申淑波

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論數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)策略

申淑波

（綏化市第四中學(xué)，黑龍江 綏化 152054）

基于學(xué)生反饋初高中數(shù)學(xué)銜接不好，大部分初中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)異的學(xué)生到高中數(shù)學(xué)成績(jī)一落千丈，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)不佳，情緒低迷，信心不足。與學(xué)生們系統(tǒng)地研究了學(xué)習(xí)方法、解題方案、學(xué)習(xí)信念，并結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提出指向“方法”的學(xué)習(xí)和“思維”的訓(xùn)練，優(yōu)化解題方案，重“基礎(chǔ)”、識(shí)“陷阱”，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。

數(shù)學(xué)教學(xué)；學(xué)習(xí)策略；學(xué)習(xí)興趣

1　指向“方法”的學(xué)習(xí)和“思維”的訓(xùn)練

重“方法”。常言道：學(xué)習(xí)有法但無(wú)定法。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不是教授學(xué)生怎么去解一道題、記下解題步驟，而是教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)這道題的思維方法，并能將其運(yùn)用于同種類(lèi)型的解題上，甚至能將其補(bǔ)充，拓展出去。單純學(xué)解題步驟，那是學(xué)不盡的，因?yàn)轭}目千變?nèi)f化，而學(xué)會(huì)一種思維方法，便能將它運(yùn)用到千萬(wàn)道數(shù)學(xué)題中去。還要補(bǔ)充的是，解題的最好方法是能夠自己得出來(lái)的，因?yàn)閯e人教你的方法容易忘記，而自己得出的方法卻記憶深刻。如果自己實(shí)在得不出方法，一定要將別人的方法在題中多揣摩幾遍，以確保自己完全掌握。

重“思維”。高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有著巨大的不同，高中數(shù)學(xué)更講究靈活性和延伸性，題目靈活，需要思維的發(fā)散性。我認(rèn)為在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上應(yīng)有一套完整有效的方法，即歸納整理的方法。每周學(xué)完整理這一周所學(xué)的知識(shí)，將作業(yè)中應(yīng)該重點(diǎn)掌握和做錯(cuò)的題目整理出來(lái)，且每次考試結(jié)束后，都將扣分題或有多種解題方法的數(shù)學(xué)題進(jìn)行整理。由此，長(zhǎng)期累計(jì)，把典型題或一類(lèi)題歸納，在考前復(fù)習(xí)的時(shí)候就會(huì)輕松很多。而且這種方法也利于平時(shí)思路的清晰，避免拿到題后思路混亂，出現(xiàn)無(wú)從下手的情況，這種方法我認(rèn)為是十分有效的。除此以外，在做題過(guò)程中應(yīng)當(dāng)先獨(dú)立思考，再相互交流。獨(dú)立思考自己有什么方法能解題，之后再相互交流，取他人之長(zhǎng)補(bǔ)自己之短，應(yīng)當(dāng)發(fā)散思維，盡可能在平時(shí)的做題過(guò)程中多積累方法、技巧，以此來(lái)訓(xùn)練自己的思維方式。

例如在橢圓的性質(zhì)教學(xué)中，除了研究橢圓的“范圍”、“對(duì)稱(chēng)性”、“頂點(diǎn)”三條性質(zhì)外，還要繼續(xù)研究橢圓的“焦半徑”及“焦點(diǎn)弦”的最值問(wèn)題，下面僅以“焦半徑”為例來(lái)說(shuō)明如何探討解題方法、拓展學(xué)生思維的問(wèn)題。

解：

由于教材中沒(méi)有涉及橢圓的第二定義，因此，學(xué)生只能想到兩點(diǎn)間的距離公式，只有少數(shù)學(xué)生能應(yīng)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程把y用x代換，但化簡(jiǎn)不到完全平方這一步，個(gè)別學(xué)生化簡(jiǎn)到一次函數(shù)形式，并求出最值。學(xué)生的思維在“受阻”、“前進(jìn)”，“再受阻”、“再前進(jìn)”中得到了良好的訓(xùn)練。

2　優(yōu)化解題方案

數(shù)學(xué)是進(jìn)行一種邏輯思維的學(xué)習(xí)與鍛煉，有時(shí)上課時(shí)雖然聽(tīng)懂了，但做習(xí)題時(shí)也不能如魚(yú)得水，成績(jī)也不高。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最主要的是運(yùn)用的問(wèn)題，用正確的思維去解決實(shí)際問(wèn)題，所以，在課堂上進(jìn)行經(jīng)典問(wèn)題的研究，研究同一問(wèn)題的多種解法，從中優(yōu)化解題方案，再以必要性的習(xí)題輔助訓(xùn)練，就能達(dá)到訓(xùn)練思維的目的，使之靈活而不呆板，做題也會(huì)越來(lái)越順。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最主要的問(wèn)題是有些公式定理雖然記住了，但卻不能靈活運(yùn)用，所以要對(duì)每一個(gè)定理、公式進(jìn)行自我的推理過(guò)程，搞清這些定理，公式的本質(zhì)，自然會(huì)事半功倍，所以，一定要理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

