陳小陶

(貴州大學 理學院，貴州　貴陽　550025)

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分塊矩陣在證明Sylvester等式與Sylvester不等式方面的應用

陳小陶

(貴州大學 理學院，貴州貴陽550025)

分塊矩陣在高等代數(shù)中是一個重要工具，在研究許多問題中都要應用到。在分塊矩陣的基礎上，應用分塊矩陣的相關性質證明Sylvester等式與Sylvester不等式。同時，利用舉例以及不同證法說明分塊矩陣在證明Sylvester公式的優(yōu)越性。

分塊矩陣，Sylvester等式，Sylvester不等式，優(yōu)越性

0　引言

矩陣的分塊是矩陣在進行計算中的重要的工具[1]，一個矩陣經過分塊后所構成的以塊為元素的新矩陣，它在形式上矩陣的階數(shù)會較少，這樣通過分析分塊后的矩陣有關性質，能夠得到原有矩陣的性質。因為分塊矩陣自身帶有的這個特點，在許多問題中的求解都可利用到它。例如，求解矩陣的行列式、逆矩陣等。本文是建立在分塊矩陣的基礎上，應用分塊矩陣的有關性質，證明Sylvester等式與Sylvester不等式，并通過例子以及證明方法的不同來說明利用分塊矩陣求解Sylvester等式與Sylvester不等式步驟簡單明了。

1　預備知識

1.1分塊矩陣的概念

所謂的矩陣的分塊是將整個矩陣進行適當?shù)姆謮K，然后再把分塊后的小矩陣當作矩陣里面的元素來處理。設A是一個m×n矩陣，如果用若干條橫線把它分成r塊，再用若干條縱線把它分成s塊?；诖耍覀兙偷玫搅艘粋€有rs塊的分塊矩陣，如式(1)：

(1)

其中Ars表示的是一個比A小的矩陣。

1.2分塊矩陣的運算規(guī)則

分塊矩陣的運算與矩陣的運算類似，即，加法、數(shù)量乘法和分塊矩陣乘法。但還是有不同，矩陣中的元素是數(shù)量，而分塊矩陣的元素可以是矩陣，也可以是數(shù)量。所以我們在分塊時應該注意，恰當分塊后應使得該矩陣可以進行相關運算。如下即為分塊矩陣的運算規(guī)則[2]。

(1)分塊矩陣的加法

設A，B都是m×n矩陣，且對A，B用同樣的方式進行分塊：

(2)

其中Aij，Bij都是mi×nj矩陣，即Aij，Bij是同種類型的矩陣，那么：

(3)

應注意，在利用分塊法對兩個同型矩陣進行加法運算時，兩個矩陣必須要采用相同的分塊法。

(2)分塊矩陣的乘法

設A是m×n矩陣，對A進行分塊：

(4)

對矩陣進行數(shù)乘運算，乘以k，其中k是任意實數(shù)，則有：

(5)

(3)分塊矩陣的轉置

(6)

在此應注意，轉置時，每一個小塊也要轉置，并且它的位置也要行列對調。

1.3分塊矩陣的性質及其推論

在我們對行列式進行計算中，經常用到下面三條性質[3]。

1)如果行列式中某行有公因子，則可提到行列式號外面，或者說以一數(shù)乘行列式的一行就相當于用這個數(shù)乘此行列式；

2)把行列式中一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變；

3)對換行列式中兩行的位置，行列式反號。

利用矩陣的分塊性質，把行列式的這三條性質進行推廣在分塊矩陣中。

性質1 ：設方陣A是由如下分塊矩陣構成

(7)

其中A1，A2，A3，B1，B2，B3，C1，C2，C3都是s×t矩陣，又M是任一s級方陣 。對于矩陣：

(8)

則|B|=|M||A|。

性質2：設方陣A是由如下分塊矩陣構成：

(9)

其中A1，A2，A3，B1，B2，B3，C1，C2，C3都是s×t矩陣，又M是任一s階方陣于矩陣D中，其中D為：

(10)

則|A|=|D|。

性質3： 設方陣A和B寫成如下形式

(11)

