付錦江，顏昌翔，劉　偉，袁　婷，2

(1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033;2.中國科學院大學，北京 100039)

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橢圓弧柔性鉸鏈剛度簡化計算及優(yōu)化設計

付錦江1，2*，顏昌翔1，劉偉1，袁婷1，2

(1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033;2.中國科學院大學，北京 100039)

本文主要研究了橢圓弧柔性鉸鏈剛度的優(yōu)化設計方法。首無，針對橢圓弧柔性鉸鏈剛度計算公式過于復雜的問題，采用冪函數非線性曲線擬合的方法，推導了橢圓弧柔性鉸鏈剛度的近似理論計算公式。然后，基于近似理論計算公式，分析了柔性鉸鏈的精度特性及工作時的最大應力；采用GlobalSearch全域優(yōu)化指令和Fmincon局域優(yōu)化指令對橢圓弧柔性鉸鏈工作方向的最大剛度進行了優(yōu)化設計。最后，采用有限元仿真和實驗驗證的方法證實近似理論計算公式的適用性和優(yōu)化結果的可靠性。驗證顯示：實驗結果與近似理論計算結果的相對誤差小于5%，表明提出的方法不僅省去了繁雜的有限元模型建立以及計算和修改的過程，大大提高了設計效率；而且通過優(yōu)化計算可以得到橢圓弧柔性鉸鏈的最大剛度。

橢圓弧柔性鉸鏈；轉動剛度；剛度計算；非線性曲線擬合；優(yōu)化設計；有限元分析

1　引　言

柔性鉸鏈在實際使用時集成在兩個剛體之間，通過材料的彈性變形，作為旋轉運動副而實現剛體運動的傳遞。因其具有加工簡單、無機械摩擦、無間隙、高精度和免組裝等優(yōu)點而受到光學結構研究人員的重視，被廣泛應用于精密機器人，裝配及高精度位移平臺，如柔性關節(jié)爬行機器人[1]，柔性探頭微夾持器[2]，高精度、高速率的XY位移平臺[3]和壓電驅動位移平臺[4]等領域。

影響柔性鉸鏈工作性能的因素主要包括3個方面：剛度，運動行程和工作時的最大應力。國內外眾多學者對柔性鉸鏈準靜態(tài)性能的研究較多，1965年，Paros和Weisbord[5]最早根據歐拉-伯努利梁理論推導出圓弧型柔性鉸鏈柔度計算的精確和近似理論計算公式；Tseytlin[6]通過對圓弧型輪廓采用逆保角映射推導出了圓弧形柔性鉸鏈剛度計算公式，與Paros和Weisbord推導的理論公式相比，其結果與實驗結果的誤差更??；Wu[7]在2004年推導出了相對簡單又準確的圓弧型柔性鉸鏈的剛度計算公式;LOBONTIU[8]等推導了拋物線和雙曲線的柔度，精度及應力特性；RYU[9]等人分析了機械加工誤差對柔性鉸鏈性能的影響;Chen[10]等人在2014年通過有限元的方法得到了切口型柔性鉸鏈的應力集中系數的經驗計算公式。根據凹口曲線類型不同，柔性鉸鏈又分為圓弧型，橢圓弧型，拋物線型，雙曲線型，V型及其各種混合型等。SMITH[11]等人研究了橢圓弧柔性鉸鏈的剛度計算式;Tian[12]等人研究了V型倒角柔性鉸鏈等；近些年混合型柔性鉸鏈的研究也比較多如：LOBONTIU等人研究了圓角拋物線混合型[13]，倒圓角直梁型[14];Lin[15]等人研究了一邊為雙曲線，另一邊為倒圓角的混合不對稱柔性鉸鏈的性能；Chen[16]研究了橢圓弧倒角直梁柔性鉸鏈。

