溫振庶（華僑大學數學科學學院，福建泉州362021）

經典的Drinfel′d－Sokolov－Wilson方程的非線性波解

溫振庶
（華僑大學數學科學學院，福建泉州362021）

利用（G′／G）－展開法，構造經典的Drinfel′d－Sokolov－Wilson方程的新的非線性波解.這些非線性波解分別以雙曲函數、三角函數和分式函數的形式表達.結果表明：（G′／G）－展開法是研究數學物理方程的非線性波解的一種有效工具.

Drinfel′d－Sokolov－Wilson方程；（G′／G）－展開法；非線性波解；顯式表達式

數學物理方程的解有助于加深對其所描述的自然現(xiàn)象或過程的理解和認識.因此，尋找數學物理方程的非線性波解是數學物理工作者研究的熱點問題.

經典的Drinfel′d－Sokolov－Wilson（DSW）方程

被引入后，它及其變體得到了人們的廣泛關注［1－7］.式（1）中：p，q，r，s都是非零常數.

Hirota等［1］給出了DSW方程（1）的一種特殊形式的孤子結構.文獻［4－6］分別用代數方法、改進的廣義Jacobi橢圓函數方法和改進的F－展開法找到了方程（2）的一些精確行波解.對于DSW方程（1），文獻［2－3］分別利用直接的代數方法獲得了一些精確行波解.此外，Wen等［7］利用微分方程定性理論和動力系統(tǒng)分支方法［7－17］給出了DSW方程（1）的30個精確行波解.前面的工作已找到了一部分解，但新的解仍有待發(fā)現(xiàn).本文利用（G′／G）－展開法［18－19］研究DSW方程（1）的非線性波解，得到了一些新的解.

1 用（G′／G）?展開法求解DSW方程（1）

對方程（1）進行替換，u（x，t）＝u（ξ），v（x，t）＝v（ξ），ξ＝x－ct，可得

假定u（ξ）和v（ξ）可以展開成關于（G′／G）的多項式，即

式（4），（5）中：a0，a1，…，am和b0，b1，…，bn是待確定的常數，且G＝G（ξ）滿足二階常微分方程

式（6）中：λ和μ是常數.

利用u′與vv′，以及u′v，uv′與v之間的齊次平衡，得到m＝2，n＝1.式（4），（5）可以表示為

把式（7），（8）代入方程（3）中，可得

令式（9），（10）中，（G′／G）k（k＝0，1，2，3，4）的系數為零，得到

為方便起見，令θ＝c（r＋2s）－q（λ2（r＋s）－2μ（r＋2s）），則方程組（11）的解為

或把式（12），（13）分別代入式（7），（8），得到方程（1）的一般形式的解，即

2 DSW方程（1）的非線性波解

定理1 方程（1）有如下形式的顯式非線性波解.1）當λ2－4μ＝0時，有

2）當λ2－4μ＞0時，有

3）當λ2－4μ＜0時，有

式（15）～（17）中：c1和c2是任意常數.

證明 根據常微分方程理論，易得方程（6）的解.

1）當λ2－4μ＝0時，有

2）當λ2－4μ＞0時，有

3）當λ2－4μ＜0時，有

將式（18）～（20）分別代入方程（14），即得到非線性波解（15）～（17）.證畢.

3 結束語

利用（G′／G）－展開法，構造了經典的Drinfel′d－Sokolov－Wilson方程的新的非線性波解.這些非線性波解具有豐富的結構，分別以雙曲函數、三角函數和分式函數的形式給出.此外，當參數取一些特殊的值時，這些非線性波解展現(xiàn)出不同類型的波形，包括孤立波、奇異波、周期奇異波等.

［1］ HIROTA R，GRAMMATICOS B，RAMANI A.Soliton structure of the Drinfel′d－Sokolov－Wilson equation［J］.Journal of Mathematical Physics，1986，27（6）：1499－1505.

［2］ YAO Ruoxia，LI Zhibin.New exact solutions for three nonlinear evolution equations［J］.Physics Letters A，2002，297（3）：196－204.

［3］ LIU Chunping，LIU Xiaoping.Exact solutions of the classical Drinfel′d－Sokolov－Wilson equations and the relations among the solutions［J］.Physics Letters A，2002，303（2）：197－203.