下面以點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的推導(dǎo)為例研究如何優(yōu)化解題方案，點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式有多種推理方法，這里寫(xiě)出三種方法，供優(yōu)化解題方案參考。

方法一：直接法。作直線(xiàn)PQ 直線(xiàn)l，垂足為Q，解直線(xiàn)l與PQ的聯(lián)立方程組，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，再應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離公式求出PQ的長(zhǎng)，此種方法容易入手但計(jì)算很復(fù)雜，學(xué)生不易接受，不可取。

（直線(xiàn)L的斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí)仍然成立），此法學(xué)生欣然接受。

A資助方法三：向量法（1）

向量法（2）

同學(xué)們還發(fā)現(xiàn)了很多證法，課堂氣氛十分活躍，激發(fā)了大家的學(xué)習(xí)興趣。針對(duì)上述問(wèn)題的研究，學(xué)生自然得出了最佳的解題方法，從而優(yōu)化了解題方案。

3　重“基礎(chǔ)”、識(shí)“陷阱”，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

注重“基礎(chǔ)”。何為基礎(chǔ)，基礎(chǔ)是一切之本。有些人忽視基礎(chǔ)知識(shí)，一是因?yàn)樗?jiǎn)單，二是因?yàn)榭荚囈话悴粫?huì)直接了當(dāng)去考它。但是基礎(chǔ)知識(shí)是最重要的，學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí)才能學(xué)好更難的東西，基礎(chǔ)打扎實(shí)了，再學(xué)習(xí)才不會(huì)吃力。另外，解題時(shí)不是一下子能想出巧妙、簡(jiǎn)單個(gè)基礎(chǔ)上得出好的方法。同時(shí)要特別注意，遇到難題時(shí)不能慌張，運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)，一步步仔細(xì)去分析，定能解決問(wèn)題。因此，上課一定要認(rèn)真聽(tīng)講，將基礎(chǔ)的東西牢牢地掌握好。

識(shí)別“陷阱”?，F(xiàn)在的考試題，特別是高考題中，許多題目都不難，一張考試卷，百分之八十都是基礎(chǔ)，但很多題目會(huì)設(shè)下陷阱，雖然你會(huì)做，但一不小心還是會(huì)錯(cuò)，因此，在審題中要格外小心；另外，還可以總結(jié)一下哪類(lèi)題目會(huì)設(shè)“陷阱”，大多會(huì)出現(xiàn)怎樣的“陷阱”。如果掌握了這些，那么看到題目就大致能猜到可能會(huì)有什么樣的陷阱出現(xiàn)，錯(cuò)誤率就會(huì)大大地減少。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)在夯實(shí)“基礎(chǔ)”、認(rèn)清“陷阱”的前提下，就會(huì)在頭腦中逐漸形成自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。這個(gè)知識(shí)系統(tǒng)應(yīng)該像一個(gè)網(wǎng)絡(luò)一樣，網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)往往是激發(fā)學(xué)生思維的關(guān)鍵之處，又常常是考試出題的關(guān)鍵所在。例如在代數(shù)、幾何、三角這三大體系中，解析幾何中的直線(xiàn)、圓、橢圓、雙曲線(xiàn)都可用三角代換法轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來(lái)求解問(wèn)題。關(guān)于“基礎(chǔ)”和“陷阱”的例子比比皆是，這里不再贅述，只舉例說(shuō)明知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的問(wèn)題。

例1：設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足3x2+2y2≤b，求2x+y的最大值。

例2：設(shè)a、b分別是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求：a+b及l(fā)og2a+2b的值

解：在直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=2x和y=log2x的圖像，再作出直線(xiàn)y=x和y=-x+3

多年來(lái)，我一直關(guān)注薩爾加多（Sebasti?o Salgado）和史蒂夫·麥凱瑞的職業(yè)生涯。雖然他們有著完全不同的創(chuàng)作風(fēng)格，但我從他們身上獲得了靈感：薩爾加多對(duì)于拍攝有著影像記錄和社會(huì)學(xué)式的工作方法，史蒂夫·麥凱瑞則善于制造鮮明的色彩和醒目的構(gòu)圖。

由于y=2x和y=log2x互為反函數(shù)，故他們的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)

方程log2x+x-3=0的根a就是直線(xiàn)y=-x+3與對(duì)數(shù)曲線(xiàn)log2x的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)

方程2x+x-3=0的根b就是直線(xiàn)y=-x+3與指數(shù)曲線(xiàn)y=2x的交點(diǎn)B的橫坐標(biāo)

