喬升訪，胡杰云，周克民（華僑大學(xué)土木與工程學(xué)院，福建廈門(mén)361021）

采用類桁架優(yōu)化方法研究大跨橋梁的構(gòu)形

喬升訪，胡杰云，周克民
（華僑大學(xué)土木與工程學(xué)院，福建廈門(mén)361021）

采用類桁架拓?fù)鋬?yōu)化方法研究大跨橋梁的選型.通過(guò)求解應(yīng)力約束體積最小類桁架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，得到不同跨高比下橋梁結(jié)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)形，驗(yàn)證了橋梁構(gòu)形與跨高比有關(guān).典型算例結(jié)果表明：文中方法在大跨橋梁選型中可以節(jié)約成本、提高結(jié)構(gòu)性能和縮短設(shè)計(jì)周期.

類桁架；拱橋；懸索橋；斜拉橋；拓?fù)鋬?yōu)化

隨著跨度的增加，簡(jiǎn)支梁式橋中彎矩增長(zhǎng)很快，彎矩過(guò)大制約了梁式橋的跨度.當(dāng)跨度較大時(shí)，人們嘗試把大跨度劃分為若干個(gè)較小的跨度，但跨度仍然受到極大地限制.當(dāng)前應(yīng)對(duì)大跨度橋梁，多采用拱橋、斜拉橋等.橋梁構(gòu)形的選擇主要依據(jù)工程人員的經(jīng)驗(yàn)和力學(xué)概念，尚未形成系統(tǒng)的方法.結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化在結(jié)構(gòu)概念設(shè)計(jì)階段引入，既能有效地節(jié)約材料，縮短設(shè)計(jì)周期，又能設(shè)計(jì)出高性能結(jié)構(gòu)［1－6］.Michell桁架解析解表明：拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)由無(wú)限多、無(wú)限密的各向異性類桁架連續(xù)體構(gòu)成［7］.結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法大多采用各向同性材料，以單元的有和無(wú)表示優(yōu)化結(jié)果，普遍存在單元依賴性、優(yōu)化邊界模糊粗糙等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象.本文根據(jù)類桁架的性質(zhì)，采用類桁架材料模型拓?fù)鋬?yōu)化方法研究大跨橋梁的構(gòu)形［8－11］.

1 類桁架模型優(yōu)化分析

1.1 類桁架材料模型

假設(shè)桿件在設(shè)計(jì)域內(nèi)無(wú)間隙非均勻致密分布.致密分布的桿件在任一點(diǎn)沿兩個(gè)正交方向布置.沿兩個(gè)正交方向的桿件密度分別為t1，t2，方向角分別為α1，α2.其中：α2＝α1＋π／2.二桿類桁架模型，如圖1所示.沿坐標(biāo)軸方向的彈性矩陣［9］為

圖1 二桿類桁架模型Fig.1 Two－member truss－like material model

采用有限元分析方法，結(jié)點(diǎn)j位置的兩個(gè)正交方向桿件密度分別為t1，j，t2，j，方向角分別為α1，j，α2，j.單元內(nèi)部桿件的分布由桿件在節(jié)點(diǎn)位置的分布插值得到.因此，單元?jiǎng)偠染仃嚍?/p>

式（2）中：B為幾何矩陣；He，j，r＝E∫VeNjBTArBdV為常數(shù)矩陣；E為彈性模量；e為單元號(hào)；Nj為形函數(shù)；Se是屬于單元e的節(jié)點(diǎn)集合；gr為桿件角度的函數(shù)［10］；Ar為常數(shù)矩陣［10］.單元采用四節(jié)點(diǎn)矩形單元.對(duì)式（2）進(jìn)行累加，可得總剛度矩陣，即

1.2 有限元分析

有限元的平衡方程為

式（4）中：K為結(jié)構(gòu)總剛度矩陣；U為結(jié)點(diǎn)位移；F為結(jié)點(diǎn)力列向量.單元應(yīng)變?chǔ)艦?/p>

式（5）中：Ue為單元e的結(jié)點(diǎn)位移.由彈性矩陣D可以進(jìn)一步計(jì)算出應(yīng)力σ為

式（6）中：σ＝［σxσyσx，y］.則主應(yīng)力的方向α為

主應(yīng)力為

式（9）中：i為迭代次數(shù)；t是為了防止剛度矩陣奇異而設(shè)置的密度下限；σp為應(yīng)力容許值.

1.3 優(yōu)化模型

優(yōu)化模型為應(yīng)力約束下體積最小問(wèn)題，即

其中：b＝1，2對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)兩個(gè)方向桿件；j＝1，2，…，n對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)；n為結(jié)點(diǎn)總數(shù)；V為體積.

