浙江省象山中學(xué)　(315700)

張宗余

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問(wèn)道例題變式探究教學(xué)的“貴、實(shí)、重”
——使高三例題教學(xué)成為好數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與思考

浙江省象山中學(xué)(315700)

張宗余

章建躍教授提出“使高考復(fù)習(xí)成為好數(shù)學(xué)教學(xué)”，好數(shù)學(xué)教學(xué)的根本標(biāo)準(zhǔn)是“數(shù)學(xué)育人”，即在學(xué)生的終身發(fā)展上產(chǎn)生最大的長(zhǎng)期利益，具體體現(xiàn)在使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，進(jìn)而學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).而在高三復(fù)習(xí)教學(xué)過(guò)程中，例題教學(xué)一直占據(jù)重要的地位，其中例題變式探究教學(xué)是我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中常使用的教學(xué)形式.它是在教師的指導(dǎo)下，以例題為載體，以學(xué)生自主學(xué)習(xí)和合作討論為前提，以變式為主要學(xué)習(xí)手段，為學(xué)生提供自由表述、質(zhì)疑、探討問(wèn)題的機(jī)會(huì)，強(qiáng)調(diào)多向互動(dòng)，教學(xué)相長(zhǎng)的一種教與學(xué)的操作體系，教學(xué)中教師有意識(shí)地對(duì)數(shù)學(xué)例題作多層面、多角度的變式與探究,引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”中探求規(guī)律，將教學(xué)活動(dòng)營(yíng)造為開(kāi)放、寬松、愉悅、和諧的師生探究與合作交流的過(guò)程，逐步培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的創(chuàng)新思維品質(zhì)，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題和探索創(chuàng)新的能力.本文圍繞著成為“使高三例題教學(xué)成為好數(shù)學(xué)教學(xué)”的主題，以一節(jié)離心率取值范圍問(wèn)題專題復(fù)習(xí)為例，談?wù)劚救说膶?shí)踐和思考.

1、“一題多解”，“貴”在知識(shí)的梳理和方法的滲透

圖1

設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題是課堂活動(dòng)的載體，是教學(xué)成功的開(kāi)始，例題教學(xué)主要是圍繞某數(shù)學(xué)問(wèn)題(例題)而展開(kāi)的，波利亞說(shuō)：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題，就好像通過(guò)一道門(mén)戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域”，因此選好例題對(duì)復(fù)習(xí)課教學(xué)尤為重要.選用的例題應(yīng)取材于最普通、最常見(jiàn)的習(xí)題,學(xué)生都能接受,不宜過(guò)難.本節(jié)課堂的引例，即是教材例題的改編,也是高考原題，內(nèi)涵豐富,可將橢圓的定義和性質(zhì)聯(lián)系在一起，很具有代表性和典型性.

教學(xué)環(huán)節(jié)1.1T：本題涉及哪些基本概念?

S：定義、幾何特征量、焦半徑、焦點(diǎn)三角形等；

T：得出結(jié)論需要哪些條件?

S：需要找到a、b、c的不等關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖這是例題教學(xué)過(guò)程中起始的一步，解題教學(xué)的首要目的就是鞏固概念，教師通過(guò)2個(gè)提問(wèn)，對(duì)基本概念和基本知識(shí)進(jìn)行一次有效的梳理，凸顯以例題練習(xí)為主線，內(nèi)容復(fù)習(xí)為輔的教學(xué)形式.而當(dāng)前普遍的做法是，老師替學(xué)生讀題，讀完就問(wèn)：“本題屬于什么題型?”接著就問(wèn)：“某某同學(xué),你說(shuō)該怎么解?”這樣的處理缺乏對(duì)邏輯推理的重視，沒(méi)有從概念和定理出發(fā)思考和解決問(wèn)題.教師所要做的與學(xué)生一起分析題意，交流解題思路，教師在適當(dāng)時(shí)機(jī)給點(diǎn)睛之筆.

教學(xué)環(huán)節(jié)1.2T：我們請(qǐng)幾位學(xué)生板演，其他學(xué)生動(dòng)手解答?

T：還有不同的方法嗎？你是怎么想到的？你認(rèn)為解這類題目的一般步驟是什么?

S：幾何方法、代數(shù)方法，變量分離法等(略).