目前國內外對柔性鉸鏈的分析大多集中于柔度，精度及應力的分析，對柔性鉸鏈的優(yōu)化設計比較少：Chen[17]采用粒子群遺傳算法對橢圓弧柔性鉸鏈的柔度進行了優(yōu)化；Bona等[18]和Zelenika等[19]都基于參數化有限元模型的方法分別對柔性機械進行了剛度優(yōu)化設計和對柔性鉸鏈進行了自由形狀優(yōu)化；2011年，北京理工大學的Xie[20]采用有限元方法進行了圓弧型柔性鉸鏈的優(yōu)化設計，優(yōu)化后全柔性五桿機構的柔度增大，滿足優(yōu)化要求。

雖然SMITH和Chen等對橢圓弧柔性鉸鏈都進行了研究，推導出了其剛度計算公式，但其計算公式都比較復雜，不利于橢圓弧柔性鉸鏈的優(yōu)化計算；目前柔性鉸鏈的優(yōu)化設計大多集中于柔性鉸鏈的數值仿真計算，過程比較復雜，不利于工程應用。針對橢圓弧柔性鉸鏈剛度計算公式過于復雜的問題，本文采用非線性曲線擬合的方法得出了橢圓弧柔性鉸鏈工作方向剛度近似理論計算公式，進一步推導出了橢圓弧柔性鉸鏈許用應力和精度的近似理論計算式；然后，綜合考慮材料的許用應力和鉸鏈的精度要求，采用Matlab軟件進行橢圓弧柔性鉸鏈工作方向最大剛度的優(yōu)化設計；最后，通過有限元仿真和實驗驗證了近似理論計算公式的適用性和優(yōu)化結果的準確性。借助于近似理論計算公式，采用Matlab進行剛度優(yōu)化，大大提高了設計效率，省去了繁雜的有限元模型建立，計算和修改的過程，且通過優(yōu)化計算可以得到橢圓弧柔性鉸鏈最大剛度。

2　橢圓弧柔性鉸鏈性能分析

2.1橢圓弧柔性鉸鏈工作方向剛度

圖1所示為弓形橢圓弧柔性鉸鏈在z=0平面內的示意圖，弓形圓心角為φmax， 左端固定，右端自由，長半軸為a，短半軸為b，寬度為w，最小切割厚度為t。

圖1　橢圓弧柔性鉸鏈參數及坐標系

z軸為柔性鉸鏈的輸入軸，當φm=π/2時，柔性鉸鏈為正橢圓柔性鉸鏈，根據文獻[10]可知，式(1)是橢圓弧柔性鉸鏈工作方向上轉動剛度的理論計算公式，其計算比較準確，但過于復雜，不便于橢圓弧柔性鉸鏈的優(yōu)化設計：

令

(1)

式中：a為橢圓弧柔性鉸鏈的長半軸；w為橢圓弧柔性鉸鏈的寬度；E為材料的彈性模量；t為柔性鉸鏈的最小切割厚度；s=b/t，b為橢圓弧柔性鉸鏈的短半軸；Kθz，Mz為柔性鉸鏈準確計算的工作剛度。

2.2轉動剛度近似理論計算公式的推導

(2)

對f函數進行非線性擬合，擬合結果和殘差分布如圖2所示，分別進行了冪函數擬合，指數擬合，二次多項式擬合和三次多項式擬合。

圖2　曲線擬合及殘差分布圖

由殘差圖分布可知，對f函數進行冪函數擬合所得結果最為合理，最大殘差小于0.05。由圖2可知：f函數采用冪函數擬合方式擬合效果最佳，擬合得到的函數為：

f′=msn=1.122s-0.485.

(3)

為使擬合函數更為簡潔，取擬合函數系數m=1.15，n=-0.5，得到近似擬合函數：

f″=msn=1.15s-1/2.

(4)

圖3所示為f函數曲線，擬合函數曲線 f″，殘差曲線及近似擬合函數相對函數f的相對誤差曲線，由圖3可知，相對誤差隨著s的變化而變化，當s<2時，相對誤差大于4%，當s>4時，相對誤差小于1%，曲線擬合度好，近似擬合函數擬合優(yōu)度評價參數結果如表1所示。

表1　函數擬合評價參數表

圖3f函數及其擬合函數結果比較

Fig.3Contrastbetweenfunctionsfandf″

將式(4)代入式(1)，可得剛度近似理論為：

(5)