1.4 迭代求解過(guò)程

1）劃分單元網(wǎng)格，采用四結(jié)點(diǎn)矩形單元.初始結(jié)點(diǎn)位置桿件密度為，初始角度為.

在迭代過(guò)程中，節(jié)點(diǎn)位置桿件密度大小和方向由該點(diǎn)主應(yīng)力大小和方向調(diào)整.其余位置的大小和方向由節(jié)點(diǎn)位置插值得到.最終結(jié)果取決于結(jié)構(gòu)最優(yōu)傳力路徑，與初始設(shè)計(jì)變量無(wú)關(guān).優(yōu)化過(guò)程中不刪除單元格，不以單元有或無(wú)表示優(yōu)化結(jié)果，根本解決了數(shù)值不穩(wěn)定的問(wèn)題.優(yōu)化結(jié)果以材料分布場(chǎng)表示，與單元大小、類型無(wú)關(guān)［8，11］.

1.5 工程結(jié)構(gòu)的形成

工程結(jié)構(gòu)的形成有以下2個(gè)步驟.

步驟1 類桁架材料分布場(chǎng)可離散成結(jié)構(gòu)［8，11］.理論上是由無(wú)限多、無(wú)限密的各向異性類桁架連續(xù)體構(gòu)成［7］，實(shí)際上選取部分桿件構(gòu)成工程結(jié)構(gòu).選取不同數(shù)量的桿件會(huì)有不同的結(jié)構(gòu)，桿件越多，越接近解析結(jié)果.桿件數(shù)量的選取主要取決于工程的需要.

步驟2 由于有限元數(shù)值計(jì)算的誤差，步驟1中桿件組成的圖形不能直接作為結(jié)構(gòu)使用.借助結(jié)構(gòu)力學(xué)的基本概念，刪除重疊或接近的線段，合并接近的結(jié)點(diǎn)，可以得到近似的桿系結(jié)構(gòu)，即為建議的優(yōu)化結(jié)構(gòu).實(shí)際上，拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)中桿件一般是密布在設(shè)計(jì)域的［10］.

2 算例分析

2.1 單塔斜拉橋

圖2為單塔斜拉橋1.其跨度為200m；設(shè)計(jì)區(qū)域長(zhǎng)200m；高度為100m；跨高比為1∶1.考慮橋梁的通航作用，橋面板以下預(yù)留足夠的通航空間.將橋面板設(shè)在最下面，跨中支座延伸至頂端部分為不可設(shè)計(jì)區(qū)域.橋面均布力（q）為30kN·m－1；材料的彈性模量E為210GPa；容許應(yīng)力為160MPa；有限元網(wǎng)格劃分為40×20.

優(yōu)化的類桁架材料分布場(chǎng)，如圖2（b）所示.圖2（b）中：結(jié)點(diǎn)位置線段長(zhǎng)度表示桿件的密度；線段的角度表示桿件的角度.由Michell桁架的解析解特點(diǎn)可知：類桁架連續(xù)體密布整個(gè)設(shè)計(jì)區(qū)域，且是非均勻各向異性的.然而，在實(shí)際中很難得到這樣的結(jié)構(gòu).因此，需要進(jìn)一步離散［8］，保留部分桿件.根據(jù)類桁架材料分布場(chǎng)，采用離散化方法可以得到保留的桿件分布.優(yōu)化前，中間支座A彎矩最大，采用梁式橋不能充分發(fā)揮材料性能.

優(yōu)化后形成的桿件分布，如圖2（c）所示.由圖2（c）可知：跨中的不可優(yōu)化區(qū)域形成豎向桿件（類似于斜拉橋主塔），豎桿與橋梁承載面之間形成大量的拉桿（實(shí)際可以得到無(wú)限多拉桿）.結(jié)構(gòu)依靠這些拉桿將橋面荷載傳遞給豎桿，豎桿承擔(dān)主要豎向力，最終把荷載傳遞給橋梁下部結(jié)構(gòu)，且大量的拉桿作用減小橋面彎矩.拉桿適合采用抗拉強(qiáng)度高的材料.在桿件分布場(chǎng)中，由于拉桿與橋面板連接不是正交的，因此，多出兩個(gè)斜桿過(guò)渡傳力.

在實(shí)際工程中，可以不設(shè)此斜桿，進(jìn)一步簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)，如圖2（d）所示.這與工程中常用的斜拉橋一致，如廣東西樵山大橋.在工程中，斜拉橋依靠拉索的拉力傳遞荷載，拉索傳遞給主塔，主塔承受巨大的壓力，最終將質(zhì)量轉(zhuǎn)移到底部結(jié)構(gòu).