故有中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：a+b=3；log2a+2b=3

例1說(shuō)明了橢圓和三角函數(shù)的性質(zhì)在求函數(shù)最值上的應(yīng)用，例2充份體現(xiàn)了函數(shù)與方程以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，反映了指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)與直線(xiàn)方程之間的內(nèi)在聯(lián)系。通過(guò)研究知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生會(huì)對(duì)三角與幾何之間知識(shí)的交匯點(diǎn)產(chǎn)生極大的興趣，會(huì)產(chǎn)生刻骨銘心之印象，數(shù)學(xué)開(kāi)發(fā)思維的目的也會(huì)達(dá)到。

4　“興趣”是確立學(xué)習(xí)信念的關(guān)鍵

丟什么都不能丟興趣。數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，需要高度嚴(yán)密的邏輯，且必須源于其扎實(shí)的基礎(chǔ)。我學(xué)習(xí)和教數(shù)學(xué)的心得是必須踏踏實(shí)實(shí)的研究每一個(gè)問(wèn)題，并總結(jié)解題方法和解題技巧，遇到難題絕不能放棄，要仔細(xì)審題，一步一步，由淺入深，直至問(wèn)題解決，從中體會(huì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的樂(lè)趣，逐步培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。數(shù)學(xué)教學(xué)興趣最重要，丟什么都不能丟興趣，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的底線(xiàn)，很多學(xué)不好數(shù)學(xué)的人，往往是從對(duì)數(shù)學(xué)沒(méi)有興趣開(kāi)始的，逐漸產(chǎn)生恐懼心理，這種心態(tài)絕對(duì)要克服，其根本方法就是有意識(shí)培養(yǎng)自己對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，正視數(shù)學(xué)，調(diào)整好自己的心態(tài)，上課認(rèn)真聽(tīng)講，把基礎(chǔ)知識(shí)和解題結(jié)合起來(lái)，尤其掌握解題思路，畢竟題目都是萬(wàn)變不離其宗的。研究問(wèn)題時(shí)要靜心，平心靜氣的去讀題，分析題設(shè)條件，研究解題的思維方法，使難點(diǎn)一一化解，使問(wèn)題由復(fù)雜變簡(jiǎn)單。確切地說(shuō)，數(shù)學(xué)教師就是學(xué)科教學(xué)中使數(shù)學(xué)由復(fù)雜到簡(jiǎn)單的探索者和領(lǐng)路人。下面看一道趣味數(shù)學(xué)。

兩個(gè)男孩各騎一輛自行車(chē)，從相距20英里（1英里合1.6093千米）的兩個(gè)地方，開(kāi)始沿直線(xiàn)相向騎行。在他們起步的那一瞬間，一輛自行車(chē)車(chē)把上的一只蒼蠅，開(kāi)始向另一輛自行車(chē)徑直飛去。它一到達(dá)另一輛自行車(chē)車(chē)把，就立即轉(zhuǎn)向往回飛行。這只蒼蠅如此往返，在兩輛自行車(chē)的車(chē)把之間來(lái)回飛行，直到兩輛自行車(chē)相遇為止。如果每輛自行車(chē)都以每小時(shí)10英里的等速前進(jìn)，蒼蠅以每小時(shí)15英里的等速飛行，那么，蒼蠅總共飛行了多少英里？

答案：每輛自行車(chē)運(yùn)動(dòng)的速度是每小時(shí)10英里，兩者將在1小時(shí)后相遇于2O英里距離的中點(diǎn)。蒼蠅飛行的速度是每小時(shí)15英里，因此在1小時(shí)中，它總共飛行了15英里。

許多人試圖用復(fù)雜的方法求解這道題。他們計(jì)算蒼蠅在兩輛自行車(chē)車(chē)把之間的第一次路程，然后是返回的路程，依此類(lèi)推，算出那些越來(lái)越短的路程。但這將涉及所謂無(wú)窮級(jí)數(shù)求和，這是非常復(fù)雜的高等數(shù)學(xué)。據(jù)說(shuō)，在一次雞尾酒會(huì)上，有人向約翰——馮·諾伊曼（John von Neumann，1903——1957年，20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一）提出這個(gè)問(wèn)題，他思索片刻便給出正確答案。提問(wèn)者顯得有點(diǎn)沮喪，解釋說(shuō)，絕大多數(shù)數(shù)學(xué)家總是忽略能解決這個(gè)問(wèn)題的簡(jiǎn)單方法，而去采用無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的復(fù)雜方法。馮·諾伊曼臉上露出驚奇的神色：“可是，我用的是無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的方法”。

學(xué)生自己或通過(guò)老師的啟發(fā)引導(dǎo)對(duì)趣味性數(shù)學(xué)題目給出圓滿(mǎn)的解答，他（她）們會(huì)產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)的極大興趣和成功的感覺(jué)，會(huì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，意義非同一般。

