夏春秋，鐘　興，劉春雨，韓培仙1，，金　光

(1.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；2.中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長春 130033；3.長光衛(wèi)星技術(shù)有限公司，吉林 長春 130031)

?

高分辨率4f傳像系統(tǒng)分辨率的影響因素分析

夏春秋1，2*，鐘興2，3，劉春雨2，韓培仙1，2，金光2

(1.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；2.中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長春 130033；3.長光衛(wèi)星技術(shù)有限公司，吉林 長春 130031)

研究了在實際應(yīng)用中4f傳像系統(tǒng)分辨率的影響因素及其作用機(jī)制，用于指導(dǎo)系統(tǒng)的設(shè)計和裝調(diào)。首先，在理論上分析了由裝調(diào)誤差引起的像差對系統(tǒng)光學(xué)傳遞函數(shù)(MTF)產(chǎn)生的影響，并建立了描述二者關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。基于該模型研究了1 μm分辨率4f光學(xué)系統(tǒng)的裝調(diào)誤差，仿真計算了系統(tǒng)含有透鏡偏心、傾斜、位移誤差對MTF的影響，得到了分辨率隨誤差的變化曲線。實驗結(jié)果表明，傾斜在15″以內(nèi)，偏心誤差在0.02 mm，位移在0.01 mm范圍內(nèi)，裝調(diào)誤差均會導(dǎo)致分辨率下降，雖然傾斜在極小范圍內(nèi)微調(diào)時分辨率會提高，但總的變化趨勢不變。繪制的裝調(diào)誤差與分辨率的關(guān)系圖，可為高分辨率4f系統(tǒng)的誤差預(yù)估提供參考。

信息光學(xué)；4f傳像系統(tǒng)；裝調(diào)誤差；數(shù)學(xué)模型；曲線分析；高分辨率

1　引　言

光學(xué)信息處理是以信息光學(xué)為基礎(chǔ)，用傅里葉分析的方法研究光學(xué)成像和光學(xué)變換的技術(shù)[1-2]。4f系統(tǒng)的相干光空間濾波是光學(xué)信息處理的重要實現(xiàn)系統(tǒng)之一。它以二維圖像作為媒介來實現(xiàn)圖像的識別、圖像的增強(qiáng)與恢復(fù)、圖像的傳輸與變換、功率譜分析以及全息術(shù)中的傅里葉全息存儲等，因此在圖像光學(xué)小波變換、數(shù)字全息及工件誤差檢測、粒子測量等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[3-5]。

根據(jù)所需要處理的圖形或者工作內(nèi)容不同，4f系統(tǒng)設(shè)計主要考慮待處理輸入面的尺寸和所需的最高空間頻率及鏡頭負(fù)擔(dān)等問題。目前，4f系統(tǒng)的分辨率為1 μm左右。

隨著光學(xué)信息處理器件的發(fā)展，4f系統(tǒng)越來越多地與數(shù)字計算機(jī)結(jié)合使用，其應(yīng)用前景也更加廣闊，并且隨著圖像精度需求的提高，分辨率的要求也越來越高。分辨率性能的優(yōu)劣直接影響到光學(xué)信息處理結(jié)果的好壞，它作為成像質(zhì)量判斷的一個重要指標(biāo)，在設(shè)計、裝調(diào)中具有指導(dǎo)意義。本文詳細(xì)討論了影響4f系統(tǒng)分辨率的主要因素，建立了影響高分辨4f傳像系統(tǒng)分辨率的主要因素的數(shù)學(xué)模型，基于該模型對1 μm分辨率的4f光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行了全面的對比分析和評價，從而提高了實際裝調(diào)和圖像處理的效率。

2　4f傳像系統(tǒng)分辨率的影響因素分析

圖1所示為4f系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖。其中，S為照明點，光源L為準(zhǔn)直透鏡， L1，L2分別為第一、第二傅里葉變換透鏡，P1為物面，P為頻譜面，P2為系統(tǒng)像面。由于4f系統(tǒng)是小像差光學(xué)系統(tǒng)，所以采用分辨率板和點列圖很難有效地衡量其分辨率。調(diào)制傳遞函數(shù)(Modulation Transfer Function，MTF)曲線表示不同頻率的正弦強(qiáng)度分布函數(shù)，即(物體)經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)成像后其對比度的衰減程度。它既與光學(xué)系統(tǒng)像差有關(guān)，又與光學(xué)系統(tǒng)的衍射效果有關(guān)，能同時運(yùn)用于小像差光學(xué)系統(tǒng)和大像差光學(xué)系統(tǒng)。因此這里采用MTF曲線作為4f系統(tǒng)分辨率的判斷依據(jù)。

