)：圓形定壓邊界，地層各向同性，厚度、滲透率為常數(shù)；流體為單相不可壓縮牛頓流體，黏度為常數(shù)，忽略重力、毛細(xì)管力的影響；滲流滿足達(dá)西流動(dòng)；水平井段只在裂縫與水平井筒相交處射孔，裂縫為有限導(dǎo)流，水平井筒為無限導(dǎo)流；流體由基質(zhì)進(jìn)入裂縫，再由裂縫進(jìn)入水平井井筒；裂縫為矩形裂縫，貫穿整個(gè)油藏。

1.1油藏流動(dòng)模型

壓裂水平井裂縫從左至右依次為1，2，3，…，n，裂縫半長為xfi，裂縫寬度為wfi，根據(jù)垂直裂縫穩(wěn)態(tài)滲流等效井徑模型，裂縫可等效為一口直井（見圖1）。

圖1　壓裂水平井裂縫和定壓邊界等效圖

圖1中以3條裂縫為例，根據(jù)等效井徑模型，3條裂縫可等效為rwe1，rwe2，rwe3的直井，利用偏心井反演理論，得到1，2，3井的共軛井1′，2′，3′，消除邊界的作用，此時(shí)壓裂水平井問題演變?yōu)闊o限大地層多口直井的穩(wěn)態(tài)滲流問題。

由文獻(xiàn)［20］可知垂直裂縫等效井徑表達(dá)式為

假設(shè)裂縫流量均勻，裂縫的等效井徑為

i（1，2，…，n）表示裂縫等效的實(shí)際井，i′表示相應(yīng)的虛擬井，實(shí)際井和虛擬井在地層中任意點(diǎn)M產(chǎn)生的勢(shì)為［21］

由疊加原理，多井同時(shí)生產(chǎn)時(shí)M點(diǎn)產(chǎn)生的勢(shì)為

若M點(diǎn)取在供給邊界M1（供給邊界與x軸的左交點(diǎn)）處，則：

若M點(diǎn)取在等效直井i的井壁處，則：

式（6）減式（7），并將勢(shì)函數(shù)表示成壓力的形式得

假設(shè)裂縫等效井的坐標(biāo)為（xi，yi），由圓形定壓邊界偏心井反演理論可以求得虛擬井的坐標(biāo)（xi′，yi′）。已知實(shí)際井、虛擬井、點(diǎn)M1的坐標(biāo)之后，可求出公式中各點(diǎn)間的距離。

1.2裂縫流動(dòng)模型

由于裂縫的橫截面積遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于水平井筒橫截面積，裂縫內(nèi)的流體從裂縫邊緣向井筒聚集時(shí)，如果忽略重力的影響，可以近似看成地層厚度為wfi，流動(dòng)半徑為，邊界壓力為pfi的平面徑向流，故有如下表達(dá)式成立：

1.3耦合流動(dòng)模型

根據(jù)耦合關(guān)系，油藏流動(dòng)在裂縫壁面處的壓力與裂縫流動(dòng)在裂縫壁面處的壓力相等。由于水平井筒為無限導(dǎo)流，因此井筒中沒有壓力損失，裂縫流動(dòng)在水平井筒處的壓力與水平井井底流壓相等，聯(lián)立方程式（8）和式（9）得：

式（11）是第i條裂縫在地層和裂縫中的耦合滲流方程，這樣的方程有n個(gè)，將其寫成矩陣的形式：

式（12）即為壓裂水平井所有裂縫滲流時(shí)的滲流方程組，公式中的每一項(xiàng)具有明確的物理意義：（A-B）表示流體在地層中的滲流阻力，D表示流體在裂縫中的滲流阻力，Q表示產(chǎn)量，p表示壓力，這與等值滲流阻力法是一致的。方程（12）中各矩陣分別為

2　裂縫參數(shù)對(duì)壓裂水平井產(chǎn)能的影響

某油田一口壓裂水平井的主要參數(shù)：油藏外邊界半徑500 m，厚度10 m，地層滲透率0.01 μm2，水平井段長800 m，井筒半徑0.1 m，原油黏度2 mPa·s，生產(chǎn)壓差10 MPa，裂縫寬度5 mm，裂縫滲透率10 μm2。

2.1壓裂水平井產(chǎn)量分布

圖2為裂縫產(chǎn)量柱狀圖。

圖2　裂縫產(chǎn)量分布

圖中5條裂縫半長為100 m。由圖可知，裂縫產(chǎn)量呈對(duì)稱分布，具有兩端產(chǎn)量高、中間產(chǎn)量低的特點(diǎn)，裂縫產(chǎn)量不一致是由于裂縫相互干擾所致。