［4］ FAN Engui.An algebraic method for finding a series of exact solutions to integrable and nonintegrable nonlinear evolution equations［J］.Journal of Physics A：Mathematical and General，2003，36（25）：7009－7026.

［5］ YAO Yuqin.Abundant families of new traveling wave solutions for the coupled Drinfel′d－Sokolov－Wilson equation ［J］.Chaos，Solitons ＆Fractals，2005，24（1）：301－307.

［6］ ZHAO Xueqin，ZHI Hongyan.An improved F－expansion method and its application to coupled Drinfel′d－Sokolov－Wilson equation［J］.Communications in Theoretical Physics，2008，50（2）：309－314.

［7］ WEN Zhenshu，LIU Zhengrong，SONG Ming.New exact solutions for the classical Drinfel′d－Sokolov－Wilson equation［J］.Applied Mathematics and Computation，2009，215（6）：2349－2358.

［8］ 劉正榮，唐昊.KdV方程和mKdV方程的新奇異解［J］.華南理工大學學報（自然科學版），2012，40（10）：96－101.

［9］ WEN Zhenshu.Extension on peakons and periodic cusp waves for the generalization of the Camassa－Holm equation ［J］.Mathematical Methods in the Applied Sciences，2015，38（11）：2363－2375.

［10］ 溫振庶.耦合的修正變系數KdV方程的非線性波解［J］.華僑大學學報（自然科學版），2014，35（5）：597－600.

［11］ WEN Zhenshu，LIU Zhengrong.Bifurcation of peakons and periodic cusp waves for the generalization of the camassa－h(huán)olm equation［J］.Nonlinear Analysis：Real World Applications，2011，12（3）：1698－1707.

［12］ WEN Zhenshu.Bifurcations and nonlinear wave solutions for the generalized two－component integrable Dullin－Gottwald－Holm system［J］.Nonlinear Dynamics，2015，82（1／2）：767－781.

［13］ WEN Zhenshu.Bifurcation of traveling wave solutions for a two－component generalizedθ－equation［J］.Mathematical Problems in Engineering，2012，2012（2）：1－17.

［14］ WEN Zhenshu.Extension on bifurcations of traveling wave solutions for a two－component fornberg－whitham equation［J］.Abstract and Applied Analysis，2012，2012：1－15.

［15］ WEN Zhenshu.New exact explicit nonlinear wave solutions for the Broer－Kaup equation［J］.Journal of Applied Mathematics，2014，2014（5）：1－7.

［16］ WEN Zhenshu.Bifurcation of solitons，peakons，and periodic cusp waves forθ－equation［J］.Nonlinear Dynamics，2014，77（1／2）：247－253.

［17］ WEN Zhenshu.Several new types of bounded wave solutions for the generalized two－component Camassa－Holm equation［J］.Nonlinear Dynamics，2014，77（3）：849－857.

［18］ WANG Mingliang，LI Xiangzheng，ZHANG Jinliang.The（G′／G）－expansion method and travelling wave solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics［J］.Physics Letters A，2008，372（4）：417－423.

［19］ WANG Mingliang，ZHANG Jinliang，LI Xiangzheng.Application of the（G′／G）－expansion to travelling wave solutions of the Broer－Kaup and the approximate long water wave equations［J］.Applied Mathematics and Computation，2008，206（1）：321－326.

（責任編輯：黃曉楠 英文審校：黃心中）

Nonlinear Wave Solutions for the Classical Drinfel′d－Sokolov－Wilson Equation

WEN Zhenshu
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

We constructed new nonlinear wave solutions for the classical Drinfel′d－Sokolov－Wilson Equation by exploiting（G′／G）－expansion method.These nonlinear wave solutions are expressed in the forms of the hyperbolic functions，the trigonometric functions and the rational functions.The results show that（G′／G）－expansion method is an efficient tool for studying nonlinear wave solutions of mathematical physics equations.

Drinfel′d－Sokolov－Wilson equation；（G′／G）－expansion method；nonlinear wave solutions；explicit expressions

O 175.29

A

1000－5013（2016）04－0519－04

10.11830／ISSN.1000－5013.201604026

2016－03－16

溫振庶（1984－），男，副教授，博士，主要從事微分方程與動力系統(tǒng)的研究.E－mail：wenzhenshu＠hqu.edu.cn.

國家自然科學基金資助項目（61573004，11401230）；福建省自然科學基金資助項目（2015J05008）；福建省教育廳科技項目（JA14023）