設(shè)計(jì)意圖我們深知數(shù)學(xué)教學(xué)既要 “結(jié)果”更要 “過(guò)程”，“講解題，不講怎樣解題”、”講解法，不講如何想到解法”，最后總結(jié)為“解法n+技巧n ”的技巧灌輸式教學(xué)，只會(huì)給學(xué)生加重學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，禁錮學(xué)生的思維.讓學(xué)生自己動(dòng)手操作、自主實(shí)踐、獨(dú)立思考，而不是教師包辦板演、學(xué)生模仿，學(xué)生參與課堂教學(xué)心理體驗(yàn)，與知識(shí)形成過(guò)程的再現(xiàn)，數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探究能力是極其有利的，這是成為好的數(shù)學(xué)教學(xué)核心.同時(shí)，解題教學(xué)的最終目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考，通過(guò)解法的展示與評(píng)價(jià)，讓學(xué)生總結(jié)各種方法的優(yōu)劣，并對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的運(yùn)用既“知其然”又“知其所以然”，以學(xué)會(huì)合理地選擇，快速地、有效地解題，也是我們?cè)诶}教學(xué)中需要認(rèn)真研究的問(wèn)題.

對(duì)“一題多解”的再認(rèn)識(shí)：波利亞指出：“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思.”在尋找問(wèn)題的求解過(guò)程中，一般包括對(duì)問(wèn)題情境的認(rèn)識(shí)，思想方法的探求，解題行動(dòng)的實(shí)施和解題后的反思等環(huán)節(jié).解決了一個(gè)問(wèn)題后，不要急于進(jìn)入下一題，要引導(dǎo)學(xué)生反思所運(yùn)用的解題策略，探索新的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、深刻性和創(chuàng)造性.

數(shù)學(xué)習(xí)題浩如煙海，要提高高三復(fù)習(xí)中例題教學(xué)的有效性，教師決不能就題論題，要用“活”例習(xí)題資源，注重知識(shí)的橫向聯(lián)系，及例題具有的延伸性，進(jìn)一步一題多變，挖掘其潛在的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生向更廣的范圍、更深層次去聯(lián)想、縱橫引申，促進(jìn)知識(shí)融會(huì)貫通，促進(jìn)解題能力和思維能力不斷提高，形成解題方法和策略. 對(duì)于典型問(wèn)題，教師既要講究通性通法，又要引導(dǎo)學(xué)生從不同角度觀察、思考、聯(lián)想，從多角度尋求解決問(wèn)題的途徑，即一題多解，這樣有利于學(xué)生掌握知識(shí)方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的實(shí)質(zhì)，培養(yǎng)思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性，從而最大限度地發(fā)揮例題教學(xué)的有效性.同時(shí)在教學(xué)行為上，教師通過(guò)適時(shí)追問(wèn)，為學(xué)生搭設(shè)思維跳板，幫助其開(kāi)拓思路，活躍思維，使一題多解的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程不僅洋溢著火熱的數(shù)學(xué)思考，更散發(fā)著厚重的數(shù)學(xué)規(guī)律，展現(xiàn)著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力在探索中形成與提高，數(shù)學(xué)思維向縱深發(fā)展.

2、“一題多變”，“實(shí)”在方法的比較與思想的提煉

T：我們將角從90°變成60°，上述方法還可行么？

S1：幾何法和變量分離還是可行的.

設(shè)計(jì)意圖一個(gè)符合學(xué)生思維發(fā)展的“過(guò)程”是學(xué)生積極思維的助推器.學(xué)習(xí)興趣的誘發(fā)器.如果教師一味讓學(xué)生做題而不重視知識(shí)發(fā)生、形成、運(yùn)用的過(guò)程，學(xué)生就會(huì)陷入題海，疲于應(yīng)付，復(fù)習(xí)效率低而事倍功半.反之，教師若能重視在課堂上設(shè)計(jì)一個(gè)又一個(gè)形式各異的問(wèn)題，再現(xiàn)知識(shí)發(fā)生、形成與運(yùn)用的過(guò)程，復(fù)習(xí)的效率自然會(huì)有事半功倍之效.因此，通過(guò)對(duì)題目中條件的改變，使問(wèn)題更一般化，讓學(xué)生對(duì)引例中的多種解法重新審視，找出其中本質(zhì)的、核心的方法.我們不難發(fā)現(xiàn)變量分離思想是其中比較有效的方法，風(fēng)采依舊、魅力不減.

教學(xué)環(huán)節(jié)T：變式1將90°角變成60°角，這是我們改編題目的一種方法，我們還可以從哪些角度去變式？

S1：F1,F2太特殊了，可以改變點(diǎn)的位置，來(lái)改編題目.(下面是學(xué)生的編題，由學(xué)生自己解決)

解：設(shè)P(acosθ，bsinθ)，由OP⊥PA得

變式3橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ,求橢圓離心率的范圍.

設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)要為學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)與體驗(yàn)過(guò)程創(chuàng)造更多的機(jī)會(huì)和條件，教師告訴學(xué)生變式的方法和技巧，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行編題，既充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，又讓學(xué)生在自編自導(dǎo)中，互相提供豐富的學(xué)習(xí)資源，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，尤其是提出問(wèn)題的能力.只有讓學(xué)生時(shí)刻把“舉一反三”、“觸類旁通”放在心上，反復(fù)實(shí)踐，在學(xué)會(huì)獨(dú)立思考和獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解中，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)和思考，增長(zhǎng)經(jīng)驗(yàn)和智慧，并形成正確的價(jià)值觀.使他們獲得終身發(fā)展的能力，也掌握考場(chǎng)制勝的法寶.