2.2裂縫條數(shù)的影響

圖3為裂縫條數(shù)與壓裂水平井產(chǎn)能關(guān)系。

圖3　裂縫條數(shù)對(duì)壓裂水平井產(chǎn)能的影響

由圖3可以看出，不同裂縫半長下，壓裂水平井產(chǎn)量與裂縫條數(shù)呈近似對(duì)數(shù)曲線關(guān)系；隨著裂縫條數(shù)的增加，壓裂水平井產(chǎn)量增幅逐漸減小，這是由于裂縫條數(shù)增加，縫間干擾加劇。試算結(jié)果表明，裂縫半長為100 m時(shí)，9條裂縫生產(chǎn)與5條裂縫生產(chǎn)相比，產(chǎn)量增加僅為4.9%。因此，壓裂水平井裂縫存在最優(yōu)條數(shù)，當(dāng)裂縫數(shù)量超過它之后，水平井產(chǎn)量增加緩慢。

2.3裂縫半長的影響

圖4為裂縫產(chǎn)量與裂縫半長關(guān)系。

圖4　不同裂縫半長對(duì)裂縫產(chǎn)量的影響

由圖4可知：不同裂縫半長下，壓裂水平井裂縫產(chǎn)量分布曲線。隨著裂縫半長的增加，壓裂水平井總的產(chǎn)量不斷增加，其中，邊部裂縫對(duì)壓裂水平井產(chǎn)量貢獻(xiàn)最為明顯，中間裂縫產(chǎn)量略有增加。

2.4裂縫無因次導(dǎo)流能力的影響

圖5為壓裂水平井產(chǎn)量同裂縫無因次導(dǎo)流能力CD關(guān)系曲線。當(dāng)CD≤20時(shí)，壓裂水平井的產(chǎn)量隨CD的增大而急劇增加；當(dāng)CD＞20時(shí)，壓裂水平井產(chǎn)量幾乎不再增加。因此，在壓裂時(shí)要注意選擇支撐劑類型，避免裂縫閉合過程中，裂縫無因次導(dǎo)流能力小于圖中拐點(diǎn)區(qū)域，導(dǎo)致水平井產(chǎn)能快速下降。

圖5　裂縫無因次導(dǎo)流能力對(duì)壓裂水平井產(chǎn)量的影響

2.5布縫方式的影響

為了研究布縫方式對(duì)壓裂水平井產(chǎn)量的影響，在水平段長度一定的情況下，設(shè)計(jì)了4種布縫方式：均勻布縫、啞鈴形布縫、交錯(cuò)布縫及邊部裂縫加長型布縫，計(jì)算了4種布縫方式下壓裂水平井產(chǎn)量（見表1）。

表1　不同布縫方式下壓裂水平井產(chǎn)量分布

由表1可知：同均勻布縫相比，紡錘形布縫雖然減小了中間裂縫的長度，但水平井總產(chǎn)量幾乎不變，產(chǎn)量下降僅為2.2%；交錯(cuò)布縫方式下每條裂縫產(chǎn)量明顯提高，水平井總產(chǎn)量增幅最大；邊部裂縫加長型布縫方式下，邊部裂縫產(chǎn)量增加顯著，中間裂縫產(chǎn)量略有降低，水平井總產(chǎn)量增幅較大。綜上分析可知，壓裂水平井布縫時(shí)宜采用交錯(cuò)布縫方式，同時(shí)延長邊部裂縫的縫長，可適當(dāng)減小中間裂縫的長度，這樣可減小裂縫間的干擾，提高水平井產(chǎn)量。

3　結(jié)論

1）對(duì)于壓裂水平井，裂縫產(chǎn)量不均勻，呈對(duì)稱分布，且兩端裂縫產(chǎn)量較高；隨著裂縫條數(shù)和裂縫半長的增加，壓裂水平井產(chǎn)量增加幅度逐漸變緩；裂縫條數(shù)達(dá)到一定數(shù)值之后，增加裂縫數(shù)量對(duì)壓裂水平井產(chǎn)量提高意義不大。

2）壓裂水平井產(chǎn)量隨著裂縫無因次導(dǎo)流能力的增加而增加，最后趨于水平。在進(jìn)行壓裂設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)避免裂縫閉合階段裂縫導(dǎo)流能力大幅降低，小于曲線拐點(diǎn)，導(dǎo)致壓裂水平井產(chǎn)量快速下降。

3）壓裂水平井布縫時(shí)宜采用交錯(cuò)布縫方式，同時(shí)延長邊部裂縫的縫長，可適當(dāng)減小中間裂縫的長度，減小裂縫間的干擾，提高水平井產(chǎn)量。