圖3為單塔斜拉橋2.其設(shè)計(jì)區(qū)域長(zhǎng)400m；高度為100m；跨高比為2∶1.由圖3可知：跨高比較大時(shí)，橋面板和主塔之間需要更多斜桿傳力.在實(shí)際工程中，一般不設(shè)斜桿，跨高比通常小于2.

圖2 單塔斜拉橋1的優(yōu)化構(gòu)形Fig.2 Topology configuration of single tower cable－stayed bridge 1

圖3 單塔斜拉橋2的優(yōu)化構(gòu)形Fig.3 Topology configuration of single tower cable－stayed bridge 2

2.2 雙塔斜拉橋

圖4為雙塔斜拉橋1.其橋梁結(jié)構(gòu)全長(zhǎng)L0為600m；邊跨L1為100m；主跨度L2為400m；設(shè)計(jì)區(qū)域長(zhǎng)600m；高度為100m.其余設(shè)計(jì)條件與單塔斜拉橋相同.優(yōu)化后的類桁架材料分布場(chǎng)，如圖4（b）所示.兩端距支座100m處延伸至頂端部分為不可設(shè)計(jì)區(qū)域，跨高比為4∶1.根據(jù)類桁架材料分布場(chǎng)，采用離散化方法得到桿件分布場(chǎng)，如圖4（c）所示.

由圖4（c）可知：結(jié)構(gòu)以跨中不可優(yōu)化區(qū)域?yàn)樨Q向桿件，豎桿與橋梁承載面之間形成大量的拉桿.結(jié)構(gòu)依靠這些拉桿將橋面荷載傳遞給豎桿，豎桿承擔(dān)主要豎向力，然后把荷載傳遞給橋梁底部結(jié)構(gòu).根據(jù)桿件分布場(chǎng)，結(jié)合結(jié)構(gòu)力學(xué)概念，可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)，如圖4（d）所示.這與工程中常用的雙塔斜拉橋一致，如蘇通大橋.

圖4 雙塔斜拉橋1的優(yōu)化構(gòu)形Fig.4 Topology configuration of double tower cable－stay bridge 1

圖5為雙塔斜拉橋2.其橋梁結(jié)構(gòu)全長(zhǎng)L0為700m；邊跨L1為100m；主跨度L2為500m；跨高比為5∶1.由圖5可知：優(yōu)化結(jié)果變化不大.

圖5 雙塔斜拉橋2的優(yōu)化構(gòu)形Fig.5 Topology configuration of double tower cable－stay bridge 2

圖6為雙塔斜拉橋3.其橋梁結(jié)構(gòu)全長(zhǎng)L0為800m；邊跨L1為100m；主跨度L2為600m；跨高比為6∶1.優(yōu)化后的類桁架材料分布場(chǎng)，如圖6（a）所示.根據(jù)類桁架材料分布場(chǎng)，采用離散化方法得到桿件分布場(chǎng)，如圖6（b）.由圖6（b）可知：結(jié)構(gòu)以跨中不可優(yōu)化區(qū)域?yàn)樨Q向桿件，豎桿與橋梁承載面之間形成大量的拉桿.由于拉桿與水平夾角不能太小，因此，跨中出現(xiàn)曲拱將中間的荷載由拱內(nèi)部的拉桿通過(guò)拱向兩邊傳遞，這樣避免了角度過(guò)小的拉桿，傳力效果得到改善.進(jìn)一步得到簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)，如圖6（c）所示.

圖6 雙塔斜拉橋3的優(yōu)化構(gòu)形Fig.6 Topology configuration of double tower cable－stay bridge 3

圖7為雙塔斜拉橋4.其橋梁結(jié)構(gòu)全長(zhǎng)L0為1 000m；邊跨L1為100m；主跨度L2為800m；跨高比為8∶1.由圖7可知：橋梁的主跨與索塔之比較大時(shí)，跨中需要更多曲拱將中間的荷載由拱內(nèi)部的拉桿通過(guò)拱向兩邊傳遞.在實(shí)際工程中，一般不設(shè)跨中曲拱，跨高比大多小于4.