其中A1，A2，A3，B1，B2，B3，C1，C2，C3都是s×t矩陣，則

(12)

2　應用分塊矩陣證明Sylvester等式

定理1(Sylvester等式)設A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，證明：AB的特征多項式fAB(λ)與BA的特征多項式fBA(λ)有如下關系式：

λnfAB(λ)=λmfBA(λ)

(13)

我們在學特征值、特征向量時經常會討論到矩陣AB與BA之間的關系，通過上面這個等式我們知道AB與BA的特征多項式存在著一定的關系。為了證明這個關系式，下面我們利用構造分塊矩陣的方法來證明，從而體會分塊矩陣所起的巧妙作用。

證明：要證明(13)式即證：

λn|λEm-AB|=λm|λEn-BA|

(14)

一方面，

(15)

另一方面，

(16)

將(15)，(16)兩式兩邊同時取行列式可得：

(17)

證畢。

例設A為m×n矩陣，B為n×m矩陣。證明：AB與BA有相同的非零特征值。

證明： 由Sylvester等式知

λn|λEm-AB|=λm|λEn-BA|

(18)

設|λEm-AB|的標準分解式為：

|λEm-AB|=λm-s(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λs)

(19)

其中λ1λ2…λs≠0，即AB有s人特征λ1，λ2，…λs。

由上述兩式知：

|λEn-AB|=λm+(n-s)(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λs)

(20)

由此說明，BA也只有這s個特征值λ1，λ2，…，λs。

3　應用分塊矩陣證明Sylvester不等式

定理2(Sylvester不等式)設A、B分別是s×n，n×m矩陣，則r(AB)≥r(A)+r(B)-n，其中n為A的列數(shù)。

特別地，若A為n級可逆矩陣，則r(B)=r(AB)；

若AB=0，則r(A)+r(B)≤n.

Sylvester不等式是關于矩陣秩的一個重要不等式，在高等代數(shù)求秩的問題中很多都需要應用到它。其證明方法也不唯一，而利用構造分塊矩陣的方法來證明該不等式是最簡單的方法之一，且思路會變得清晰明了，下面利用兩種方法證明，同時說明構造分塊矩陣的方法是計算量最少的一種方法。

證明方法一：設Em，En分別為m，n階單位矩陣。由于

=r(AB)+r(En)=r(AB)+n

(21)

(22)

于是r(AB)=r(A1QB)，而

(23)

故：

r(A1QB)≥r(B)+r-n，即r(AB)≥r(B)+r(A)-n。

證畢。

4　總結

分塊矩陣在矩陣的求解、應用等方面，有其自身的優(yōu)越性，在很多問題中都能由繁雜的矩陣經過適當?shù)姆謮K之后變成階數(shù)更少的分塊矩陣。這樣有利于我們進行實際操作，也能節(jié)省空間，便于證明，減少計算復雜性。

【REFERENCES】

[1]喬占科.矩陣分塊方法的應用[J].科技信息，2008，13(2)：190-191.

[2]張敏.分塊矩陣的應用[J].吉林師范大學學報(自然科學版)，2003，1(1)：118-120.

ZHANG M.Application of block matrix[J].Journal of Jilin Normal University(Natural Science Edition)，2003， 1(1)：118-120.

[3]北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組編.高等代數(shù)(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2007：181-186.

[4]岳育英，劉興祥，白春紅.Sylvester不等式猜想研究[J].延安大學學報(自然科學版)，2011(2)：15-17.

The application of block matrix in the proof of Sylvester equation and Sylvester inequation

CHEN Xiaotao

(DepartmentofScience，GuizhouUniversity，Guiyang550025，China)

Block matrix is an important tool in advanced algebra，and it is applied to the study of many problems.Based on the block matrix，the related properties of the block matrix were used to prove the Sylvester equation and the Sylvester inequation.Meanwhile，the advantages of the block matrix in the proof of the Sylvester formula were illustrated by examples and different proving methods.

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O151.21

A

1003-6563(2016)04-0043-04

2016-05-16；

2016-05-18

陳小陶(1991-)，女，碩士在讀，研究方向：密碼學理論與工程。