李瑞鑫，郭　言，薛　郁，施　映

(廣西大學(xué)物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院，廣西南寧　530004)

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基于格子流體力學(xué)模型的交通擁堵反饋控制方法比較*

李瑞鑫，郭言，薛郁**，施映

(廣西大學(xué)物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院，廣西南寧530004)

【目的】尋找抑制擁堵、控制交通排放的可行方案?！痉椒ā吭诮煌鞲褡恿黧w力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，考慮道路上所有車流對當(dāng)前車流的作用，構(gòu)造平均場反饋控制方法；考慮最近鄰單元車流量差的正弦變化，提出非線性正弦反饋控制方法，并通過線性分析得出其穩(wěn)定性條件。最后通過數(shù)值模擬驗(yàn)證，對比這兩種反饋控制方法，以及考慮最近鄰單元流量差的Ge反饋控制方法和考慮下游車流流量差的Redhu和Gupta延時(shí)反饋控制方法對抑制交通擁堵的作用?！窘Y(jié)果】4種控制方法都能抑制交通擁堵。從數(shù)值模擬結(jié)果看，控制效果較好為平均場反饋控制方法、非線性正弦反饋控制方法和Ge反饋控制方法；從實(shí)際應(yīng)用的角度來看，非線性正弦反饋控制方法、Ge反饋控制方法及Redhu和Gupta延時(shí)反饋控制方法比較容易實(shí)現(xiàn)?！窘Y(jié)論】控制效果較好且較容易實(shí)現(xiàn)的方法為非線性正弦反饋控制方法和Ge反饋控制方法。

格子流體力學(xué)交通模型平均場理論反饋控制方法穩(wěn)定性條件數(shù)值模擬

0　引言

【研究意義】隨著社會的發(fā)展，城市化進(jìn)程的加快，汽車數(shù)量日益增多，交通擁堵日趨嚴(yán)重，給人們工作、生活以及出行帶來很大影響，車輛排放的PM2.5造成環(huán)境極大污染[1]。在城市問題愈演愈烈的形勢下，科學(xué)家們一直在尋找抑制擁堵、控制交通排放的可行方案[2]?！厩叭搜芯窟M(jìn)展】在研究問題時(shí)，為了能描述交通狀況和擁堵的形成轉(zhuǎn)化過程，研究人員們提出了多種交通流模型，從微觀的跟馳模型，元胞自動機(jī)模型[3-4]等，到宏觀的流體力學(xué)模型。Nagatani[5-6]借鑒交通流流體動力學(xué)模型和優(yōu)化速度模型的特點(diǎn)提出來的格子流體力學(xué)模型屬于宏觀流體力學(xué)模型的一種，該模型通過非線性分析導(dǎo)出modified Korteweg-deVries(mKdV)方程描述的阻塞密度波和非平衡相變的Ginzburg-Landau方程(TDGL方程)。在Nagatani的格子流體力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，人們做了大量的改進(jìn)，得到了許多新的格子流體力學(xué)模型，并通過加入控制項(xiàng)，得出不同的控制方法。其中Kang和 Sun[7]研究了駕駛員的延遲作用，發(fā)現(xiàn)其有明顯的疏導(dǎo)交通作用；Peng等[8-10]考慮駕駛員的預(yù)測能力、記憶力等影響因素，提出新的格子流體力學(xué)模型；通過考慮車道寬度的邊緣效應(yīng)因素，提出了車道寬度的交通格子流體力學(xué)模型。Tang等[11-12]考慮個(gè)體感知能力的差異對交通擁堵的影響，并且研究汽車鳴笛聲對車流穩(wěn)定性的作用。Ge等[13-15]研究證明駕駛員的“后視”行為對穩(wěn)定交通具有顯著的作用，并通過在格子流體力學(xué)方程中加入最近鄰車流變化的反饋控制項(xiàng)，提出了可以緩解交通擁堵的反饋控制方法。Gupta和Redhu[16-17]分析了駕駛者的前瞻行為，發(fā)現(xiàn)其可以在一定程度上緩解交通擁堵，并在格子流體力學(xué)方程中加入下游前后時(shí)間的流量差作為反饋控制信號，提出延時(shí)反饋控制方法?！颈狙芯壳腥朦c(diǎn)】為了得到更為接近實(shí)際交通狀況的控制方法，考慮所有車輛對當(dāng)前車影響的平均效果，我們引入車流的平均場，將其作為格子流體力學(xué)方程中的反饋控制項(xiàng)，通過數(shù)值模擬驗(yàn)證其抑制交通擁堵的效果。【擬解決的關(guān)鍵問題】通過比較4種反饋控制方法對抑制交通擁堵的控制效果，獲得控制效果較好的反饋控制方法。