圖1　4f系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

光學(xué)系統(tǒng)的誤差來源主要有光學(xué)、機(jī)械兩方面。其中，光學(xué)誤差主要包括加工工藝引起的半徑厚度、偏心等偏差；光機(jī)加工、裝調(diào)中的誤差可以概括為元件的厚度偏差、位移、偏心和傾斜等。在實際系統(tǒng)中，透鏡系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如曲率半徑、厚度等是確定的，各光學(xué)面的曲率半徑和面形、玻璃材料的質(zhì)量等級都能控制在所要求的公差之內(nèi)，即使存在面型誤差，也可以通過微調(diào)間距使系統(tǒng)滿足共軸公差要求。因此跟輔助裝調(diào)有關(guān)的變量，如光學(xué)面之間的空氣間隔、光學(xué)面的傾斜與偏心等成為引起系統(tǒng)像質(zhì)變化的主要因素。

實際實驗得到的與位移、偏心、傾斜等因素相關(guān)的結(jié)論如下：

(1)光路是否共軸。光通過透鏡不同的地方，因為透鏡的厚度不同，從而使得位相調(diào)制函數(shù)不同，而影響成像效果；

(2)光通過傅氏透鏡的中心后，能否將亮斑完全照射到成像面上，使得圖像成像完整；

(3)物面、像面的擺放位置是否嚴(yán)格遵守4f透鏡的要求。

在明確裝調(diào)誤差是4f系統(tǒng)分辨率的主要影響因素之后，通過建立裝調(diào)誤差和MTF的數(shù)學(xué)模型來探究4f分辨率影響因素及其影響機(jī)制，對高分辨率4f系統(tǒng)的誤差預(yù)估工作有指導(dǎo)意義[6]。

3　影響因素與MTF的數(shù)學(xué)關(guān)系模型

如圖2所示，當(dāng)成像系統(tǒng)成像時，出瞳的理想面為So，像差W(x，y)的存在導(dǎo)致實際波面S偏離了球面。此時出瞳面上的透過率函數(shù)(即光瞳函數(shù))為：

P(x，y)=P(x，y)exp[jkW(x，y)].

(1)

根據(jù)式(1)，系統(tǒng)的通頻帶范圍仍由光瞳尺寸決定，截止頻率和像差無關(guān)。但是像差在通帶內(nèi)引入了與頻率有關(guān)的相位畸變，會影響像質(zhì)。而在實際光學(xué)系統(tǒng)的MTF曲線中，滿足某觀察對比度的截止頻率代表了系統(tǒng)的分辨能力。

圖2　波像差示意圖

在光學(xué)系統(tǒng)中，波像差W(x，y)可用Zernike多項式進(jìn)行描述：

(2)

表1　Zernike多項式的表述

一般采用Zernike多項式系數(shù)Z5，Z6，Z7，Z8，Z9作為系統(tǒng)成像質(zhì)量的評價標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)存在上述失調(diào)量時，光學(xué)系統(tǒng)會產(chǎn)生像差，用Zernike多項式來表示像差，那么它與失調(diào)量之間的函數(shù)關(guān)系為：

(3)

其中：Fj(j=1，2，3，…，n)為系統(tǒng)像差，xi(i=1，2，3，…，n)為各元件位置的結(jié)構(gòu)參量，fj(j=1，2，3，…，n)代表像差與鏡面位置之間的函數(shù)關(guān)系[7-8]。

經(jīng)過泰勒展開變換，像差與位置結(jié)構(gòu)參量變化之間的近似線性方程組為：

(4)

式(4)可化為失調(diào)量與像差之間的數(shù)學(xué)模型：

A·ΔX=ΔF，

(5)