4　符號(hào)注釋

h為地層厚度，m；n為裂縫條數(shù)；xfi為i裂縫的裂縫半長，m；wfi為i裂縫的裂縫寬度，m；rwei為 i裂縫的等效井徑，m；rwe為裂縫等效井徑，m；xf為裂縫半長，m；i為i裂縫對(duì)應(yīng)的等效井；i′為i裂縫對(duì)應(yīng)的虛擬井；M為地層中任意一點(diǎn)；ΦiM為i裂縫等效井在M點(diǎn)產(chǎn)生的勢(shì)，m2/s；qi為單位厚度地層i裂縫產(chǎn)量，m2/s；riM為i裂縫等效井距M點(diǎn)的距離，m；Ci，Ci′，C為常數(shù)；Φi′M為i裂縫虛擬井在M點(diǎn)產(chǎn)生的勢(shì)，m2/s；ri′M為i裂縫虛擬井距M點(diǎn)的距離，m；ΦM為等效井和虛擬井在M點(diǎn)產(chǎn)生的勢(shì)，m2/s；M1為圓形供給邊界與x軸的左交點(diǎn)；ΦM1為等效井和虛擬井在M1點(diǎn)產(chǎn)生的勢(shì)；m2/s；Φe為供給邊界上的勢(shì)，m2/s；Φwi為i裂縫等效井井壁上的勢(shì)，m2/s；rji為等效井j距等效井i的距離，m；rj′i為虛擬井j距等效井i的距離，m；pe為外邊界壓力，Pa；pwi為油藏流動(dòng)在i裂縫等效井井壁上的壓力，Pa；μ為流體黏度，Pa·s；k為地層滲透率，m2；Qj為j裂縫產(chǎn)量，m3/s；xi為等效井i的橫坐標(biāo)；yi為等效井i的縱坐標(biāo)；Re為油藏半徑，m；xi′為虛擬井i的橫坐標(biāo)；yi′為虛擬井i的縱坐標(biāo)；pfi為裂縫流動(dòng)中裂縫i的外邊界壓力，Pa；pwfi為裂縫流動(dòng)中裂縫i在井筒處的壓力，Pa；kfi為i裂縫的滲透率，m2；rw為水平井筒半徑，m；pwf為水平井井底流壓，Pa；CDi為i裂縫的無因次導(dǎo)流能力；A，B，D，Q，p為壓裂水平井滲流方程組系數(shù)矩陣。

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（編輯付麗麗）

Productivity calculation of fractured horizontal well based on equivalent eccentric well inverse theory

He Jun，F(xiàn)an Zifei，Zhao Lun，Song Heng，Li Kongchou，Wu Xuelin
（Research Institute of Petroleum Exploration&Development，PetroChina，Beijing 100083，China）

Based on equivalent wellbore radius model of vertical fracture in steady state flow，eccentric well inverse theory of circular supply boundary and the principle of pressure-drop superposition，a coupling model of reservoir and fracture flow was developed and a new productivity formula of fractured horizontal well was derived.The influence of fracture half length，fracture numbers，fracture flow conductivity and fracture distributions on the productivity of fractured horizontal well was analyzed.The results show that the distribution of fracture productivity is not uniform with high production in outer fractures and low productivity in inner fractures；there is an optimal fracture numbers，the productivity of horizontal well increases slowly when the fracture numbers exceeds the optimal fracture numbers；with the increase of fracture half length，the productivity of horizontal well increases，the increase of outer fracture productivity is remarkable and the inner fracture productivity rises slightly；with the increase of fracture dimensionless flow conductivity，the productivity of horizontal well increases and tends to be steady quickly；the productivity of horizontal well decreases quickly if the fracture flow conductivity is less than the value of inflection point；finally，analyzing four types of fracture distribution，it is better to adopt interlaced fracture distribution pattern，prolong the length of outer fractures，and reduce the length of inner fractures appropriately to reduce fracture interference and improve the productivity of horizontal well.

fractured horizontal well；equivalent wellbore radius；eccentric well inverse theory；principle of pressure-drop superposition；circular supply boundary

中國石油天然氣股份有限公司重大科技專項(xiàng)“哈薩克斯坦碳酸巖鹽油氣藏氣頂和油環(huán)協(xié)同開發(fā)技術(shù)研究與應(yīng)用”（2011E-2504）

TE357.1

A

10.6056/dkyqt201601013

2015-09-28；改回日期：2015-11-11。

何軍，男，1987年生，博士研究生，主要從事海外油氣田油藏工程研究工作。E-mail：hejun18@126.com。

引用格式：何軍，范子菲，趙倫，等.基于偏心井反演理論的壓裂水平井產(chǎn)能計(jì)算方法［J］.斷塊油氣田，2016，23（1）：60-64.

He Jun，F(xiàn)an Zifei，Zhao Lun，et al.Productivity calculation of fractured horizontal well based on equivalent eccentric well inverse theory［J］.Fault-Block Oil&Gas Field，2016，23（1）：60-64.