1平均場反饋控制方法

Nagatani[5]在1998年提出的格子流體力學(xué)模型的控制方程為

?tρj+ρ0(ρjvj-ρj-1vj-1)=0，

(1)

?tρjvj=aρ0V(ρj+1)-aρjvj，

(2)

式中V(ρ)為優(yōu)化速度函數(shù):

(3)

考慮第j單元的流量：qj=ρjvj,在Nagatani的模型中忽略了除最近鄰車流以外其他車流的作用[5]，但其他近鄰的車流也存在影響。文獻(xiàn)[18]除考慮最近鄰車輛作用外，還增加了次近鄰車流的影響，而文獻(xiàn)[19] 除考慮最近鄰車輛作用外，還考慮前方n輛車的影響。平均場反饋控制法考慮所有車輛對當(dāng)前車影響的平均效果，于是得到如下方程：

?tρj+1+ρ0(qj+1-qj)=0，

(4)

(5)

對平均場模型進(jìn)行數(shù)值模擬，在周期性邊界條件下，其對應(yīng)于一條由140個(gè)離散的格子單元組成的環(huán)形路，跟蹤第2，25，50，80格子單元中車流密度隨時(shí)間的變化。相關(guān)參數(shù)為車輛最大行駛速度vmax=2，敏感度a=2.1，初始密度ρ0=0.25。并且假設(shè)從第50到第55格子單元的密度為0.5，在第56到第60格子單元的密度為0.2，分別取反饋控制增益k=0.0，0.3，0.5，0.7。數(shù)值模擬得出如圖1的密度-時(shí)間關(guān)系圖。

從圖1a可以明顯發(fā)現(xiàn)，在0～350 s時(shí)間段內(nèi)，車輛密度隨時(shí)間的變化較大，而由圖1b～d可知，反饋控制增益k從0.3到0.7時(shí)，曲線波動變化很小。當(dāng)反饋控制增益k=0.5時(shí)，在長時(shí)間內(nèi)(20 100～20 300 s)，車輛密度沒有變化，車流的控制穩(wěn)定效果很好(圖1e)。為了深入了解控制效果，在時(shí)間0～1 000 s時(shí)，繪制第55格子單元1 s時(shí)間間隔前后的車流密度差ρ55(τ)-ρ55(τ-1)和車流密度ρ55(τ)的相空間點(diǎn)的分布圖(圖2)。

從圖2a可以看出，離散的對應(yīng)點(diǎn)的分布狀態(tài)呈現(xiàn)出交通滯后效應(yīng)，且當(dāng)k=0.0時(shí)第55格子單元處的車流密度波動極大，反映了交通流運(yùn)動狀態(tài)非常不穩(wěn)定，造成交通擁堵，而在圖2b中可以看出，在加上k=0.5的控制后，交通滯后區(qū)域明顯縮小，表明前后時(shí)間車流密度的變化范圍較小，縱向車流密度差值ρ55(τ)-ρ55(τ-1)近似在0的附近變化，交通滯后區(qū)域明顯縮小，呈現(xiàn)出單一的周期態(tài)，交通流趨于穩(wěn)定，抑制交通擁堵。

圖1在平均場反饋控制方法中車輛密度隨時(shí)間的變化

Fig.1Temporal density change with time in mean-field feedback control scheme

圖2平均場反饋控制法分析第55格子單元車流密度差隨其密度變化的結(jié)果

Fig.2Difference of density between τ and τ-1 at 55thgrid point analyzes by mean-field feedback control scheme

2　非線性正弦反饋控制方法

為了研究非線性效應(yīng)，我們考慮最近鄰單元車流量差按照正弦變化，作為非線性控制項(xiàng)，得出如下非線性控制模型：

?tρj+1+ρ0(qj+1-qj)=0，

(6)

?tqj=a[ρ0V(ρj+1(t))-qj]+aksin(qj+1-qj)。

(7)

對模型進(jìn)行穩(wěn)定性分析：

當(dāng)車流處于微擾條件下，非線性項(xiàng)可化為如下形式：

(8)

(9)

(10)

則方程(7)轉(zhuǎn)化為

(11)

由拉普拉斯變換得

(12)

s Qj(s)-qj(0)=a{ρ0Γ(ρ*)Pj+1(s)-Qj(s)}+ak[Qj+1(s)-Qj(s)]，

(13)

(14)

其中：

(15)

(16)