式中：A為靈敏度矩陣；ΔX為系統(tǒng)中各片鏡面需要調(diào)整的變化量，即失調(diào)量。失調(diào)量通常包括沿垂直于光軸方向的移動量、轉(zhuǎn)動量及各鏡面之間的軸向間隔(TEDY、TETX、TETY)；ΔF為各校正對像的實測值與光學(xué)設(shè)計值之差，也就是系統(tǒng)成像質(zhì)量隨失調(diào)量的變化值。因此已知失調(diào)量引起的像差，可以采用波像差理論和MTF建立數(shù)學(xué)模型，MTF作為光學(xué)調(diào)制傳遞函數(shù)，可以用傅里葉級數(shù)或積分的形式表述，從而得到失調(diào)量對分辨率的影響。

根據(jù)4f系統(tǒng)傅里葉變換的規(guī)則，用瞳孔位置坐標(biāo)相關(guān)的澤尼克多項式表達(dá)波像差[8-9]，即有：

(6)

a3(x2+y2)+a4(y2-x2)+a5(xy)+

a6[-2x+3x(x2+y2)]+

a7[-2y+3y(x2+y2)]+

a8[1-6(x2+y2)+6(x2+y2)]2+…，

(7)

式中：an為Zernike多項式的展開系數(shù)，Zn(ε，η)為Zernike多項式。各多項式的物理意義分別對應(yīng)表1中的2～9項。由于在4f傳像系統(tǒng)的實際使用過程中通常有光闌限制，這種情況下的Zernike高階像差很小，對成像的影響也很小，因此主要討論該公式中Zernike的前8項像差，即對其初級像差進(jìn)行討論和研究。

本文以x，y方向均存在傾斜像差的4f系統(tǒng)為例，用Zernike多項式將式(7)與裝調(diào)和加工引起的像差聯(lián)系起來，得到系統(tǒng)的出瞳函數(shù)為：

(9)

這時出瞳面上的透過率函數(shù)(即光瞳函數(shù))為：

Hc(fx，fy)=P(λdifx，λdify)=

P0(λdifx，λdify)exp(jkW(λdifx，λdify)).

(10)

其波相差為：

(11)

在理想情況下光瞳是圓形光斑，其表達(dá)式為：

(12)

其中r為光瞳半徑。則有：

P(ε，η)=P0(ε，η)·exp[jkW(x，y)]=

(13)

脈沖響應(yīng)為光瞳函數(shù)的傅里葉變換：

H=F{Δφ}=F{P(ε，η)}=

(14)

在實際脈沖響應(yīng)的計算過程中，相干脈沖響應(yīng)不再單純是孔徑的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣，必須考慮波像差的影響。如式(14)所示，雖然傾斜像差不改變截止頻率只產(chǎn)生像點位移，但更高級次的像差會在通帶內(nèi)引入與頻率有關(guān)的相位畸變，使像質(zhì)變壞。因此在分析像差對分辨率的影響時，以MTF函數(shù)作為分析依據(jù)具有對小像差系統(tǒng)敏感的優(yōu)點，同時更加客觀和可靠。MTF為脈沖響應(yīng)模的歸一化形式，即：

(15)

將式(14)的脈沖響應(yīng)代入式(15)，根據(jù)MTF曲線的值可以得到某一對比度下系統(tǒng)的空間頻率，即分辨率的倒數(shù)。

4f系統(tǒng)屬于小像差系統(tǒng)，因此Zemax中MTF曲線一般用FFT MTF表示?？焖俑道锶~變換(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT)是對連續(xù)變換的信息進(jìn)行采樣然后再根據(jù)離散信號進(jìn)行頻譜計算。在分析偏心、傾斜、位移誤差對實際裝調(diào)測量的光學(xué)系統(tǒng)分辨率的影響時，首先對裝調(diào)允許范圍內(nèi)的誤差進(jìn)行采樣，然后結(jié)合ZEMAX和MATLAB通過FFT MTF計算[10-11]可以得到誤差引起的4f系統(tǒng)某一觀察對比度要求下的空間頻率f，分辨率為空間頻率的倒數(shù)。其流程如圖3所示。

圖3　MTF計算的流程圖

在實際分析過程中，同樣的元件誤差在不同透鏡上作用，引起的分辨率改變值是不同的。為了探究特定種類的誤差對整個系統(tǒng)分辨率的影響，這里采用“均方根”的方法。若一片透鏡的某一種誤差量為a，引起整個系統(tǒng)分辨率的變化值為x1，假設(shè)含有某誤差量為a的系統(tǒng)中有k片透鏡，則透鏡L1至Lk每一片透鏡分別帶有誤差a，系統(tǒng)所表現(xiàn)的分辨率誤差即為x1，x2，…，xk。通過均方根的形式推導(dǎo)出當(dāng)系統(tǒng)含有誤差量a時分辨率的變化量，即分辨率為：