當a=b=R時，橢圓弧柔性鉸鏈變成了圓弧型柔性鉸鏈，則剛度近似理論為：

(6)

1965年由Paros和WEISBORD[14]推導出的圓弧型柔性鉸鏈的簡化公式為：

(7)

式(6)和(7)的區(qū)別只是系數的不同，系數的相對誤差為2.4%，證明了橢圓弧柔性鉸鏈的近似剛度理論計算公式的相對準確性。

2.3橢圓弧柔性鉸鏈工作時最大應力分析

柔性鉸鏈在最小切割厚度且距X軸最遠處的抗彎截面模量最小，應力最大?？紤]應力集中的影響，設應力集中系數為k，根據材料力學中純彎曲理論可以得到最大應力計算式：

(8)

根據文獻[10]，應力集中系數k的表達式為：

(9)

一般在設計時，往往只知道柔性鉸鏈的偏轉角度范圍，材料的允許應力大小，偏轉精度的要求而不知道其所需要的彎矩大小，所以假設設計的柔性鉸鏈的最大偏轉角為θ，則對應的彎矩為：

(10)

將式(9)，(10)代入式(8)可得鉸鏈工作時最大應力和偏轉角的關系：

(11)

將式(4)代入式(11)得橢圓弧柔性鉸鏈的最大工作應力計算公式：

(12)

2.4柔性鉸鏈的精度特性分析

一般將鉸鏈中心點的位移作為鉸鏈精度的分析指標[8]，柔性鉸鏈中心點的位移其實也就是鉸鏈在中心點處的撓度：

又

x=asinφ，dx=acosφdφ，h(φ)s=2b+t-2bcosφ，

(13)

在鉸鏈偏轉角θ一定的情況下，將式(10)代入式(13)得：

(14)

3橢圓弧柔性鉸鏈最大剛度優(yōu)化設

計實例分析

3.1優(yōu)化模型

橢圓弧柔性鉸鏈的優(yōu)化問題數學模型為：

fobj=max(Kθz,Mz)=min(-Kθz,Mz)=

令：

x1=a，x2=b,x3=t，x(x1,x2,x3)T，

(15)

為了提高橢圓弧柔性鉸鏈的工作精度，a取值不宜過大，令橢圓弧的長半軸a<20mm， 由前面分析可知，當s>4時，近似理論計算公式相對誤差比較小，所以20>a>b>4t>0，由此可得：線性不等式約束矩陣A= [-1 1 0;0 -1 4]，b= [0;0]，邊界約束lb= [0;0;0]，ub=[20;20;5]。

非線性約束主要包括兩部分：

(1)柔性鉸鏈強度等式約束：根據式(12)，可得強度等式非線性約束條件為：

ceq(x)=Etθk-2.3as-1/2σymax=0.

(16)

(2)柔性鉸鏈精度不等式約束：假設偏轉角為10mrad，yc<10μm，根據式(14)可得不等式非線性約束條件為：

(17)

3.2優(yōu)化方法及優(yōu)化評價參數

優(yōu)化可以看作是尋找函數最小值點的過程，最小值點又可以分為局域最小值點和全域最小值點，優(yōu)化模型是一求解帶約束多變量非線性目標函數的最小值，根據各優(yōu)化指令的使用特點，最終選擇了GlobalSearch實施的全域優(yōu)化指令和Fmincon局域優(yōu)化指令。

Fmincon優(yōu)化結果的評價指標包括：目標函數值的變化趨勢，約束沖突值(TolCon)和一階優(yōu)化系數(First-OrderOptimality)，對于同時具有等式約束和不等式約束的優(yōu)化問題，一階優(yōu)化系數為：

minf(x),s.t.gj(x)≤0(j=1,2,…,m),

hk(x)=0(k=1,2,…,l.

對應的拉格日函數為：

L(x,λ)=f(x)s=∑λg,jgj(x)+∑λh,khk(x).