圖7 雙塔斜拉橋4的優(yōu)化構(gòu)形Fig.7 Topology configuration of double tower cable－stay bridge 4

3 結(jié)論

梁式橋的限制條件較多，很難實(shí)現(xiàn)大跨度.拱橋依靠支座水平推力降低結(jié)構(gòu)中的彎矩，從而實(shí)現(xiàn)大跨度.但拱橋的矢跨比不能太小，較小的矢跨比不僅無(wú)法有效地提供水平推力，影響橋梁結(jié)構(gòu)的美觀性，而且對(duì)周圍巖石和土承載力要求較高.在實(shí)際工程中，拱橋的矢跨比通常在0.2以上.斜拉橋很好地克服了拱橋的缺點(diǎn).斜拉橋依靠拉索直接傳遞荷載，橋面彎矩較小，跨越能力很強(qiáng).斜拉索與橋面夾角影響其力學(xué)性能，斜拉索與橋面夾角越大，傳力效果越好.實(shí)際工程中主塔不可能太高，因此，引入雙橋塔來(lái)解決跨度更大的問(wèn)題.雙塔斜拉橋的拉索與橋面的夾角得到有效地提高，力學(xué)性能也更優(yōu)越.但雙塔斜拉橋的主跨與索塔之比較大時(shí)，跨中需要更多曲拱傳力.在實(shí)際工程中，一般不設(shè)跨中曲拱，跨高比大多小于4.當(dāng)跨度很大時(shí)，雙塔斜拉的水平角度也會(huì)受到限制，因此，需要采用懸索橋.目前，超過(guò)1 000m以上的橋梁主要采用懸索橋.

文中研究類桁架材料優(yōu)化方法在大跨橋梁構(gòu)形中的應(yīng)用.通過(guò)幾種常見(jiàn)橋梁結(jié)構(gòu)的算例分析，證實(shí)了方法的有效性.結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化作為新型的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法，在限定的約束條件下能找到最優(yōu)傳力路徑，指導(dǎo)橋梁設(shè)計(jì)人員選擇合理的結(jié)構(gòu)形式，有效地節(jié)約材料并縮短設(shè)計(jì)周期.

［1］ BENDSOE M P，KIKUCHI N.Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method ［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，1988，71（2）：197－224.

［2］ XIE Yimin，STEVEN G P.A simple evolutionary procedure for structural optimization［J］.Computers and Structures，1993，49（5）：885－896.

［3］ 程耿東，張東旭.受應(yīng)力約束的平面體的拓?fù)鋬?yōu)化［J］.大連理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1995，35（1）：1－9.

［4］ SUI Yunkang，YANG Deqing.New method for structural topological optimization based on the concept of independent continuous variables and smooth model［J］.Acta Mechanics Sinica，1998，18（2）：179－185.

［5］ SETHIAN J A，WIEGMANN A.Structural boundary design via level set and immersed interface methods［J］.Journal of Computational Physics，2000，163（2）：489－528.

［6］ 榮見(jiàn)華，梁清泉，楊端生.基于結(jié)構(gòu)拓?fù)潆S機(jī)變異的水平集優(yōu)化方法［J］.力學(xué)學(xué)報(bào)，2007，39（6）：796－803.

［7］ 周克民，李俊峰，李霞.結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化研究方法綜述［J］.力學(xué)進(jìn)展，2005，35（1）：69－76.

［8］ 周克民，胡云昌.利用有限元構(gòu)造Michell桁架的一種方法［J］.力學(xué)學(xué)報(bào)，2002，34（6）：935－944.

［9］ 張莉，周克民.基于類桁架連續(xù)體的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法與應(yīng)用［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2007，24（3）：412－416.

［10］ ZHOU Kemin，LI Xia.Topology optimization of structures under multiple load cases using a fiber－reinforced composite material model［J］.Computational Mechanics，2005，38（2）：163－170.

［11］ 李霞，周克民.基于類桁架材料模型優(yōu)化方法計(jì)算穩(wěn)定性研究［J］.湖北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，35（3）：315－319.

（責(zé)任編輯：錢筠 英文審校：方德平）

Structural Topology Optimization of Configuration in Long－Span Bridge Based on Truss－Like Material Model

QIAO Shengfang，HU Jieyun，ZHOU Kemin
（College of Civil Engineering，Huaqiao University，Xiamen 361021，China）

The configuration of long－span bridge is studied by the topology optimization method based on truss－like material model.By solving topology optimization of truss－like structures with minimal volume under stress constraints，the bridge configurations are established under different span－depth ratio，it′s found that the configurations are related to the span－depth ratio.The calculation results indicates that the optimal configurations are conducive to save the cost，improve the performance of structure and shorten the design cycle in typical long－span bridge structure.

truss－like；arch bridge；suspension bridge；cable－stayed bridge；topology optimization

TU 323

A

1000－5013（2016）04－0431－05

10.11830／ISSN.1000－5013.201604008

2015－01－05

周克民（1962－），男，教授，博士，主要從事結(jié)構(gòu)優(yōu)化的研究.E－mail：zhoukm＠hqu.edu.cn.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11172106）