文/鄧革周

中考課題學(xué)習(xí)型試題

文/鄧革周

課題學(xué)習(xí)型試題，通常以探索、研究、實(shí)驗(yàn)操作等形式呈現(xiàn)在中考數(shù)學(xué)試題中.它以幾何圖形為題材，或以數(shù)學(xué)問(wèn)題為背景，通過(guò)對(duì)有關(guān)問(wèn)題的描述或逐步觀察、操作、歸納、探究，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題.試題結(jié)構(gòu)通常分三部分，即閱讀與理解、歸納與發(fā)現(xiàn)、運(yùn)用與推廣.解這類問(wèn)題要理解范例所介紹的方法，并能夠靈活進(jìn)行遷移.

一、類比探究型

例1（2015年隨州卷）問(wèn)題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.

【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD，請(qǐng)你利用圖1證明上述結(jié)論.

【類比引申】如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足_____關(guān)系時(shí)，仍有EF=BE+FD.

【探究應(yīng)用】如圖3，在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD，已知AB=AD= 80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分別有景點(diǎn)E、F，且AE⊥AD，DF= 40（-1）米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直的道路，求這條道路EF的長(zhǎng)（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：=1.41，=1.73）.

解析：【發(fā)現(xiàn)證明】如圖1，∵△ADG?△ABE，

∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，

又∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=∠EAF=45°，

圖1　

圖2

圖3

圖4

圖5

∴∠GAF=∠FAE，

在△GAF和△FAE中，

∴△AFG≌△AFE，

∴GF=EF，

又∵DG=BE，∴GF=BE+DF，

∴BE+DF=EF.

【類比引申】∠BAD=2∠EAF.理由如下：

如圖4，延長(zhǎng)CB至M，使BM=DF，連接AM，

∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，

∴∠D=∠ABM，

在△ABM和△ADF中，

∴△ABM?△ADF，

∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，

∵∠BAD=2∠EAF，

∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，

∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，

在△FAE和△MAE中，

∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，即EF=BE+DF.

故答案是：∠BAD=2∠EAF.

【探究應(yīng)用】如圖5，連接AF，延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)G.

由四邊形的內(nèi)角和為360°，可得∠C=30°，從而∠G=90°.

在Rt△AGD中，∠GDA=60°，∠GAD=30°，AD=80，

在Rt△GAF中，∵GA=GF，

∴∠GAF=45°，∴∠DAF=45°-30°=15°，

∴∠EAF=90°-15°=75°，∴∠BAD=2∠EAF，

在△BAE中，∠BAE=∠BAD-∠EAD=150°-90°=60°=∠B，

∴BE=AB=80，

由［類比引申］的結(jié)論可得

即這條道路EF的長(zhǎng)約為109米.

溫馨小提示：對(duì)于這類問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)證明、類比引申所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，往往是為拓展應(yīng)用中的問(wèn)題解決做鋪墊的，我們要靈活運(yùn)用.另外，對(duì)于圖形的旋轉(zhuǎn)或平移、折疊類問(wèn)題，要充分利用變換后圖形的形狀、大小、對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)解題.

二、拓展應(yīng)用型

我們知道，圓可以看成到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)的集合，如圖7所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A（x，y）為圓上任意一點(diǎn)，則A到原點(diǎn)的距離的平方為OA2=|x-0|2+|y-0|2，當(dāng)⊙O的半徑為r時(shí)，⊙O的方程可寫(xiě)為：x2+y2=r2.

問(wèn)題拓展：如果圓心坐標(biāo)為P（a，b），半徑為r，那么⊙P的方程可以寫(xiě)為_(kāi)_____.

（1）證明AB是⊙P的切線；

（2）是否存在到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等的點(diǎn)Q？若存在，求Q點(diǎn)坐標(biāo)，并寫(xiě)出以Q為圓心，以O(shè)Q為半徑的⊙Q的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

圖6

圖7

圖8

解析：?jiǎn)栴}拓展：設(shè)A（x，y）為⊙P上任意一點(diǎn)，

∵P（a，b），半徑為r，

故答案為（x-a）2+（y-b）2=r2.

綜合應(yīng)用：

（1）如圖8，∵PO=PA，PD⊥OA，

∴∠OPD=∠APD，

在△POB和△PAB中，

∴△POB?△PAB，∴∠POB=∠PAB，

∵⊙P與x軸相切于原點(diǎn)O，∴∠POB=90°，

∴∠PAB=90°，

∴AB是⊙P的切線.

（2）存在到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等的點(diǎn)Q.如圖9，當(dāng)點(diǎn)Q是線段BP的中點(diǎn)時(shí)，

∵∠POB=∠PAB=90°，

∴QO=QP=BQ=AQ.

此時(shí)點(diǎn)Q到四點(diǎn)O，P，A，B的距離都相等.

∵∠POB=90°，OA⊥PB，

∴∠OBP=90°-∠DOB=∠POA，

圖9

∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），

過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥OB于H，

則有QH∥PO，∴△BHQ～△BOP，

∴OH=8-4=4，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，3）.

∴以Q為圓心，以O(shè)Q為半徑的⊙Q的方程為（x-4）2+（y-3）2=25.

溫馨小提示：對(duì)于這類問(wèn)題，不要被材料中的“陌生面孔”所嚇倒，要將新知識(shí)、新方法進(jìn)行遷移，解決題目中提出的問(wèn)題.