對(duì)“一題多變”的再思考：變式教學(xué)就是一種行之有效的方式. 在復(fù)習(xí)過(guò)程中，教師要充分發(fā)揮題目的“遷移”作用，引導(dǎo)學(xué)生從“最近發(fā)展區(qū)”對(duì)例題進(jìn)行深入挖掘，加工改造，探索知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生理解和掌握例題闡述的概念、原理、規(guī)律和解題方法，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析和解決問(wèn)題的智慧，真正掌握解題的“金鑰匙”.

數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授離不開(kāi)解題，但題不在多，而在于如何將題目的作用發(fā)揮到極致.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若能根據(jù)知識(shí)的特點(diǎn)，結(jié)合學(xué)生的具體實(shí)際進(jìn)行變式教學(xué)，能有效地培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力，使學(xué)生從整體上把握知識(shí)的內(nèi)在規(guī)律；能夠培養(yǎng)學(xué)生由此及彼的遷移能力，收到“解一題，帶一片”的效果，幫助學(xué)生擺脫“題海”之苦，又促進(jìn)了學(xué)生知識(shí)能力的高效正遷移，大大提高復(fù)習(xí)的有效性.

3、“一法多探”，“重”在方法的提升與靈活運(yùn)用

設(shè)計(jì)意圖讓問(wèn)題貫穿在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，帶著問(wèn)題學(xué)習(xí)，帶著問(wèn)題思考.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)，教師既要重視分析思維的過(guò)程，而解題讓學(xué)生自己完成，又要通過(guò)一些推廣性的問(wèn)題進(jìn)行變式思維訓(xùn)練，讓學(xué)生在課堂上研究，延長(zhǎng)學(xué)生自覺(jué)參與課堂教學(xué)的心理活動(dòng)過(guò)程.通過(guò)變式訓(xùn)練，不斷提高變量分離法的運(yùn)用能力.讓學(xué)生形成解題的思路，就是不顧一切的尋找條件等式，變量分離變化為有關(guān)不等式，從而解得e的取值范圍.這里設(shè)計(jì)了兩個(gè)例題，是對(duì)變量分離思想方法的靈活運(yùn)用.例1變量不等式明顯，易于操作；例2變量不等式不明朗，則需要我們挖掘條件的隱含，正確分析和恰當(dāng)處理.

對(duì)“一法多探”的再回顧：多年前，孫維剛老師提出“一題多解、多解歸一、多題歸一”，在訓(xùn)練學(xué)生思維能力的同時(shí)，讓學(xué)生能夠站在系統(tǒng)的高度看問(wèn)題，進(jìn)而升華到從哲學(xué)的角度認(rèn)知世界，從而形成強(qiáng)大的學(xué)習(xí)能力.在例題變式探究教學(xué)過(guò)程中，“一法多探”是在“一題多解”、“一題多變”基礎(chǔ)上的一次提升，更是對(duì)核心問(wèn)題和核心方法的一次提煉.從教育功能上說(shuō)，是學(xué)生自我探究、合作交流成果的體現(xiàn)，能極大的滿足學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生充分感受到探索的樂(lè)趣和成功的喜悅，實(shí)現(xiàn)對(duì)情感、態(tài)度與價(jià)值觀的體驗(yàn).這樣通過(guò)變式探究教學(xué)不但要培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí),發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維能力,更是通過(guò)變式和自我探究引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)和掌握科學(xué)方法,為終身學(xué)習(xí)和工作奠定基礎(chǔ).

“讓學(xué)生帶著問(wèn)題輕松步入課堂,在愉快且又適度緊張中學(xué)習(xí)(探究);又要讓學(xué)生帶著新的、更高層次的問(wèn)題走出課堂,在自由自在中研究(學(xué)習(xí))、發(fā)展.”這是例題變式探究教學(xué)理想化追求，也是實(shí)現(xiàn)使高三例題教學(xué)成為好數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵所在.我們的教師則是教學(xué)內(nèi)容、過(guò)程、活動(dòng)的組織者、參與者和積極的評(píng)價(jià)者;是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、幫助者.其任務(wù)是調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,促使他們自己去獲取知識(shí)、發(fā)展能力,做到自己能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題；教師要為學(xué)生的學(xué)習(xí)設(shè)置探究的情境，建立探究的氛圍,促進(jìn)探究的開(kāi)展,把握探究的深度,評(píng)價(jià)探究的成敗.

[1]章建躍.怎樣使高考復(fù)習(xí)成為好數(shù)學(xué)教學(xué)[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2011,9.

[2]鄒大鳴.離心率范圍的求解途徑[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2003,5.