(16)

通過分析該方法設(shè)置系統(tǒng)中某透鏡含有的單一誤差，可以求得在特定誤差值下系統(tǒng)分辨率的均值，從而可以設(shè)置不同的誤差值來觀察分辨率隨誤差的變化。這對探究高分辨4f系統(tǒng)的分辨率影響因素及實際使用中誤差對系統(tǒng)分辨率的影響程度具有指導(dǎo)意義。具體的計算流程如圖4所示。

圖4　系統(tǒng)分辨率的計算流程圖

4　1 μm分辨率的4f系統(tǒng)分辨率影響因素實例分析

本文以非對稱型兩類高分辨率4f光學(xué)系統(tǒng)為例，分析了傾斜、偏心、離軸誤差方向?qū)Ψ直媛实挠绊憽?/p>

如圖5所示，該系統(tǒng)是由9片透鏡、1片平板及光闌組合而成的非對稱型傅里葉透鏡。該系統(tǒng)物高視場為0～±25 mm，工作單波長為0.532 mm。其照片和測試圖分別如圖6和圖7所示。

圖5　1 μm高分辨率4f傳像系統(tǒng)

圖6　1 μm高分辨率4f傳像系統(tǒng)實物圖

圖7　1 μm高分辨率4f傳像系統(tǒng)測試圖

在沒有任何元件加工誤差與裝調(diào)誤差時，光學(xué)系統(tǒng)的MTF曲線如圖8所示。

圖8　1 μm高分辨率4f系統(tǒng)的MTF曲線圖

選取人眼觀察最低對比度0.03和對比度0.05觀察此時各視場的空間頻率，其結(jié)果如表2所示。

表21 μm 4f系統(tǒng)在0.03和0.05對比度下的分辨率

Tab.2Resolutions of 1 μm 4fsystem at contrasts of 0.03 and 0.05 respectively

(μm)

本文重點探究了光學(xué)面之間的空氣間隔、光學(xué)面的傾斜與偏心這3種影響因素對分辨率的影響。

該1 μm分辨率4f系統(tǒng)已經(jīng)在設(shè)計公差范圍內(nèi)安裝完畢。在公差范圍內(nèi)進(jìn)行裝調(diào)誤差分析，如傾斜在15″以內(nèi)，偏心誤差在0.02 mm，位移在0.01 mm范圍內(nèi)。

在分析過程中，每一片透鏡、平板及光闌產(chǎn)生的傾斜誤差從0°開始每增加3″至15″時分辨率的變化規(guī)律。首先將透鏡L1傾斜3″測得此時系統(tǒng)的分辨率，其次將透鏡L2傾斜3″測得系統(tǒng)的分辨率。依次將L3至透鏡L9和平板1傾斜3″，通過計算得到在傾斜3″的情況下系統(tǒng)在0.03和0.05對比度條件下5個視場中系統(tǒng)的分辨率。當(dāng)系統(tǒng)含有3″傾斜誤差時，每片透鏡傾斜帶來的分辨率改變量和系統(tǒng)分辨率的均值如表3所示。圖9中坐標(biāo)軸的橫坐標(biāo)表示每一片透鏡的傾斜角度，縱坐標(biāo)表示系統(tǒng)在透鏡傾斜誤差產(chǎn)生時分辨率的均方值。

表31 μm 4f系統(tǒng)在對比度為0.03和0.05下含有3″傾斜量的分辨率

Tab.3Resolutions of 1 μm 4fsystem containing 3″ tilt quantity at contrasts of 0.03 and 0.05 respectively

(μm)

續(xù)表3

通過該方法一次遞增傾斜量至15″，得到系統(tǒng)分辨率和傾斜量的關(guān)系曲線，如圖9所示。圖9中坐標(biāo)軸的橫坐標(biāo)表示每一片透鏡的傾斜角度，縱坐標(biāo)表示系統(tǒng)在透鏡傾斜誤差產(chǎn)生時分辨率的均方值。