此處d(s)是特征多項(xiàng)式，G(s)為轉(zhuǎn)化函數(shù)。研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)d(s)穩(wěn)定，并且當(dāng)s∝時(shí)，G(s)≤1，即交通流穩(wěn)定，不發(fā)生擁堵，按照Hurwitz的穩(wěn)定性判據(jù)，當(dāng)各項(xiàng)符號相同時(shí)，d(s)穩(wěn)定[20]。而在方程(15)中，敏感度a為正值，Γ(ρ*)<0，各項(xiàng)符號相同則d(s)穩(wěn)定。以jw代s求范數(shù)得

‖G(jw)G(-jw)‖≤1，

(17)

則解得穩(wěn)定性條件為

(18)

類似對控制方程(4)和(5)進(jìn)行數(shù)值模擬的方法，模擬選取的參數(shù)與平均場模型的一致，模擬得出的第2，25，50，80格子單元中車流密度隨時(shí)間的變化如圖3所示。

從圖3a～d可以發(fā)現(xiàn)，以上下游車流流量差作為反饋控制能有效控制交通擁堵，其控制效果與平均場反饋控制的效果一致，第2，25，50，80格子單元中車流密度隨時(shí)間的變化與平均場反饋控制的情形一致。同樣地，在時(shí)間取0～1 000 s時(shí)，以第55格子單元前后時(shí)間間隔1 s的密度差ρ55(τ)-ρ55(τ-1)隨第55格子單元ρ55(τ)的密度的變化，從相空間中來反映控制的作用效果。

從圖4可以看到，非線性正弦反饋控制方法的控制效果出現(xiàn)類似平均場反饋控制方法的交通滯后曲線，在施加反饋控制后，交通滯后區(qū)域明顯縮小，呈現(xiàn)出單一的周期態(tài)，交通流趨于穩(wěn)定，較好地抑制了交通擁堵。

圖3在非線性正弦反饋控制方法中車輛密度隨時(shí)間的變化

Fig.3Temporal density change with time in nonlinear sine feedback control scheme

圖4非線性正弦反饋控制法分析第55格子單元車流密度差隨其密度變化的結(jié)果

Fig.4Difference of density between τ and τ-1 at 55thcell analyzed by nonlinear sine feedback control scheme

3　Ge反饋控制方法

在Nagatani格子流體力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，Ge等[15]考慮最近鄰單元流量差作為反饋控制項(xiàng)，提出Ge反饋控制方法，其控制方程如下：

?tρj+1+ρ0(qj+1-qj)=0，

(19)

?tqj=aρ0V(ρj+1)-aqj+uj，

(20)

其中uj是通過上下游車流的流量差表示的控制項(xiàng)，即uj=k(qj+1-qj)，其中，k為反饋控制增益，經(jīng)過線性穩(wěn)定性分析，Ge等[15]得到穩(wěn)定性條件：

(21)

為了反映控制效果，對控制方程(19)和(20)進(jìn)行數(shù)值模擬，模擬參數(shù)與平均場模型的一致。在相空間中可以反映出控制的作用效果是第55格子單元前后時(shí)間間隔1 s時(shí)的密度差ρ55(τ)-ρ55(τ-1)隨第55格子單元ρ55(τ)的密度的變化結(jié)果。顯然，Ge反饋控制方法的控制效果與平均場反饋控制方法類似，施加反饋控制以后交通滯后區(qū)域明顯縮小，呈現(xiàn)出單一的周期態(tài)，交通流趨于穩(wěn)定，較好地抑制了交通擁堵(圖5)。

圖5Ge反饋控制法分析第55格子單元車流密度差隨其密度變化的結(jié)果

Fig.5Difference of density between τ and τ-1 at 55thcell analyzed by Ge’s feedback control scheme

4　Redhu和Gupta延時(shí)反饋控制方法

Redhu和Gupta[17]在Nagatani格子流體力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，考慮下游最近鄰格子單元在時(shí)間間隔τ前后流量差作為反饋控制項(xiàng)，提出Redhu和Gupta延時(shí)反饋控制方法，其控制方程如下：

?tρj+1+ρ0(qj+1-qj)=0，

(22)

?tqj=a[ρ0V(ρj+1)-qj)]+ak[qj+1(t)-

qj+1(t-τ)]，

(23)

其中k為反饋控制增益，τ為延時(shí)時(shí)間。Redhu和Gupta[17]通過線性穩(wěn)定性分析，得到如下的穩(wěn)定性條件：

(24)

