文/房延華

量體裁衣求概率

文/房延華

求概率需要分析不確定事件可能出現(xiàn)或發(fā)生的結(jié)果.若能根據(jù)題目的特點(diǎn)合理選擇計(jì)算概率的方法，可使解題過(guò)程簡(jiǎn)捷明快，還能提高準(zhǔn)確率.

1.一次操作問(wèn)題，直接用公式P（A）=求概率

圖1

例1（2015年煙臺(tái)卷）如圖1，有四張不透明卡片，除正面的函數(shù)關(guān)系式不同外，其余相同，將它們背面朝上洗勻后，從中抽取一張卡片，則抽到函數(shù)圖像不經(jīng)過(guò)第四象限的卡片的概率為_____.

∵4張卡片中只有y=x-1的圖像經(jīng)過(guò)第四象限，

∴滿足條件a的值為6，7，8，9，

溫馨小提示：為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的相互聯(lián)系，中考試題往往將多個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行疊加，從而使問(wèn)題具有較強(qiáng)的綜合性.

2.事件涉及兩個(gè)因素，并且抽取后不放回或一次抽取兩個(gè)，用樹狀圖法求概率

圖2

例3（2015年徐州卷）小明參加某網(wǎng)店的“翻牌抽獎(jiǎng)”活動(dòng)，如圖2，4張牌分別對(duì)應(yīng)價(jià)值5，10，15，20（單位：元）的4件獎(jiǎng)品.

（1）如果隨機(jī)翻1張牌，那么抽中20元獎(jiǎng)品的概率為_____；

（2）如果隨機(jī)翻2張牌，且第一次翻過(guò)的牌不再參加下次翻牌，則所獲獎(jiǎng)品總值不低于30元的概率為多少？

（2）樹狀圖如圖3所示，

圖3

∵所獲獎(jiǎng)品總值不低于30元有4種情況：30元、35元、30元、35元，

溫馨小提示：對(duì)于一個(gè)事件，采用畫樹狀圖把所有可能的結(jié)果一一列出，既直觀又條理分明，還可以避免重復(fù)和遺漏.

3.當(dāng)事件涉及兩個(gè)因素，并且出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，用列表法求概率

例4（2015年陜西卷）某中學(xué)要在全校學(xué)生中舉辦“中國(guó)夢(mèng)·我的夢(mèng)”主題演講比賽，要求每班選一名代表參賽.九年級(jí)（1）班經(jīng)過(guò)投票初選，小亮和小麗票數(shù)并列班級(jí)第一，現(xiàn)在他們都想代表本班參賽.經(jīng)班長(zhǎng)與他們協(xié)商決定，用他們學(xué)過(guò)的擲骰子游戲來(lái)確定誰(shuí)去參賽（勝者參賽）.

規(guī)則如下：兩人同時(shí)隨機(jī)各擲一枚完全相同且質(zhì)地均勻的骰子一次，向上一面的點(diǎn)數(shù)都是奇數(shù)，則小亮勝；向上一面的點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)，則小麗勝；否則，視為平局，若為平局，繼續(xù)上述游戲，直至分出勝負(fù)為止.

如果小亮和小麗按上述規(guī)則各擲一次骰子，那么請(qǐng)你解答下列問(wèn)題：

（1）小亮擲得向上一面的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的概率是多少？

（2）該游戲是否公平？請(qǐng)用列表或樹狀圖等方法說(shuō)明理由.（骰子：六個(gè)面上分別刻有1，2，3，4，5，6個(gè)小圓點(diǎn)的小正方體）

解：（1）∵向上一面的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)有3種情況，

（2）利用列表法得出所有可能的結(jié)果如下：

1 2 3 4 5 6 ___1 ___2 3 4 5 6 （1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，5）__ __ （2，5）__ __ （3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）

由表可知，所有可能的結(jié)果共36種，其中小亮、小麗獲勝各有9種結(jié)果，

∴游戲是公平的.

溫馨小提示：判斷游戲的公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平.

4.當(dāng)事件涉及3個(gè)或更多的因素時(shí)，用樹狀圖法求概率

例5（2015年聊城卷）在陽(yáng)光體育活動(dòng)時(shí)間，小亮、小瑩、小芳和大剛到學(xué)校乒乓球室打乒乓球，當(dāng)時(shí)只有一副空球桌，他們只能選兩人打第一場(chǎng).

（1）如果確定小亮打第一場(chǎng)，再?gòu)钠溆嗳酥须S機(jī)選取一人打第一場(chǎng)，求恰好選中大剛的概率；

（2）如果確定小亮做裁判，用“手心、手背”的方法決定其余三人哪兩人打第一場(chǎng).游戲規(guī)則是：三人同時(shí)伸“手心、手背”中的一種手勢(shì)，如果恰好有兩人伸出的手勢(shì)相同，那么這兩人上場(chǎng)，否則重新開始，這三人伸出“手心”或“手背”都是隨機(jī)的，請(qǐng)用畫樹狀圖的方法求小瑩和小芳打第一場(chǎng)的概率.

解：（1）∵小亮打第一場(chǎng)，再?gòu)男‖?、小芳和大剛中隨機(jī)選取一人打第一場(chǎng)有三種情況，

（2）畫樹狀圖，如圖4所示.

圖4

溫馨小提示：本題有三次操作，對(duì)于兩步以上隨機(jī)事件問(wèn)題，應(yīng)選用樹狀圖法求概率.

5.枚舉法——求二次事件概率問(wèn)題的利器

例6（2015年德州卷）經(jīng)過(guò)某十字路口的汽車，可能直行，也可能左轉(zhuǎn)或者右轉(zhuǎn).如果這三種可能性大小相同，則經(jīng)過(guò)這個(gè)十字路口的兩輛汽車一輛左轉(zhuǎn)，一輛右轉(zhuǎn)的概率是（）.

解：兩輛汽車走的方向共有9種可能性：（直，直），（直，左），（直，右），（左，直），（左，左），（左，右），（右，直），（右，左），（右，右），其中一左一右的可能性有兩種，

溫馨小提示：枚舉法是確定概率的常用方法，是解決二次事件概率的利器.

6.利用面積比求幾何型概率

圖5

例7（2015年呼和浩特卷）如圖5，四邊形ABCD是菱形，E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，隨機(jī)地向菱形ABCD內(nèi)擲一粒米，則米粒落到陰影區(qū)域內(nèi)的概率是______.

解：∵四邊形ABCD是菱形，E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，

溫馨小提示：解題的關(guān)鍵是確定有效面積與整體面積，并求出它們的比值.這是求幾何型概率的常用方法.