(a)0.03對比度分辨率變化圖

(b)0.05對比度分辨率變化圖

由圖9(a)和圖9(b)可以看出，總體上傾斜使分辨率下降，雖然在極小范圍內(nèi)分辨率有所提高，但總體趨勢仍為下降。

在實際裝調(diào)過程中，裝調(diào)技術(shù)可以保證偏心在0.01 mm以內(nèi)，因此可以計算所有透鏡在0.01 mm以內(nèi)的分辨率。首先在最大偏心為0.01 mm 時計算 MTF曲線中對比度為0.03及0.05時的空間頻率。

根據(jù)測量的均值分辨率繪制分辨率與偏心誤差的關(guān)系，如圖10所示。由圖10(a)和圖10(b)可以看出,偏心會導(dǎo)致分辨率下降。

(a)0.03對比度分辨率變化圖

(b)0.05對比度分辨率變化圖

(a)0.03對比度分辨率變化圖

(b)0.05對比度分辨率變化圖

同理，在0.01 mm的間隔位移公差下，根據(jù)測量的分辨率均值可以繪制分辨率與位移誤差的關(guān)系圖，如圖11所示。由圖11(a)和圖11(b)可以看出，透鏡間隔位移誤差會導(dǎo)致視場分辨率的降低，而且非對稱型的4f透鏡對透鏡間隔十分敏感。

5　結(jié)　論

本文從加工、裝調(diào)誤差入手，建立了4f光學(xué)系統(tǒng)的分辨率影響因素的數(shù)學(xué)模型，并對非對稱型1 μm分辨率的4f光學(xué)系統(tǒng)在傾斜、偏心、離軸等誤差方面進(jìn)行分析，在裝調(diào)公差范圍之內(nèi)，得到了各影響因素與分辨率在0.03對比度和0.05對比度下的關(guān)系曲線。結(jié)果表明，傾斜、偏心、離軸下降均會導(dǎo)致分辨率的下降。該研究對高分辨率4f系統(tǒng)的裝調(diào)誤差預(yù)估其有參考意義[12]。

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夏春秋(1991-)，女，山東濰坊人，博士研究生，2008年于中國海洋大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位，主要研究方向為光學(xué)設(shè)計，光學(xué)系統(tǒng)的分析。E-mail：chunq.xia@hotmail.com

導(dǎo)師簡介：

鐘興(1982-)，男，四川自貢人，研究員，2004年于吉林大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位，2009于中科院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所獲得博士學(xué)位，研究方向為光學(xué)儀器的設(shè)計與分析。E-mail：ciomper@163.com

(版權(quán)所有未經(jīng)許可不得轉(zhuǎn)載)

Analysis of influence factors of resolution inhigh-resolution 4f imaging system

XIA Chun-qiu1， 2*， ZHONG Xing2，3， LIU Chun-yu2， HAN Pei-xian1，2， JIN Guang2

(1.UniversityofChineseAcademyofSciences，Beijing100049，China；2.ChangchunInstituteofOpticsandFineMechanics，ChineseAcademyofSciences，Changchun130033，China；3.ChangchunSatelliteTechnologyCo.LTD，Changchun130031，China)

*Correspondingauthor，E-mail：chunq.xia@hotmail.com

The factors and its mechanism which influence 4fimaging systemic resolution in practice were studied to guide the design and adjustment of the system. Firstly, the influence of the aberration caused by adjustment error on the system optical transfer function (MTF) in theory, whereby the mathematic model for describing the relationship of them was established. Based on the model, the adjustment error of 4foptical imaging system of 1 μm resolution was derived, and the influence of lens eccentricity, incline and displacement on the MTF was simulated, thus the variations of the resolution with the errors were achieved. The result indicates that within the incline of 15″, the eccentricity error is 0.02 mm and the displacement is within 0.01 mm. The adjustment error results in the decline of the resolution. Although the resolution increases while the incline within a minimum scope, the total trend will not change. The relationship figure of adjustment error and resolution can provide the reference for the error estimation of high-resolution 4fimaging system.

information optics; 4ftransmission system; alignment; mathematical model; curve analysis; high resolution

2015-08-03；

2015-10-06.

中科院青促會專項

1004-924X(2016)07-1573-09

TP391.41；O435.2

Adoi:10.3788/OPE.20162407.1573