同樣，對控制方程(22)和(23)進(jìn)行數(shù)值模擬，模擬選取的參數(shù)與平均場模型的一致。圖6顯示施加Redhu和Gupta延時(shí)反饋控制的控制效果。顯然，Redhu和Gupta延時(shí)反饋控制方法的控制效果與平均場反饋控制方法類似，施加反饋控制以后交通滯后區(qū)域明顯減小，交通流趨于穩(wěn)定，抑制了交通擁堵。但是，在縮小區(qū)域還明顯存在交通滯后曲線，交通滯后區(qū)域沒有呈現(xiàn)出單一的周期態(tài)，因此，下游車流流量差延遲反饋控制效果不是很好。

圖6Redhu和Gupta延時(shí)反饋控制法分析第55格子單元車流密度差隨其密度變化的結(jié)果

Fig.6Difference of density between τ and τ-1 at 55thcell analyzed by Redhu and Gupta’s feedback control scheme

5　結(jié)論

本研究基于交通流格子流體力學(xué)模型，通過數(shù)值模擬驗(yàn)證和對比4種反饋控制方法對抑制交通擁堵的作用。通過線性穩(wěn)定性分析，得出非線性正弦反饋控制方法的穩(wěn)定性條件；通過數(shù)值模擬，在相圖上對比4種反饋控制方法的交通滯后曲線。結(jié)果表明：在未施加控制時(shí)，交通擁堵形成過程中出現(xiàn)混沌態(tài)的交通滯后區(qū)域；在施加控制時(shí)，交通滯后區(qū)域顯著的縮小，呈現(xiàn)出周期態(tài)。說明4種控制方法都能抑制交通擁堵。依據(jù)交通滯后區(qū)域縮小的大小及呈現(xiàn)出的周期態(tài)是否為單一的，對比抑制交通擁堵的控制效果，結(jié)果發(fā)現(xiàn)控制效果較好為平均場反饋控制方法、考慮最近鄰單元車流量差的非線性正弦反饋控制方法和最近鄰車流量差的Ge反饋控制方法，而考慮下游車流量差的Redhu和Gupta延時(shí)反饋控制方法由于出現(xiàn)非單一的周期態(tài)，其控制效果不甚理想。然而從實(shí)際應(yīng)用的角度來看，平均場控制模型需要獲得每一個(gè)位置的流量信息，在實(shí)際交通中比較難實(shí)現(xiàn)，而非線性正弦反饋控制方法和Ge反饋控制方法只需要獲得最近鄰車流的信息，Redhu和Gupta延時(shí)反饋控制方法也只需要下游的車流量信息。因此，結(jié)合控制效果和實(shí)際應(yīng)用來看，非線性正弦反饋控制方法和Ge反饋控制方法較好。

[1]盤薇，薛郁，盧偉真，等.城市交叉路口車輛排放顆粒物濃度的時(shí)間相關(guān)性分析[J].廣西科學(xué)，2015,22(4)：373-381.

PAN W， XUE Y，LU W Z，et al.Time-correlation analysis of particulate matter from vehicular emissions at urban traffic intersection[J].Guangxi Sciences，2015,22(4)：373-381.

[2]戴喜生，楊峰，郭亞君，等.快速路交通流常微分模型的PD型迭代學(xué)習(xí)控制[J].廣西科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，25(3)：21-25,31.

DAI X S，YANG F，GUO Y J，et al.PD-type iterative learning control for freeway traffic flow ordinary differential equation model[J].Journal of Guangxi University of Science and Technology，2014，25(3)：21-25,31.

[3]韋蘭香，梁玉娟.收費(fèi)站對高速公路交通流能耗的影響[J].廣西科學(xué)，2016,23(1)：92-96.

WEI L X，LIANG Y J.Study on the influence of tollbooth on highway traffic flow’s energy loss[J].Guangxi Sciences，2016,23(1)：92-96.

[4]劉澤高，陳棟，薛郁.多出口室內(nèi)行人出口選擇行為研究[J].廣西科學(xué)，2015,22(4)：388-394.

LIU Z G，CHEN D，XUE Y.Behavior study on exit choice of indoor pedestrians in multiple exits[J].Guangxi Sciences，2015,22(4)：388-394.

[5]NAGATANI T.Modified KdV equation for jamming transition in the continuum models of traffic[J].Physica A，1998，261:599-607.

[6]NAGATANI T.Jamming transition in traffic flow on triangular lattice[J].Physica A,1999，271：200-221.

[7]KANG Y R,SUN D H.Lattice hydrodynamic traffic flow model with explicit drivers physical delay[J].Nonlinear Dyn，2013，71(3)：531-537.