庫恩-塔克條件可表述為：

xL(x,λ)=0，λg,jgj(x0=0，

‖xL(x,λ)‖=

‖f(x)∑λg,jgj(x)+∑λh,khk(x)‖∞，

(18)

‖λg,jgj(x)‖表示向量λg,jgj(x)的無窮范數，則一階優(yōu)化系數取‖xL(x,λ)‖和‖λg,jgj(x)‖中的較大值。

由式(18)可知：一階優(yōu)化系數代表了迭代過程中變量離變量最優(yōu)值(目標函數取極小值時的變量)的遠近程度，其值越小，代表迭代值越接近優(yōu)化值，它是帶約束目標函數取得極小值的必要非充分條件。

3.3優(yōu)化結果

橢圓弧柔性鉸鏈的優(yōu)化參數如表2所示，采用Fmincon局部搜索優(yōu)化得到了局部最佳變量值，目標值、約束值和一階優(yōu)化系數在優(yōu)化迭代中的變化，如圖4所示，目標函數隨著迭代的增加而減小，滿足優(yōu)化的要求，最終目標函數局部最優(yōu)值為-95.8N·m/rad，隨著迭代的進行約束值和一階優(yōu)化系數都在不斷的接近于0，最終經過6次迭代以后，約束值為0，一階優(yōu)化系數(First-OrderOptimality)為2.11×10-6，接近于0，說明局部優(yōu)化結果可靠，最佳變量值為x=(10.35，7.008，1.752)即：a=10.35mm，b=7.008mm，t=1.752mm，將優(yōu)化結果代入式(5)計算得：

計算結果與優(yōu)化結果一致，說明理論計算和優(yōu)化結果可靠。

表2　優(yōu)化模型及有限元仿真參數

圖4　局部優(yōu)化結果

全局搜索優(yōu)化結果如圖5所示，全局優(yōu)化目標函數最小值為-95.8N·m/rad，與局部優(yōu)化結果一致。

圖5　全局優(yōu)化結果

4　有限元仿真和實驗驗證

4.1有限元仿真

通過UG建立幾何模型，Hypermesh建立有限元模型，有限元模型如圖6所示，模型由3 870個單元組成，鉸鏈部分網格單元比較密，左端完全固定，右端施加繞工作軸方向的彎矩，通過有限元仿真計算得到該柔性鉸鏈的剛度為86.4N·m/rad，精度yc為9.98μm，應力σymax為156.6Mpa，仿真結果與近似理論計算結果誤差分析如表3所示。

圖6　柔性鉸鏈有限元模型

剛度/(N·m/rad)精度/μm應力/Mpa有限元仿真結果86.49.98156.6近似理論計算結果89.29.84154.4有限元仿真與近似理論計算的相對誤差/%3.14-1.42-1.42

由表3可知：仿真結果和近似理論計算結果的相對誤差都小于4%，且精度和應力的相對誤差小于2%，仿真結果滿足優(yōu)化模型的約束條件。

4.2工作剛度的實驗驗證

采用電火花線切割工藝加工了該柔性鉸鏈并搭建實驗來檢測優(yōu)化柔性鉸鏈的工作剛度，實驗原理如圖7所示。主要包括一分辨率為0.2″的平行光管，優(yōu)化柔性鉸鏈，黏接在連接板上的反射鏡，與柔性鉸鏈固連的連接板和基座，基座又與光學平臺固連，不同質量的砝碼，細線和量塊。通過細線穿過連接板的細孔在連接桿的一端施加力mg，用平行光管測量砝碼施加前后反射鏡的偏轉角即柔性鉸鏈的偏轉角θ，實際的實驗裝置如圖8所示。由此，橢圓弧柔性鉸鏈的工作剛度計算公式為：

K實驗=M/θ=mgLcosθ/θ，

(19)

式中：K實驗是實驗檢測剛度(N·m/rad)；m是砝碼的質量(g)；g為重力加速度(9.8m/s2)；L為常數(L=0.047 5m)；θ為偏轉角(mrad)。

圖7　柔性鉸鏈剛度測試實驗原理圖

Fig.7Diagramofexperimentalarrangementforthecalculationforthestiffnessofnotchhinge