數(shù)學(xué)是一門(mén)鍛煉思維的學(xué)科，也是學(xué)習(xí)其他學(xué)科的基礎(chǔ)和前提，要學(xué)好數(shù)學(xué)與平時(shí)是否勤于思考和是否多做難題有關(guān)，也與有沒(méi)有扎實(shí)的基礎(chǔ)有關(guān)。當(dāng)然，有好的基礎(chǔ)是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件，卻不是充分條件，會(huì)不會(huì)做適量難題是關(guān)鍵。一個(gè)人如果習(xí)慣了在山路上奔跑，在平地上跑起來(lái)就易如反掌了。平時(shí)做慣了適量的難題，一般的題目還有什么難度呢？對(duì)于優(yōu)秀學(xué)生來(lái)說(shuō)，平時(shí)一般的題做多了，只是掌握了知識(shí)點(diǎn)，要拔尖兒的話(huà)就必須做適量的難題，當(dāng)然這個(gè)過(guò)程是很辛苦的，但對(duì)于喜歡思考的學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)就不再是一件苦差事，反而是一件樂(lè)事了。我得出一個(gè)結(jié)論，要想學(xué)好、學(xué)活數(shù)學(xué)，關(guān)鍵是要熱愛(ài)思考。面對(duì)較難的數(shù)學(xué)題目，更應(yīng)該刻苦去做，認(rèn)真分析已知條件和未知結(jié)論間的聯(lián)系，就像高明的偵探破案一樣，抓住一點(diǎn)蛛絲馬跡分析判斷直到解決問(wèn)題，將所有的知識(shí)融匯貫通，當(dāng)所有的知識(shí)都了然于心，數(shù)學(xué)水平才會(huì)達(dá)到一個(gè)高度。當(dāng)然，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程也不是只做難題，它是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，不可能一日求成，最重要的在于學(xué)習(xí)思考的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程是不容忽視的。我們往往有這樣的機(jī)會(huì)，做同樣一道題目，卻有幾種不同的解法，難易程度也不盡相同，在做練習(xí)時(shí)非常重要的是要學(xué)會(huì)思考。在思考的過(guò)程中，你或許會(huì)想出多種解題方法，從多種方法中篩選出最簡(jiǎn)單的方法，久而久之，經(jīng)過(guò)這種長(zhǎng)期的思考后，解題技巧就學(xué)會(huì)了，解題思路也就有了，由此，可訓(xùn)練學(xué)生思維的敏捷性和全面性，從而使學(xué)生學(xué)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真諦——訓(xùn)練思維的敏捷性，使學(xué)生受用終生，我想這也是數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo)吧。

在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，我和學(xué)生們研究了下列問(wèn)題的簡(jiǎn)單解法：

例：已知圓內(nèi)接正n邊形的中心為o，A1、A2、...、An.

證明：

成立。

此題也可應(yīng)用三角中的積化和差公式，這里不再證明。兩個(gè)方法應(yīng)用下來(lái)，學(xué)生對(duì)向量與復(fù)數(shù)以及數(shù)列、解析幾何之間的關(guān)系感悟頗深，大大提高了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的感悟能力。

學(xué)習(xí)信念絕不容忽視。何為學(xué)習(xí)信念？我個(gè)人認(rèn)為對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)、目的。現(xiàn)代的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)是很功利的，問(wèn)學(xué)生為什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，學(xué)生會(huì)毫不猶豫的回答為考大學(xué)、考名牌大學(xué)，家長(zhǎng)老師以及學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)大多都是這個(gè)觀點(diǎn)，這也無(wú)可非議。我認(rèn)為應(yīng)該把眼光再放遠(yuǎn)一點(diǎn)：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是為了使人的頭腦更靈活，使人的思維更靈活、更嚴(yán)密、更全面，即使學(xué)生參加工作時(shí)不從事數(shù)學(xué)方面的工作，哪怕是將數(shù)學(xué)公式忘得一干二凈，可數(shù)學(xué)思維的靈活性、嚴(yán)密性和全面性會(huì)在無(wú)意之間指導(dǎo)他們的工作，這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓。

Discussion on mathematics teaching and learning strategies

SHENShu-bo
（Suihua Fourth school，Suihua 152054，China）

The convergence of mathematics from middle school to high school is not good from the feedback of students，which makes the performance of excellent students in math plummeted in high schools，resulting in poor learning state，depressed mood and lacking of confidence.Combining own teaching experience with study of learning method，problem-solving programs and learning faith，this paper proposed to have oriented-learning method and thinking training，optimize problem-solving programs，emphasize on basis and formknowledge network system.

Mathematics teaching；Learningstrategy；Learninginterest

G633.6

B

1674-8646（2016）15-0070-04

2016-06-14