[8]PENG G H,CAI X H.A new lattice model of traffic flow with the consideration of the driver’s forecast effects[J].Phys Lett A，2011，375:2153-2160.

[9]PENG G H,CAI X H,CAO B F,et al.Non-lane-based lattice hydrodynamic model of traffic flow considering the lateral effects of the lane width[J].Phys Lett A，2011，375:2823-2827.

[10]PENG G H.A driver’s memory lattice model of traffic flow and its numerical simulation[J].Nonlinear Dyn，2012，67：1811-1815.

[11]TANG T Q,LI C Y,HUANG H J,et al.A new fundamental diagram theory with the individual difference of the drivers’ perception ability[J].Nonlinear Dyn，2012，67：2255-2265.

(Continueonpage215)(Continuefrompage211)

[12]TANG T Q,LI C Y,WU Y H,et al.Impact of the Honk effect on the stability of traffic flow[J].Phys A，2011，390：3362-3368.

[13]GE H X,CHENG R J.The “backward looking” effect in the lattice hydrodynamic model[J].Phys A，2008，387： 6952-6958.

[14]GE H X,ZHENG P J,LO S M,et al.TDGL equation in lattice hydrodynamic model considering driver’s physical delay[J].Nonlinear Dyn，2014，76:441-445.

[15]GE H X,CUI Y,ZHU K Q,et al.The control method for the lattice hydrodynamic model[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2015，22：903-908.

[16]GUPTA A K,SHARMA S,REDHU P.Effect of multi-phase optimal velocity function on jamming transition in a lattice hydrodynamic model with passing[J].Nonlinear Dyn，2015，80:1091-1108.

[17]REDHU P,GUPTA A K.Delayed-feedback control in a lattice hydrodynamic model[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2015,27:263-270.

[18]薛郁.優(yōu)化車流的交通流格子模型[J].物理學(xué)報(bào),2004,53(1):25-30.

XUE Y.Lattice models of the optimal traffic current[J],Acta Phys Sin,2004,53(1):25-30.

[19]GE H X,DAI S Q,XUE Y,et al.Stabilization analysis and modified Korteweg-de Vries equation in a cooperative driving system[J].Physical Review E，2005，71:66119-66125.

[20]JIN Y,HU H.Stabilization of traffic flow in optimal velocity model via delayed-feedback control[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simul，2013，18:1027-1034.

(責(zé)任編輯：陸雁)

Comparison of Feedback Control Schemes for Traffic Jam Based on Lattice Hydrodynamic Traffic Model

LI Ruixin，GUO Yan，XUE Yu，SHI Ying

(College of Physical Science and Engineering,Guangxi University,Nanning，Guangxi,530004,China)

【Objective】Looking for the feasible solution to suppress traffic jams and control traffic emission.【Methods】The mean-field feedback control scheme on lattice hydrodynamic traffic equation is constructed by considering an average effect exerting on traffic flow on road.The nonlinear feedback control scheme is proposed via considering the sine variation of the flow difference value on the nearest-neighbor unit on grid as control term.The stability condition is obtained by stability analysis.By simulation analysis,four control effects for the mean-field feedback control scheme,the nonlinear feedback control scheme,Ge’s feedback control scheme and Redhu and Gupta’s delay feedback control model are compared.【Results】All of studies indicated that the four schemes can suppress traffic jams effectively.From results of numerical simulations,the mean-field feedback control scheme,nonlinear feedback control scheme and Ge’s feedback control scheme have the better control effects.In the practical application,nonlinear feedback control scheme,Ge’s feedback control scheme and Redhu and Gupta’s delay feedback control model are easily realized.【Conclusion】The nonlinear sine feedback control scheme and Ge’s feedback control scheme reveal better control effects and easier to realize suppressing traffic jams.

lattice hydrodynamic traffic model,mean-field,feedback control scheme,stability condition,numerical simulation

2016-05-24

李瑞鑫(1994-)，女，研究生，主要從事凝聚態(tài)與計(jì)算物理研究。

U491

A

1005-9164(2016)03-0206-06

*國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11262003)，廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目(20140593)和廣西研究生創(chuàng)新項(xiàng)目(YCSZ2012013)資助。

**通訊作者：薛郁(1963-)，男，博士生導(dǎo)師，教授，主要從事交通流動力學(xué)研究，E-mail:yuxuegxu@gxu.edu.cn。

廣西科學(xué)Guangxi Sciences 2016,23(3):206～211，215

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先數(shù)字出版時(shí)間：2016-07-13【DOI】10.13656/j.cnki.gxkx.20160713.006

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先數(shù)字出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/45.1206.G3.20160713.0857.012.html