圖8　剛度檢測實驗裝置圖

在實際實驗時，砝碼質量依次為10g，20g，50g，100g和200g。為了減少測量隨機誤差，不同力矩情況下實驗進行了多次重復測量，偏轉角取多次測量的平均值， 對實驗結果進行數據處理，得到該優(yōu)化柔性鉸鏈的轉角-彎矩曲線，如圖9所示，曲線的斜率即為該優(yōu)化柔性鉸鏈的工作剛度K實驗為93.47N·m/rad，實驗結果與近似理論計算結果的相對誤差為：

(20)

將實驗剛度值和理論計算剛度值代入式(20)，得δ實驗-近似理論=-4.76%。

圖9　柔性鉸鏈彎矩-轉角擬合曲線

Fig.9Fittingcurveaboutthebendingmomentsandrotationanglesoftheoptimalelliptichinge

5　結　論

本文采用冪函數非線性曲線擬合方法，得出了橢圓弧柔性鉸鏈工作剛度的近似理論計算公式，當s(b/t)>4時，近似理論計算公式和準確理論計算公式兩者的相對誤差不超過2%。將近似理論計算公式用于橢圓弧柔性鉸鏈的優(yōu)化設計，利用Matlab軟件對某一橢圓弧柔性鉸鏈的最大剛度進行了優(yōu)化計算，優(yōu)化結果與近似理論計算結果相一致。通過有限元仿真和實驗驗證了橢圓弧柔性鉸鏈工作剛度近似計算公式的適用性和優(yōu)化結果的可靠性。橢圓弧柔性鉸鏈工作剛度的仿真值，實驗值與近似理論計算結果的相對誤差都小于5%。

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付錦江(1988-)，男，江西高安人，博士研究生，2010年于武漢理工大學獲得學士學位，主要從事光學精密機械設計及檢測研究。E-mail：ytfjj17@tom.com

導師簡介：

顏昌翔(1973-)，男，湖北洪湖人，研究員，2001年于中國科學院長春光學精密機械與物理研究所獲得博士學位，主要從事空間光學遙感技術方面的研究。E-mail：yancx@ciomp.ac.cn

(版權所有未經許可不得轉載)

Stiffness calculation and optimal design of elliptical flexure hinges

FU Jin-jiang1，2*， YAN Chang-xiang1，LIU Wei1，YUAN Ting1，2

(1.Changchun Institute of Optics， Fine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Sciences， Changchun 130033， China；2. University of Chinese Academy of Sciences， Beijing 100049， China)

*Corresponding author， E-mail：ytfjj17@tom.com

Anoptimizationdesignmethodforellipticalflexurehingesisresearched.Asthetraditionalcalculationformulaforthestiffnessofellipticalflexurehingesismorecomplex,thispaperdeducesaapproximatetheoreticalformulabynonlinearfittingmethodwithpowerfunction.Basedontheapproximatetheoreticalformula,itanalyzestheprecisioncharacteristicsoftheflexurehingesandtheirmaximumstressesatworking.Then,theglobaloptimizationsolverGlobalSearchandlocaloptimizationsolverFminconareusedtodesignoptimallythemaximumstiffnessofanellipticalflexurehingeataworkingdirection.Finally,theapplicabilityoftheapproximatetheoreticalcalculationequationandtheaccuracyoftheoptimizationresultsareassessedbycomparisonwiththeresultsfromfiniteelementanalysisandexperimentaldata.Theresultsshowthattherelativeerrorsbetweenthefiniteelementsimulation,experimentaldataandtheapproximatetheoreticalcalculationforthestiffnessofelliptichingearewithin5%.Itconcludesthatthemethodavoidsestablishingthecomplexfiniteelementmodeandtheprocessesofcalculationandmodification,andgreatlyimprovesthedesignefficiency.Moreover,itcanobtainthemaximumstiffnessoftheellipticalflexurehingesbyoptimizationcalculation.

ellipticalflexurehinge;rotationstiffness;stiffnesscalculation;nonlinearcurvefitting;optimizationdesign;finiteelementanalysis

2015-11-12；

2015-12-15.

國家863高新技術發(fā)展資助(No.2011AA12A103)；中國地質調查局工作項目支持(No.1212011120227)

1004-924X(2016)07-1703-08

TH131

Adoi:10.3788/OPE.20162407.1703